2022-2023学年广东省汕尾市甲东中学高二数学理上学期摸底试题含解析

2022-2023学年广东省汕尾市甲东中学高二数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如图），其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的中位数是（）A．91 B．91.5 C．92 D．92.5参考答案：B【考点】众数、中位数、平均数．【专题】概率与统计．【分析】把茎叶图中的数据按照大小顺序排列，求出这组数据的中位数即可．【解答】解：根据茎叶图中的数据，按照大小顺序排列为，87、88、90、91、92、93、94、97；∴这组数据的中位数是=91.5．故选：B．【点评】本题考查了利用茎叶图中的数据求中位数的应用问题，是基础题目．2.若命题“”为假，且“”为假，则（

）A.“”为假

B.假

C.真 D.不能判断的真假参考答案：B略3.一质点做直线运动,由始点起经过后的距离为,则速度为零的时刻是

（

）A.4s末

B.8s末

C.0s与8s末

D.0s,4s,8s末参考答案：D4.按照程序框图(如右图)执行，第4个输出的数是（

）A．4 B．5

C．6 D．7参考答案：D5.（本题满分11分）设函数f(x)＝x3－x2＋ax．(Ⅰ)函数f(x)在（11,2012）内单调递减，求a范围；(Ⅱ)若实数a满足1＜a≤2，函数g(x)＝4x3＋3bx2－6(b＋2)x(b∈R)的极小值点与f(x)的极小值点相同，求证：g(x)的极大值小于等于10．参考答案：(Ⅰ)解：f′(x)＝x2－(a＋1)x＋a＝(x－1)(x－a)．由题意2012≤a…………4分【其他方法酌情给分】(Ⅱ)(Ⅱ)解：f′(x)＝x2－(a＋1)x＋a＝(x－1)(x－a)．由于a＞1，所以f(x)的极小值点x＝a，则g(x)的极小值点也为x＝a．……6分而g′(x)＝12x2＋6bx－6(b＋2)＝6(x－1)(2x＋b＋2)，所以，即b＝－2(a＋1)．又因为1＜a≤2，……8分所以

g(x)极大值＝g(1)＝4＋3b－6(b＋2)Ks*5u＝－3b－8＝6a－2≤10．故g(x)的极大值小于等于10．…………11分略6.若a＞1，则的最小值是（）A．2 B．a C．3 D．参考答案：C【考点】基本不等式．【分析】将变形，然后利用基本不等式求出函数的最值，检验等号能否取得．【解答】解：因为a＞1，所以a﹣1＞0，所以=当且仅当即a=2时取“=”故选C7.在中，若，则的形状一定是(

)A.等腰三角形

B.直角三角形C.等腰直角三角形

D.等边三角形参考答案：A略8.抛物线的准线方程是（

）(A)

（B）y＝2

（C）

（D）y=4参考答案：B略9.抛物线y2=4x的焦点为F，点A（3，2），P为抛物线上一点，且P不在直线AF上，则△PAF周长的最小值为（

）A.4 B.5 C. D.参考答案：C【分析】求周长的最小值，即求的最小值，设点在准线上的射影为点，则根据抛物线的定义，可知，因此问题转化为求的最小值，根据平面几何知识，当、、三点共线时，最小，即可求出的最小值，得到答案。【详解】由抛物线为可得焦点坐标，准线方程为：，由题可知求周长的最小值，即求的最小值，设点在准线上的射影为点，则根据抛物线的定义，可知，因此求的最小值即求的最小值，根据平面几何知识，当、、三点共线时，最小，所以又因为，所以周长的最小值为，故答案选C【点睛】本题考查抛物线的定义，简单性质的应用，判断出、、三点共线时最小，是解题的关键，属于中档题。10.集合，，若，则实数的范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设点为函数与图象的公共点，以为切点可作直线与两曲线都相切，则实数的最大值为

▲

．参考答案：略12.双曲线的离心率为，且与椭圆=1有公共焦点，则该双曲线的方程为．参考答案：【考点】双曲线的标准方程．【分析】设双曲线的标准方程为，（a＞0，b＞0），由已知得，由此能求出双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线的离心率为，且与椭圆=1有公共焦点，∴双曲线的焦点坐标为，，设双曲线的标准方程为，（a＞0，b＞0），∴，解得a=2，c=，b=1，∴该双曲线的方程为．故答案为：．【点评】本题考查双曲线方程的求法，是中档题，解题时发认真审题，注意双曲线性质的合理运用．13.如图，在一个面积为8的矩形中随机撒一粒黄豆，若黄豆落到阴影部分的概率为，则阴影部分的面积为．参考答案：2【考点】几何概型．【分析】设阴影部分的面积为x，由概率的几何概型知阴影部分面积为矩形面积的，由此能求出该阴影部分的面积．【解答】解：设阴影部分的面积为x，由概率的几何概型知，则=，解得x=2．故答案为：2．【点评】本题考查概率的性质和应用；每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概型，可以用来求不规则图形的面积．14.如果三个球的表面积之比是，那么它们的体积之比是__________．参考答案：∵三个球的表面积之比是，∴三个球的半径之比是，∴三个球的体积之比是．15.程序框图（即算法流程图）如图所示，其输出结果是

