高中三角函数题型及易错点分析与解题方法对策研究

目录TOC\o"1-2"\h\u27519引言 引言在高中数学中三角函数是十分重要的,而且学习三角函数不仅能够提高学生的思维能力,而且有助于增强是数学整体的学习能力,根据调查擅长三角函数学习的孩子,其数学成绩一般都很高。随着时代的发展,传统的教育方法方式也逐渐被替换,学习成绩不足以成为判断一个孩子的依据,而是孩子对于解决实际问题的能力以及综合素养更被看重。作为新时代的教育者,如何能够培养出更多的能够被时代认可得人才,自己的教育手段和教学方式尤为重要,选用最适合学生的教育方法方式才能使他们学习变得更加快速全面。三角函数作为高中数学中尤为重要的一部分,学生在学习中由于受成长的环境影响以及其他条件的制约对于其掌握的程度也不一样,三角函数之间的联系也是十分密切的,只要将知识全部联系在一起,解起题来就会变得游刃有余.从定义上讲,三角函数是数学中常见的一类关于角度的函数。也就是说当以角度为自变量时,角度对应的任意两边的比值为因变量的函数叫三角函数,三角函数将直角三角形的内角与它的两个边长度的比值相关联,也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。在研究三角形等几何图形的性质方面,三角函数发挥着重要的作用,同时也作为一种基础数学工具来辅助研究数学中的周期性问题现象,不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出,称为三角恒等式.1考察内容分析通过研究历年高考成绩发现高考数学中的得分“高频区”为三角函数这一板块,三角函数问题涉及到三角函数的恒等变换、正余弦定理、图像与性质、解三角形以及解决生活中的三角函数应用等,大多数试题都偏向于基础题或中档题,试题内容丰富、难度不大,但试题思维跨度较大,且三角函数性质丰富,为高考命题带来了广泛的灵感.高考中三角函数的主要命题形式为单选题、填空题、解答题,某些提前使用新版教材的地方,例如北京市、海南省等在所出的试卷中,也会出现一些不定选项选择题、结论和条件为开放性的解答题等新型高考题,展现不同省份的不同出题风格,不定项选择题和开放性试题首次出现在三角函数试题中,为试题的命题形式带来了新的面貌。高考中的主要考试知识点为三角函数的概念、性质、图像、诱导公式、三角恒等变换正余弦定理、解三角形以及解决生活中的三角函数应用等.课程标准是国家按照课程规划以纲要的形式编订的有关某门学科的内容及其施行、评价的指导性文件,随着课本与高考制度的不断革新,高考现需要起到推进贯彻落实课程标准的作用。根据《普通高等学校招生全国统一考试大纲的说明》对三角函数知识点掌握的要求,这部分的内容分为十三个知识点,对每个考试点分别给出知识要求层次（理科数学为例）。高考中的数学学科对三角函数考察主要为以下几点：1.1重点知识点考察作为高中数学中的重要组成部分,三角函数具有众多的概念及公式,其中诱导公式、三角函数图像与性质、三角恒等变换公示等为重点知识点,高考出题人常以这些重要知识点作为基础试题命题,是比较容易得分的地方.例题1、（2020年全国理科二卷）假设α为第四象限的角,那么（）.A.sin2α<0B.sin2α>0C.cos2α<0D.cos2α>0评价：各个象限内的符号是三角函数常见的考试类型,不但考察高考生的对基础知识的领悟理解,同时也考察了学生在考场上对基础题的解决能力。本道题有多种解法,解法一：考生可用排除法进行解答,取特殊值带入,找出正确选项；解法二：还可根据题意,α是第四象限的角,所以2k-π/2<α<2kπ（k∈Z）,既4kπ-π<2α<4kπ（k∈Z）,既可推出2α属于第三象限或者第四象限的角：解法三：二倍角公式：cos2α=2cosα-1、sin2α=2sinα×cosα,据此判断等式左边的正负号。例题2、（2014年北京市理科）已知两条曲线,C1：y=sin（2α+ ）、C2：y=cosα,那么下面说法正确的是（）A.把C2上各个点的纵坐标不变,横坐标都变为原来的二倍,然后把所得曲线向左平移π/12个单位长度,变为曲线C1.B.把C2上各个点的纵坐标不变,横坐标都变为原来的二倍,然后把所得曲线向右平移π/6个单位长度,变为曲线C1.C.把C2上各个点的纵坐标不变,横坐标都变为原来的二分之一,然后把所得曲线向左平移π/12个单位长度,变为曲线C1.D.