2022-2023学年湖南省衡阳市祁东县高一年级下册期中数学模拟卷（含解析）

2022-2023学年湖南省衡阳市祁东县高一下册期中数学模拟卷

(含解析)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的.

1.己知〃?，〃为实数，l-i(i为虚数单位)是关于X的方程-一机x+〃=°的一个根，则

m+n=()

A.0B.1C.2D.4

【正确答案】D

【分析】由l—i是关于X的方程/一加x+〃=o的一个根，则1+i是关于X的方程

X2_M+〃=0的一个根，结合根与系数的关系求解即可.

【详解】庄11—i是关于X的方程f-mx+n=O的一个根，

则1+i是关于χ的方程χ2—mx+n=O的一个根，

则机=1一i+1+i=2,〃=(1-i)X(1+i)=2,

即加=2,n=2,则〃？+〃=4,

故选：D.

2.如图所示，四边形OABC是上底为1,下底为3,底角为45"的等腰梯形，由斜二测画法,

画出这个梯形的直观图。‘48'。'，在直观图中的梯形的高为

I

A.—B.—C.—D.√2

432

【正确答案】A

【详解】试题分析：：四边形OABC是上底为1,下底为3,底角为45。的等腰梯形，

故ABCD的高为1,面积S=LX(I+3)xl=2,故其直观图的面积S'=2x也=也，设

242

直观图的高为h,则l∙χ（i+3）x0=也，解得：h=立,故选A.

224

考点：平面图形的直观图.

3.已知在正四面体4一6CZ）中，M为/8的中点，则直线CM与ND所成角的余弦值为

（）

A.yB.—C.也D.-

2263

【正确答案】C

【分析】设正四面体N-BCD的棱长为2,取6。的中点N,连接"N,CN则MN//Z。,

所以NC朋N是直线CW与ZD所成的角（或其补角），设MN的中点为E,则CELMN,

在E中，解三角形即可得答案.

【详解】解：如图，设正四面体C。的棱长为2,取8。的中点N,连接MN,CN,

∙.∙M是ZB的中点,

.∖MN∕∕AD,

NCMN是直线CM与Zo所成的角（或其补角）,

设JW的中点为E,则CE_LMN,

在ACME中,ME=-,CM=B

2

1

ME_3_也,

cos/CME=

^CM~^∕3~~6

√3

直线CM与AD所成角的余弦值为

6

故选：C.

4.在aZBC中，（元+瓦=则C的形状一定是（）

A直角三角形B.等腰三角形

C等边三角形D.等腰直角三角形

【正确答案】A

I.,iI2'2

【分析】注意到卜q=AC,根据已知等式，利用向量的数量积的运算法则和线性运算法

则可得到瓦屋X=O，进而得到结论.

【详解】（就+画）-X—

={JC+BA-ACyAC

={JC+BA+CAYAC

^2BAAC

=O

.,.BA±ΛC,

4ZBC为直角三角形，

故选：A

5.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖席.若三棱锥P-48C为

鳖席，P4_L平面∕8C,PN=ZB=2,NC=4,三棱锥P-ZBC的四个顶点都在球。的球

面上，则球。的表面积为（）

A.8πB.12πC.20πD.24π

【正确答案】C

【分析】先分析出三棱锥尸-NBC的外接球是一个长方体的外接球，尸C是其外接球的直

径，求出长方体的外接球的半径R,再由球的表面积公式求解即可.

【详解】将三棱锥尸-ZBC放在一个长方体中，如图所示，

则PC是长方体外接球的直径，

TT

因为一BC是直角三角形，且NZ8C=一,

2

所以BC=y∣AC2-AB2=2√3，

所以球。的直径PC=yjPA2+AB2+BC2=√4+4+12=2√5，

所以半径R为6，球。的表面积为4兀朋=4兀（指『=2071.

6.已知向量Z=(l,2x),加=(0,2),则孚的最大值为()

a

A.2√2B.2C.√2D.I

【正确答案】D

∩.A4∙Y

【分析】根据题意可得F=分x≤0和x>0两种情况讨论，结合基本不等式即

a4/+1

可得出答案.

【详解】解:由向量Z=(l,2x),3=(0,2),

,aa∙l)4x

得”二E

当l≤O时，≤O,

a

a∙b4x4/41

1

当X>。时，√4√÷14x÷^2O'

XV'X

当且仅当4%=一，即X=L时，取等号，

X2

综上”的最大值为L

a

故选：D.