.参考答案：12716.已知向量，.若，则k=

．参考答案：

2

17.在数列{an}中，已知a1+a2+…+an=2n﹣1，则an=．参考答案：2n﹣1【考点】数列递推式．【分析】由已知递推式求得数列首项，且得到n≥2时的另一递推式a1+a2+…+an﹣1=2n﹣1﹣1，与原递推式作差后验证首项得答案．【解答】解：由a1+a2+…+an=2n﹣1①，可得a1=1，且a1+a2+…+an﹣1=2n﹣1﹣1（n≥2）②，①﹣②得：．当n=1时，上式成立．∴an=2n﹣1．故答案为：2n﹣1．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.选修4——5；不等式选讲已知函数.(1)解关于的不等式;(2)若的解集非空,求实数的取值范围.参考答案：综上原不等式的解集为…………5分(II)原不等式等价于的解集非空令,即,

由所以所以

…………10分

略19.已知四棱锥P-ABCD的底面为菱形，且，.（1）求证：平面PAB⊥平面ABCD；（2）求点D到平面APC的距离.参考答案：（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）取的中点，连接，证明，，进而得到平面平面（2）利用等体积法：计算得到答案.【详解】（1）证明：取的中点，连接，由，知为等腰直角三角形，所以，，又知为等边三角形，所以.又由得，所以，，所以平面，又因为平面，所以平面平面.（2）设点到平面距离为，由（1）知是边长为2的等边三角形，为等腰三角形，由，得，因为，所以，即点到平面的距离为.【点睛】本题考查了面面垂直，等体积法求点到平面距离，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.20.

已知f（x）=x3－3x2+2x+1，写出任意一个x的值对应的函数值f（x）的求法程序.参考答案：（方法一）INPUT

“请输入自变量x的值：”；xA=x∧3B=3*x∧2C=2*xD=A－B+C+1PRINT

“x=”；xPRINT

“f（x）=”；DEND(方法二）INPUT

“请输入自变量x的值：”；xm=x*（x－3）n=x*（m+2）y=n+1PRINT

“x=”；xPRINT

“f（x）=”；yEND

21.根据所给条件求直线l的方程．（1）直线l经过圆x2+y2+2y=0的圆心，且与直线2x+y=0垂直；（2）直线l过点（﹣4，8），且到原点的距离为4．参考答案：考点：直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式．专题：综合题；直线与圆．分析：（1）由已知中圆的方程，我们先确定出圆的圆心的坐标，然后根据与已知直线垂直的直线的直线系方程，我们设出与直线2x+y=0垂直的直线方程（含参数λ），将圆心坐标代入可以构造一个关于λ的方程，解方程求出λ的值，即可得到答案．（2）当直线的斜率不存在时，直线方程为x=﹣4，满足条件．当直线的斜率存在时，设直线的方程为y﹣8=k（x+4），由=4，解出k值，可得直线方程．解答：解：（1）由已知，圆的标准方程为x2+（y+l）2=1，圆心坐标为（0，﹣1）设与直线2x+y=0垂直的直线方程是x﹣2y+λ=0则2+λ=0，所以λ=﹣2故经过圆x2+y2+2y=0的圆心，且与直线2x+y=0垂直的直线方程是x﹣2y﹣2=0；（2）当直线的斜率不存在时，直线方程为x=﹣4，满足条件．当直线的斜率存在时，设直线的方程为y﹣8=k（x+4），即kx﹣y﹣4k﹣8=0，由条件得=4，∴k=﹣，故直线方程为3x+4y﹣20=0．综上，直线l的方程为x=﹣4或3x+4y﹣20=0．点评：本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，考查点到直线的距离公式的应用，用待定系数法求直线方程，体现了分类讨论的数学思想．22.(1)已知a＝(2x－y＋1，x＋y－2)，b＝(2，－2)，①当x、y为何值时，a与b共线？②是否存在实数x、y，使得a⊥b，且|a|＝|b|？若存在，求出xy的值；若不存在，说明理由．(2)设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，试求向量a＝2m＋n和b＝－3m＋2n的夹角．参考答案：(1)①∵a与b共线，∴存在非零实数λ使得a＝λb，∴?