把C2上各个点的纵坐标不变,横坐标都变为原来的二分之一,然后把所得曲线向右平移π/6个单位长度,变为曲线C1.评价：三角函数各个知识点之间的转化性比较强,考生在做题时常将余弦函数的图像与性质与正弦函数作比较,并推导规律。此题先是给定了两个三角函数的解析式,考察两个函数图像通过变换、平移等方式相互转换,本题考察目的为考生是否熟练的掌握了三角函数的图像与性质这一重要知识点.1.2灵活运用技能技巧的考察三角函数有着众多的公式、性质,各个公式性质之间联系紧密、互相推导,所以高考试卷中的三角函数问题解题方法广泛,思路开放,灵活的掌握各个数学思想与解题小技巧可以扩宽考生们的解题思路,从而拿下好成绩.1.2.1数形结合思想的考察相比于其他几个基本初等函数三角函数有着很强的几何特点,函数图像的几何特征与数量特征往往紧密结合在一起,高考中的三角函数问题考生们也常常采用数形结合的方法,可以更加抽象的解决问题,有利于充分考察学生对三角函数重要知识点的掌握程度.例题3、（2009年海南省文科）如图函数fx=2sin图1例题3评价：三角函数的图像与性质属于高考数学中的高频考点,本题的图像展示出了函数的二分之三个周期,考生可以快速通过简单运算判断出函数的周期,32T=54 π-π4=π,推断出T=23再观察图像,考生不难看出当x取图像的对称中心点,即x=3π4时,函数fx取得最小值,所以 ,则sinπ4+φ=-1,根据三角函数的性质计算得φ=−3π41.2.2公式巧妙运用的考察与初中三角函数相比,高中三角函数具有大量公式需要学生掌握,例如：正余弦定理、积化和差公式、正余弦的二倍角定理以及诱导公式等等。新的考试大纲要求学生灵活运用公式,掌握各个公式之间的关系,能够熟练的互相推导、转化。所以高考题中常常考察对三角函数公式的巧妙应用.例题4、设x∈（0,π2 ）,y∈（0, π2）,且 A.3x-y=π2 B.3x+y=π2 C.2x-y=π2 解：由已知得,tanx=sin即sinπ2因为-π2＜x-y＜π2,0＜π2-x＜π2于是2x-y=π2 评价：本题的考点为三角函数恒等变换和诱导公式的灵活运用,需要考生注意到可以将正切函数转变为更容易解决的正余弦关系式,同时需要考生有较强的运算能力和逻辑思维能力。由于题干中含有两个未知数,所以解决这道题的关键就是将等式中的两个变量转变为我们所熟悉的一个等式一个变量的关系,将等式展开利用两角和差公式和二倍角公式化简成sinx−y=sinπ1.2.3分类谈论思想的考察分类讨论思想是一重要的数学思想,与三角函数的合理结合考察有助于提高考生逻辑思维的条理性、看问题的全面性以及对结论的概括能力.例题5、（2020年北京卷）假设α、β∈R,,那么“k∈Z,使得α=kπ+−1kA.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.即不充分也不必要条件解：①证明充分性：假设k为偶数,那么sinα=sin（kπ假设k为奇数,那么sinα=sin（kπ-β）=sink−1π+π−②必要性证明：已知,sinα=sinβ,那么α=β+2nπ 或者α+β=π+2nπ.则无论k=2n或k=2n+1,α=kπ+−1k“k∈Z,使得α=kπ+−1k评价：本题考察的是充分条件与必要条件,这种类型的考题需要从两方面进行考虑,既要讨论充分性又要讨论必要性,而且,本道题目中出现了未知数k,所以还需要根据k的奇偶性来进行讨论。除此之外本题还可采用特殊值的方法进行讨论,不妨用k=1、k=2来进行检验,很大程度上为解题降低了难度.1.3真实应用情景的考察近几年,高考中的三角函数问题命题多样化,出现了更多的联系生活实际情景的问题,体现出了三角函数的工具性,考察了考生解决实际问题的能力,让考生能够充分运用数学知识去发现、分析、解决学习上和生活中的问题.例题6、如图所示,山的高度为MN,为了测量其长度,选择A点和另外一座山的山顶C为测量的观测点,在A点测得M点的仰视角∠MAN=60度,C点的仰视角∠CAB=45度以及∠MAC=75度,在C点测得∠MCA=60度,且山高BC=100米,则,山的高度MN=（）米.图2例题六评价：本道题考察了考生的综合应用能力,需要把解三角形和空间几何关系联系在一起,题目的情景是我们所熟悉的测量问题,试题还有一个隐藏背景就是有关空间中的角度和位置的计算,此题根据实际情景测量了两座山的一些基本信息,并给出了部分空间中的测量值,解决这道题的关键就是找到哪些数据是通过观察测量所得,哪些又是需要考生们根据三角函数中的解三角形去计算求得.1.4创新型试题的考察作为实现考察目的的一种重要手段,各种类型的题型仅仅是考题的一种呈现方式。