7.已知菱形/8C。的边长为2,菱形的对角线NC与80交于点。，互i丽=T，点E是

线段6。上靠近。的三等分点，则近在刀上的投影向量的模长为()

84

A.-B.-C.1D.2

33

【正确答案】B

【分析】先根据数量积定义和题干条件互■的=1算出菱形的四个内角，然后直接利用投

影向量的模长公式计算.

【详解】菱形对角线相互垂直，即/403=9。，根据数量积的定义，

故BO=1,即COSN48。=工，又NABo

BABo=II而卜。而∣∙cosN∕3θ)=瓯1,

2

JT

为锐角，则430=1,根据投影向量的模长公式，荏在刀上的投影向量的模长为：

AEABAE-AB

羽=-2—，依题意，BE=2ED'即8Z+ZE=2E4+240,故

—■1―-2―•―-―-1--22―■—■4218

AE^-AB+-AD,于是AE∙AB=-AB+-ABAD=-+-2-2-,即投影向

33333323

4

量的模长为一.

故选：B

8.如图，在棱长为α的正方体力BCD-4/C。中，P,Q分别为3。，8片上的动点,

A.B.√4+2√2αɑ-q4+容aD.

2√13

-------a

3

【正确答案】B

【分析】AGP。的三边都在三棱锥GR的三个侧面上，将三棱锥3—4G2的侧面

展开成平面图形，根据共线时最短求解.

连接8。,4。，

由图易得，AGPQ的三边都在三棱锥3一片CA的三个侧面上,

将三棱锥8-4G2的侧面展开成平面图形，如图，

可得四边形BC}D}C；为直角梯形,

当GlP,Qc四点共线时，AC/。的周长最小，

最小值为《C；D；+DC=√4+2√2^，

故选:B.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0

分.

9.已知复数z=—l+6i（i为虚数单位），I为Z的共聊复数，若复数W=Z,则下列结论

z

正确的有（）

A.W在复平面内对应的点位于第二象限B.∖w∖=↑

C.W的实部为-LD.W的虚部为避√

22

【正确答案】ABC

【分析】对选项4求出语_2+巫，，再判断得解；对选项B,求出Hl=I再判断得解;

22

对选项C复数卬的实部为-L，判断得解；对选项卬的虚部为也,判断得解.

22

【详解】对选项4由题得I=-I一Gi,

-l-√3z(-l-√3z)2-2+2√3z1√3.

•W=_______=_________________=________=___+___J

-l+√3z(-l+√3z)(-l-√3z)422•

所以复数W对应的点为等)，在第二象限，所以选项A正确；

'--=↑,所以选项8正确;

对选项8,因为唧=+

44

对选项C复数卬的实部为-一，所以选项C正确;

2

对选项。,w的虚部为所以选项。错误.

2

故选：ABC

本题主要考查复数的运算和共轨复数，考查复数的模的计算，考查复数的几何意义，考查复

数的实部和虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

10.设向量α=(2,0),6=(1,1),则()

B.［与书的夹角是一

a-b∖1bD.与B同向的单位向量是

【正确答案】BC

【分析】对于A,直接求出两向量的模判断即可，对于B,利用两向量的夹角公式计算判断,

【详解】对于A,因为1=(2,0),⅛=(1,1),所以同=2,问=血，所以同咽，所以A

错误，

对于B,因为Z=(2,0),⅛=(1,1),所以CoS

因为同，所以，,*工，即[与B的夹角是生，所以B正确，

对于C,因为£=(2,0),B=(l,l),所以Z—B=

所以伍―B"=i—ι=o,所以所以C正确，

-/、-bf√2√2"∣

对于D,因为6=(1,1),所以与b同向的单位向量是M=I所以D错误,

故选：BC

11.设平面向量同=1,W=2,B在Z方向上的投影向量为工，则()

一一一一ɪ111

ʌ-a`c—c`bB∙a`b-a*c

C,p∙c∣≤2D.a∙c=p∣∙p∣

【正确答案】BC

【分析】根据数量积的定义和投影向量的定义逐个分析判断即可.

【详解】设B与[的夹角为6，

对于A,当6为锐角时，7闫丽=RU=HWCoS8=F『，不一定相等，所以A错

误，

对于B,当6为锐角时，“去=:帆8Se=WeoSg=H，a，。=同c∣=H，所以D=H

当e为钝角时，α∙B=,帆COSe=WCoSe=-H,Ge=-曰*[=[],所以;

ɪLLL

当。为直角时，α∙b=α∙c=0,综上B正确，

对于c,κq=B∣∙∣q=H<w=2,所以C正确，

对于D,若(α,c)=7,则a-c=-,Hd，所以D错误，

故选：BC

12.已知棱长为2的正方体力38-的中心为。，用过点。的平面去截正方体，

则()

A.所得的截面可以是五边形B.所得的截面可以是六边形

C.该截面的面积可以为3gD.所得的截面可以是非正方形的菱

形

【正确答案】BCD

【分析】利用正方体的对称性逐一判断即可.

