2022-2023学年安徽省滁州市定远县高一年级下册期中考试数学模拟试题（含解析）

2022-2023学年安徽省滁州市定远县高一下册期中考试数学模拟试题

(含解析)

一、单选题

1,已知复数Z满足回=不，且z-l为纯虚数，则2=()

A.1+2/B.2-zC.2±zD.l±2i

【答案】D

【分析】设复数z=4+6i(“,bGR),根据复数的模和纯虚数的概念，由“^二君,a-1=0求解.

【详解】设复数z=a+加(a,6e&),

因为忖=有，且z-l为纯虚数，

所以'ja2+b2=y/5,a—1=0>

解得a=\,b=±2,

所以z=1±2i,

故选：D

【点睛】本题主要考查复数的概念和模的运算，属于基础题.

2.已知方=3，AC=b<筋=3反，用2，坂表示瓦，贝I」而=()

313

一

5一

3-1Da+b

A.—aH—b7B.4-4-4-

44

【答案】D

【分析】结合平面图形的几何性质以及平面向量的线性运算即可求出结果.

【详解】

因为而5=3反，

所以而=次+而=布+—团=刀—(-而+前>AB-i-AC,

44、744

又因为Z8=Q，AC=b>

所以通=,£+3九

44

故选：D.

3.如图所示，隔河可以看到对岸两目标A,B,但不能到达，现在岸边取相距4km的C,D两点,

测得/ACB=75。，NBCD=45。，NADC=30。，ZADB=45°(A,B,C,D在同一平面内)，则两目

标A,B间的距离为km.

——-------?

\'、、、/\

\y\

'\75?/''、、芈。\

'台45°30。、?4一

C4km口

A.送B.亚C.巫D.2亚

333

【答案】B

【分析】由已知可求NC4)=30。，ZACD=\2Q°,由正弦定理可求4。的值，在ASC。中,

ZC5Z)=60°,由正弦定理可求8。的值，进而由余弦定理可求N8的值.

【详解】由已知，A4C。中，/。。=30。，乙48=120。,

CDAD

由正弦定理,

sinZCADsinZACD

CDsinZACD。百,

所以力。=4.120=4

sinZCADsin30°

在ABCQ中，NCBD=60。，

CDBD

由正弦定理,

sinZCBDsinZSCD

叱iccCDsinZBCD4sin4504/-

所以B£)=­；-------------=-=76,

sin/CBDsm6003

在AJ8O中，由余弦定理，AB2=AD2+BD2-2ADBDZADB=—,解得：AB=^^-

33

所以A与B的距离/8=生叵

3

故选B

【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思

想，属于中档题.

4.如图，正方形OWB'C的边长为1,它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是

()

【答案】B

【分析】根据斜二测画法得出原图形四边形0/8C的性质，然后可计算周长.

【详解】由题意0®=应，所以原平面图形四边形O48C中，OA=BC=1,OB=2立,OBVOA,

所以OC==+(2jiy=3，

所以四边形的周长为：2X(1+3)=8.

故选：B.

5.如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是

A.该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体

B.该几何体有12条棱、6个顶点

C.该几何体有8个面，并且各面均为三角形

D.该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形

【答案】D

【分析】根据几何体的直观图，得出该几何体的结构特征，由此判断选项A、B、C正确，选项D

错误.

【详解】根据几何体的直观图，得

该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体，

且有棱MA、MB、MC、MD、AB、BC、CD、DA、NA、NB、NC和ND,共12条；

顶点是M、A、B、C、D和N共6个；

且有面MAB、面MBC、面MCD、面MDA、面NAB、面NBC、面NCD和面NDA共个，且每个

面都是三角形.

所以选项A、B、C正确，选项D错误.

故选D.

【点睛】本题考查了利用空间几何体的直观图判断几何体结构特征的应用问题，是基础题目.

6.已知&=(-1,3),5=(2,-1)，且(己+很)_1_(a-25),则k=

44c33

A.-B.—C.-D.—

3344

【答案】C

【解析】求出％“+的坐标，利用垂直的坐标表示列方程求解.

【详解】由题意知，ka+b=(2—k,3k—l),a—2b=(—5,5),S.(ka+b)-(a-21))=0>

故-5(2-左)+5(3%-1)=0,

解得及=：3

4

故选：C.

【点睛】本题考查向量的坐标表示，垂直的坐标表示，是基础题.

7.已知正四棱锥的底面边长是2,侧棱长是6,则该正四棱锥的表面积为()

A.GB.12C.8D.473

【答案】B

【解析】根据正四棱锥的底面边长和侧棱长，求出侧面面积与底面面积，然后求出表面积即可.

【详解】如图所示，

S

E

B

在正四棱锥S-HBCD中，取BC中点E,连接SE,

则ASBE为直角三角形，

所以SE=dSB?-BE2=51=2,

所以表面积S=S正方MBCD+4X%SPC=2X2+4X；X2X2=12.