为了更好的体现学生的能力,突出高考改革的创新,高考中逐渐出现了创新型的试题,不定选项提、逻辑思维题、开放性试题等逐渐走进考生的眼前,北京、海南等率先使用新教材的城市就先采用了新的高考题型.例题7、（2017年北京卷）三角形ABC中,已知a+b=11,再从以下两个条件中选出一个作为已知.求：（1）a的值（2）sinC和三角形的面积条件1、c=7,cosA=−17 ；条件2、cosA=（如两个条件分别作答,则算第一个解答成绩.）解：(1)根据余弦定理,a2=所以a+ba−b因为a+b=11,所以11a-13b=49,联立a+b=1111a-13b=49,解得a=8.（2）因为在三角形ABC中,sinA>0,所以sinA=1−根据正弦定理,a所以sin所以评价：本道题属于开放型试题,同时为考生提供了两个条件,体现出了一种创新,也为考生获得了更多的得分机会,我们以第一个条件为准给出了解答过程,考生可以根据自己的实际情况,选择适合自己的求解问题,这类考题属于组合式问题,将几个问题合理地组合到一起,不同的条件组合成不同的题目,但这些考题的难易程度、要求和所涉及的知识点都是相近的,确保高考的公平性,高考改革的创新性被显著提高.例题8、在平行四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75度,BC=2,求AB的取值范围=().解：如图,延长BA,CD交于点E.图3例题8则在三角形ADE中,∠DAE=105°，∠ADE=45°，∠E=30°。所以设AD=12x，AE=又因为BC=2,所以DE+m=6因为0<x<4，且AB=DE+m-22x=所以,AB的取值范围是（6−2评价：本试题的考查目标标并非是为了获得解四边形的一般法则、原理或公式,而是让考生们学会把解三角形的一般理论、法则与公式运用到一个新的情境中,以此来考查考生的创新意识,特别是几何思维能力。当考生在几何上分析清楚四边形ABCD的各种变化的可能性后,运用解三角形的基本知识与技能即可最后解决问题.2高考试题易错点分析新课标要求高考生们,掌握三角函数的定义、基本性质等,并熟练的应用一些特殊角的三角函数值,能够运用所学知识解决一系列三角函数考题。但是在实际考试过程中,阅卷老师还是发现许多考生对三角函数问题理解不够透彻,对各个知识点理解不够深入,发现了很多的易错题型.2.1三角函数性质混淆相比于一些常规函数,例如二次函数、反比例函数等,三角函数属于比较抽象的函数问题,所以它并不仅仅依赖于函数表达式表示,还和三角形中各个边的关系有关,要充分掌握正余弦函数、正切函数等常见函数的基本性质,避免解题时出现混淆,体现三角函数解题的严谨性.例题9、（2009年全国卷Ⅰ文）如果函数y=3cos2x+φ 的图像关于点 中心对称,那么A.π6B.π4 C.π3 评价：根据三角函数性质我们知道,余弦函数的多称中心为（kπ,0）,结合题意,已知对称中心,只需另自变量2x+φ2.2疏忽题干中的隐含信息在解三角形问题中,锐角三角形与钝角三角形在求解时有着差异,钝角三角形我们只需保证其中一个角为钝角,但是锐角三角形却要三个角全是为锐角才可以,所以,很多考生在考场上常常忽略这一隐含条件,导致多解问题或者求取值范围时结果造成偏差.例题10、锐角三角形ABC中,已知角A、B、C的对边分别是a、b、c,其中a=1,b=2,求c的取值范围.解：根据余弦定理,cos因为是锐角三角形,所以cosC>0,所以0<c<5又因为三角形中,两边和大于第三边所以0<c<5评价：根据余弦定理,我们可以计算出cosC的值,由于锐角三角形,所以cosC>0,既可求的c的取值范围,此时,还需要考虑三角形的基本性质,即两边和大于第三边,到此很多学生就会给出结果,但是这样仅仅保证了C为锐角,并不能保证其余两角也为锐角,因此,还需要加上一些限定条件,根据题目发现b>a,故还可结合锐角A,cosA>0求解.2.3分类讨论思想运用不熟练三角函数问题在高考题中常常存在多解的情况,需要考生们进行分类讨论,来保证答案的完整性。特别注意的是当三角函数问题与方程问题结合到一起进行求解的时候,更需要考生们提高警惕,注意求解边界的问题,不要出现丢解漏解的情况.