【详解】过正方体中心的平面截正方体所得的截面至少与四个交，所以可能是四边形、五边

形、六边形，

又根据正方体的对称性，截面不会是五边形，但可以是正六边形和非正方形的菱形（如图）

故A错误，BD正确；

因为四边形44ClA的面积为4，当截面过中心。且平行与底面NBCo时，截面为矩形（此

时也是正方形），且面积为4<3百，若这个截面绕着中心。旋转，转到与四边形4片CD重

合，此时面积为4√Σ>3百，所以在转动过程一定存在截面面积为36，C正确.

故选：BCD.

三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.）

13.已知向量"，B满足W=2,W=1,［与B的夹角为60°,α，则4=.

【正确答案】4

【分析】利用向量垂直以及数量积的运算法则，可得同2=∕l7B,在结合题目所给的模，

代入即可求得.

【详解】vɑɪ（/l⅛-o）,.∙.α∙（26-α）=0即向2=花.石，又∙.∙∣q=2,W=l

a∙6=p∕∣∣⅛∣cos60°=2×1×ɪ=1.「=H=Zl

2a∙b

故4

14.在正方体/8C。—48∣G5中，M,N,。分别是棱。∣G,A↑Dl,8C的中点，点尸在

2

BDx上且8尸=；直九则以下四个说法：

①MN〃平面APC-,

②G0〃平面/PC；

③N,P,历三点共线；

④平面Λ∕N0〃平面APC.

其中说法正确的是（填序号）.

【正确答案】②③

【分析】连接MN,AC,则MN〃/C,连接/A/,CN,易得/M,CN交于点P,从而可知

MNU平面/PC,所以①错误；由M,N在平面ZPC上，由题易知ZN〃G°,从而可得CI0〃

平面/PC,所以②正确；由于前的证明可知/,P,M三点共线是正确的，从而可知③正确;

由于MVU平面ZPC,MNU平面MN°,从而可判断④

①连接Λ∕N,AC,贝!∣Λ∕N〃/C,连接4Λ∕,CN,

易得AM,CN交于点P,即MNU平面”尸C,所以MN〃平面NPC是错误的；

②由①知M,N在平面APCl.,因为在正方体ABCD-AiB↑C↑Di中，M,N,Q分别是棱D1Cu

4G，8C的中点，所以A44∣N丝AGC0,所以4AM∣=NG0C,因为NA,〃QC,所

以AN〃CQ因为/NU平面力尸C,所以CiQ〃平面/PC是正确的；

③由①知4,P,M三点共线是正确的；

④由①知MNU平面APC,

又MVU平面MV。，

所以平面MNQ〃平面/PC是错误的.

故②③

此题考查线面平行、面面平行的判断，考查空间想象能力和推理能力，属于基础题

15.异面直线八6所成角为(，直线C与a、b垂直且分别交于小B,点C、。分别在直

线a、人上，若/C=I,AB=2,BD=3,则CO=.

【正确答案】JrT或J万

【分析】过8作8E//NC且过。作Z)Ej于E,连接BE、CE,要注意从C在48的同

Tt

侧或异侧两种情况，结合已知有NDBE=—,再过C作CFLBE于F,求出DE、EC的长

3

度，在放AOEC中应用勾股定理求CD.

【详解】由题意，过8作8E//ZC且过。作。EE于E,连接8E、CE,如下示意图，

IT

.∙.由题设知：面/8EC为直角梯形且ND3E=—,

3

Tln3

过C作CFlBE于F,则CF=AB=2,BD=3,可得OE=ɪ-,BE=-,

22

.∙.如图1,易得EF=；,则EC=@7,

22

在RtADEC中,CD=y∣DE+EC=√ΓT∙

如图2,易得EF=),贝IJEC=叵，

22

22

在RtADEC中,CD=y∣DE+EC=√17.

故Jn或JI7

16.如图，在平面四边形ZBCD中，4BA.BC,ADLCD,NBAD=120。,AB=4D=1.若

点E为边CD上的动点，则a.丽的最小值为.