例题11、假设方程x2-4x+3=0评价：根据题意,可快速解出方程的两个解为1和3,此时需要注意的是,由于题干中并未给出直角边,所以我们要进行分类讨论。考场上很多考生常常会忽略这一点,在三角函数与方程两个问题结合到一起的时候,分析不够全面,有固有的思维定势,自己定义一边为直角边,忘记展开讨论,导致遗漏正确结果.总而言之,三角函数是高考数学的重要考点也是必考考点,存在众多易错误区,教师在实际教学过程中,应尽可能围绕三角函数概念,结合函数图象形象化展示三角函数所存在的对应关系,帮助学生理解。3解题方法对策高中三角函数的知识繁冗复杂,掌握正确的备考方法非常关键,很多考生在复习初期找不到正确的学习方法,常常被大量的公式、性质、概念。所难倒,无法熟练的理解与应用三角函数各个知识点的,对解题造成困难。考生在备考三角函数的内容时,要在老师的指引下找到合适的学习的方法,熟练的运用知识点,发现题目的规律与技巧,不断强化数学这一学科的能力.3.1垒实基础,温故知新三角函数题目属于高考中的易得分题目,大多数偏向于中档题偏下,所以,考生在复习的过程中一定要注重基础知识的掌握,三角函数知识点有着很强的理论性,需要大量的记忆量,面对繁多的公式,考生们不可以死记硬背,要掌握它们的推导过程,在推导的过程中,就会发现各个公式之间是可以相互转化相互变通的,考生们还可根据图像、性质等来帮忙记住公式,反过来,也可以通过公式来强化三角函数性质的记忆。高考数学中必不可少的题目就是解三角形的题目,因此,考生们需要掌握甚至精通各种解三角形的方法。通过练习与反思,不断垒实三角函数的知识,熟知各个公式、各个性质、各个图像之间的联系,构成属于考生自己的知识结构体系,对待具体的考题,能够快速找到对应的知识点去解答.3.2提升思想,巧妙运用在备战高考过程中,要十分注重挖掘、提炼数学思想,提升数学的思想性,将数形结合、分类讨论、灵活运用公式等思想方法合理的运用到三角函数问题中,进行归纳总结,上升到思想方法的新高度,掌握本质、揭示规律,在较高层次上发挥每个知识点的作用。比方,在温习三角恒等变更是要培养考生的辩证观点,对待角与角之间的关系时,要用辩证的眼光,建立起已知和未知的关系,明确建立联系是探求事物规律的主要思想方法；复习应用正余弦定理解三角形的时候,要将图像与数字有机的结合起来,熟练的使用数形结合这一数学思想,特别注意的是要了解图像的特殊性,根据图像找到解决问题的关键,如已知部分角的度数、边的长度求三角形面积最值的问题等,都需要结合数字与图像一起求解.3.3掌握规律,灵活运用三角函数的考题多种多样,不仅可以单独作为一个知识点进行考察,还可放在一些综合问题中,充当分析问题的“工具”,这就体现了三角函数的工具性,为了总结高考试题中的规律与方法,考生们在备考期间需要接触大量的真题,针对不同类型的题目,考生们在解题时,可将不同的解题方法和解题技巧进行归纳总结,定期复习,这样可以帮助考生掌握解题规律,强化学习能力,面对不同类型考题快速想出解决方案。高考中的三角函数考题,常常采用到数形结合、分类讨论等方法,考生们可以根据各种不同类型高考真题,加以感受并总结规律。三角函数知识的学习,掌握正确的方法非常重要,这样才能够将各种知识要点做有效的归纳总结,同学们也会对于所学内容有更好的理解掌握.3.4适应创新,迎难而上新教材、高考革新开始施行之后,二零二零年高考已经进行了新的创新,不定项选择题、综合性试题、多答案填空题、开放性试题、数学文化为背景的试题都将出现在往后的高考试卷中。三角函数的特点鲜明、内容丰富多彩,为其将来成为高考试题改革创新“场所”奠定了基础,所以,后辈考生在复习三角函数的时候要做到未雨绸缪,多多尝试新的题型,多加练习并总结其解题方法与规律,达到快速适应高考改革的目的,看到考题的第一瞬间,做到快、准、狠,迅速对考题做出解答,能够以不变应万变。这种创新型题型有助于提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。结束语三角函数试题注重数学的本质,突出理性头脑的引领作用,突出对关键能力的考查.体现了基础性、综合性、应用性和创新性的考核要求,本文对历年高考部分三角函数考题做了考题类型、解题方法等方面进行了宏观分析,试题的难度、结构以及试题的设置保持平稳,试题常态,常中出新,注重考查数学基础知识和通性、通法,在平常中闪耀着创新的光彩。总之