Ct

A

【正确答案】—

【分析】设瓦=X比（0≤4≤l）,根据条件找出OC=JgC=6，I方同=G4,且诙

与方的夹角为一，房与方的夹角为f，从而根据向量的加法法则和减法的定义写出

63

初•丽=（方-瓦）•（而+方+方），然后表示为关于义的二次函数，通过求二次函

数的最小值即可解决问题.

【详解】延长。。,氏4交于点”，因为〃8,8。,4。，8,/氏4。=120。，所以

NBCD=60°，N0H4=3O°,

在RtAZ0”中，NDHA=30°，AD=I,所以AH=2,DH=也,

在RtABC”中，NCHB=36，BH=3,所以CH=25BC=5

所以DC=BC=百,不妨设丽=4反（0≤4≤l）,则I瓦I=Gzl,且诙与刀的夹

角为巳，方彳与彳豆的夹角为£，

63

则成.9=胸-闻•（而+刀+画

∙^+DA^+DA-AB-DEED-DE-DA-DEAB

=0+］研+］研画COSI→322-0-∣网网CoSV

=1+,+342-0一G；IX苴=3%2-L+a,

2222

所以∕t=∙^•时，成•丽取最小值3x(L1--×-+-=-.

4⑷24216

故答案为.—

16

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤.

17.己知平面向量［满足同=1,W=2,(a+2h)-(2a-b)=-3.

rr

(1)求ɑ-b；

(2)若向量B与Xl+B的夹角为锐角，求实数/1的取值范围.

【正确答案】⑴√3:(2)(-4,0)U(0,+∞).

【分析】(1)由给定条件求出7B，再根据向量模的计算公式即可得解；

(2)根据向量夹角为锐角借助数量积列出不等关系即可作答.

【详解】(1)依题意，(α+23)∙Qα—q=2α-a∙b+4a∙b-2b'=3a∙b-6=-3,得

Q∙坂=1，

,1=J(IB)丁田+3―2H√Γ77≡i=√L

所以,_可=Ji；

(2)由向量石与A,a+1)的夹角为锐角，可得"(％α+彼)>0,即有2+4>0,解得2>—4,

而当向量B与％Z+B同向时，可知;I=0,

综上所述/1的取值范围为(-4,θ)u(0,+∞).

18.锐角ΔJ8C中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足：αsinB=6CoS(C=I.

(1)求z；

(2)求A∕8C面积取值范围.

TT

【正确答案】(1)—

3

【分析】(1)根据正弦定理边化角，利用两角和差关系得SinZ=VicosZ,即tan力=6,

结合角度范围即可得角/；

(2)根据正弦定理及三角形面积公式转化为关于角C的正切函数，根据锐角得角。的范围,

即可求得A∕8C面积取值范围.

【小问1详解】

解：因为QSinB=bcos[4-£卜由正弦定理得：sinsin5=sin5cos[-ɪπj,

6

因为B∈(0,^),sin5≠0,

=/z+"

所以Sin力=COSA--

I622

化简得SinZ=J5cos力，所以tan∕=JJ,

因为∕w(0,兀)，所以/=

【小问2详解】

解：由正弦定理上_^=—,得6=当^

sm6smCsιnCSinC

加sin(π-∕-C)6sin[--Cj

又=LCSinZ=旦=ʌ/ɜSinBr

ABC24VSinC4sinC4sinC

√3-1.「

∕τ——cosC÷-SinC

7322

4sinC

o<c<-ɔ

因为锐角AN3C,所以〈；解得Ce则tanC∈

0<8卫-73

[32

所以SW

19.已知圆锥S。的底面半径7?=5,曷H=I2.

(1)求圆锥SO的母线长；

(2)圆锥SO的内接圆柱。。，的高为爪当人为何值时，内接圆柱。。'的轴截面面积最大,

并求出最大值.

【正确答案】(1)13(2)h=6;最大值为30

【小问1详解】

Y圆锥SO的底面半径7?=5,高"=12,

.∙.圆锥SO的母线长L=H2+R2=13；

【小问2详解】

作出圆锥、圆柱的轴截面如图所示，

其中SO=I2,OA=OB=5,OK="(0<4<12).

Vhh)

设圆柱底面半径为r,则一=-1-2-—--，即尸=—5(.1.2.—...L.

51212

SSr^-I

设圆柱的轴截面面积为S'=2r∙∕z=-(12Λ-∕z2)=-[-(/?-6)2+36*0<〃<12).

当力=6时，S'有最大值为30.

20.&46C的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,-8。的面积S=tan〃，BC边上的

中线长为3.

(1)求〃；

(2)求/BC外接圆面积的最小值.

【正确答案】(1)2√7

【分析】(1)根据已知，利用三角形的面积公式向量的线性运算以及模长公式，再利用余弦

定理求解.

（2）根据第（1）问的结论，利用基本不等式、正弦定理以及sin2∕+cos2∕=l进行计算

求解.

【小问1详解】

1Sjn√4

因为“BC的面积S=tan/,所以一bcsinA=tanA=-----,

2COSZ

因为Ze（O,兀），所以SinNN0,所以bccosN=2,

因为BC边上的中线长为3,不妨设BC边中点为。，

所以2而=万+就，两边平方有：4而'=方?+就2+2而・太，

BP36=⅛2+c2+2∕>ccos.^b2+c2=32»

由余弦定理有：α2=b2+c2-2bccosA<即/=32—2x2=28，

解得a=2-V^7.

【小问2详解】

由（1）有：b2+c2=32'所以6?+c?=32NIbc>即be≤16,

当且仅当力=C时取等号，

2I

由（1）有：bccosA=2,所以be=-------≤16,解得一≤cos∕<l,

CosA8

X√4∈（0,π）,sin2A+cos2A=I>所以0<sin4≤,

设AZ8C外接圆的半径为K,由正弦定理有：2R=，一，

sin/

d√7√78

所以SinZ-3J73，所以—8C外接圆面积的最小值为等.

ɪ

21.如图，四棱锥PdBC。的底面488为平行四边形，E,F分别为。，尸8的中点.

（1）求证：EF〃平面以D

（2）在线段PC上是否存在一点。使得4E,Q,F四点共面？若存在，求出崇的值;

若不存在，请说明理由.

【正确答案】（1）证明见解析

（2）存在点。符合题意，且此时尸。：。C=2:1

【分析】（1）取PN的中点“，连接MaM/，可证得四边形。EFM为平行四边形，可得

EF//MD,再由线面平行的判定理可证得结论；

（2）取/8的中点“，连接PH交4F于G,在PC上取点0,使P0:0C=2:1,连

接GQ,HC,则4瓦。,尸四点共面，然后证明即可.

【小问1详解】

证明：取R4的中点用，连接用。,忖尸，

因为RM分别为PB,PZ的中点，

所以月FM=LAB,

2

因为四边形ABCD为平行四边形，

所以Z6〃C0，AB=CD,

因为E为CO的中点，

所以。E=LC。，

2

所以月0〃DE,FM=DE,

所以四边形DEFM为平行四边形，

所以EF//MD,

因为ET7N平面PNO,MDU平面P/。，

所以EE〃平面PND,

【小问2详解】

存在点。符合题意，且此时尸。：。。=2:1,

取Z6的中点"，连接。”交心于G,在PC上取点0,使PQ：QC=2:1,连接

GQ,HC,则4E,。,厂四点共面，

证明如下：

因为在平行四边形/8C。中，分别为C。,48的中点，

所以4H〃CE,AH=CE,

所以四边形AHCE为平行四边形，

所以CH//AE，

因为R为尸8的中点，所以点G为APZ8的重心，且PG:G〃=2:1,

因为尸。：。。=2:1,

所以G。〃〃。，

因为C7/〃/E，

所以G0〃ZE,

所以G0和/E确定一个平面α,

因为尸在直线NG上，

所以F∈a,

所以4E,2,P四点共面，

所以在线段PC上存在一点。使得/,E,Q,尸四点共面.

22.后疫情时代，很多地方尝试开放夜市地摊经济，多个城市也放宽了对摆摊的限制.某商

场经营者也顺应潮流准备在商场门前摆地摊.已知该商场门前是一块扇形区域，拟对这块扇

形空地ZOB进行改造.如图所示，平行四边形OMPN区域为顾客的休息区域，阴影区域为

“摆地摊”区域，点尸在弧N8上，点"和点N分别在线段OA和线段08上，且CM=90cm,

（1）请写出顾客的休息区域OMW的面积S关于。的函数关系式，并求当。为何值时，S

取得最大值；

（2）记丽=Xa+y历，若，=%+〃^（"〉0）存在最大值，求〃的取值范围.

【正确答案】⑴5=2700√3sin26»+ɪJ-1350√3,（0<6<三），θ=

【分析】（1）在APMO中，正弦定理可得OM=60JiSin6，PΛ∕=60√3sin^-6>J,通

过三角恒等变换可得S=2S"=2700Gsin（2e+S，13506（0<6<三］，从而

可求其最大值；

（2）根据向量的运算，由丽=xE+y方得χ=2叵sin。，y=^sm（--θ∖,从而

33∖3