故选：B.

【点睛】本题考查了正棱锥的表面积，属于基础题.

8.现有一个封闭的正三棱柱容器，高为3,内装水若干（如图甲，底面处于水平状态），将容器放

倒（如图乙，一个侧面处于水平状态），这时水面所在的平面麻武尸与各棱的交点分别为其所在棱

的中点，则图甲中水面的高度为（）

图甲图乙

A.GB.2C.空D.-

24

【答案】D

【解析】首先利用图乙求出水的体积，再利用等体积法求出图甲中水面的高度.

【详解】设正三棱柱的底面积为S,

；E,F,片，片分别为其所在棱的中点，

•••*=；，即品杵=9，

.3

**S四边形8C7T=，

・39

,•81cM一"水=aSx3=1S，

99

因为^=^・S-8c=aSn〃水=4，

所以图甲中水面的高度为;.

4

故选：D.

【点睛】本题主要考查了利用等体积法求高，属于基础题.

二、多选题

9.复数z满足*-z+3i=2,则下列说法正确的是（）

3-2;

A.z的实部为_3B.z的虚部为2C.z=3-2zD.|z|=713

【答案】AD

【分析】由已知可求出z=-3-2i,进而可求出实部、虚部、共辗复数、复数的模，进而可选出正确

答案.

【详解】解：由空-z+3i=2知，普.z=2-3i,BPz=（2-3/）—-3i\（3-2i）

3-Z3-2/'72+3Z13

-39-26z

"13=~3~2/，所以z的实部为-3,A正确；z的虚部为.2,B错误；

z=-3+2z-C错误；|z卜J（-3）2+（-2）2=岳，D正确：

故选:AD.

【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的概念，考查了共辄复数的求解，考查了复数模

的求解，属于基础题.

10.正三棱锥S-4BC的外接球半径为2,底面边长为力8=3,则此三棱锥的体积为（）

A9百n373„270n373

4442

【答案】AB

【分析】首先设三棱锥S-18C的外接球的球心为。，三角形/8C的中心为。，得到8=百，再

分类讨论求解三棱锥体积即可。

【详解】设三棱锥S-ZBC的外接球的球心为。，三角形/8C的中心为。，

由题知：2CD=――,解得百.

sin60

当外接球球心。在线段SD上时，如图所示：

8

OD=yj22—(V3j=1>SO=1+2=3,

所以匕,BC=-x—x3x3x—x3=2石.

STBC3224

当外接球球心O在线段S。的延长线上时，如图所示:

OD='2。—=1，SD=2—1=1,

所以匕=—x—x3x3x-x1=—\[3■

s"3224

故选：AB

11.（多选）已知向量$不共线，若在=4万+B，AC=a+^b＞且/，B,。三点共线，则关

于实数4，4的值可以是（）

A.2,yB.-3,

~3

C.2,—D.-3,

23

【答案】AB

【分析】利用平面向量共线基本定理即可求解.

【详解】因为4B,C三点共线，

则存在实数2,使得羽=4万，

即43+/=*+砌,

即4彳+5»

所以(4-2"+(1_义4»=6，

又因为向量入B不共线,

（Z-A=O

所以「3八，解得44=1，

[1—4七=u

所以实数4，4的值互为倒数即可求解.

故选：AB

12.某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台0/。2,在轴截面，8。中，AB=

AD=BC^2cm,且CD=24S,下列说法正确的有（）

B.该圆台的体积为也cn?

3

C.该圆台的母线力。与下底面所成的角为30°

D.沿着该圆台表面，从点C到/。中点的最短距离为5cm

【答案】ABD

【分析】求出圆台的高=百，根据梯形面积公式可求圆台轴截面的面积，从而可判断A；

根据圆台的体积公式可判断B；圆台的母线ND与下底面所成的角为4。。，从而可判断C；由圆

台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为4cm,底面半径为2cm,设/。的中点为P,连接CP,求出CP,

即为沿着该圆台表面，从点C到/。中点的最短距离，从而可判断D.

【详解】由4B=4D=BC=2,且8=2/8,可得8=4,高O.=（-1一）=6,

则圆台轴截面/8CZ）的面积为:X（2+4）X^=36cm）故A正确；

圆台的体积为展9（1+2+4）＞＜5/5=¥兀＜：0?,故B正确；

圆台的母线与下底面所成的角为N/OQ,其正弦值为正，

2

所以44。。1=60。，故C错误；

由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为4cm,底面半径为2cm,

侧面展开图的圆心角e=t—=九

4

设工。的中点为尸，连接CP,可得NCOP=9()o,OC=4,OP=2+l=3,

则CP="2+3?=5.

所以沿着该圆台表面，从点C到/。中点的最短距离为5cm,故D正确.

故选:ABD.

三、填空题

13.已知i是虚数单位，若含=a+bi(a,6eR),则lg(a+6)的值为.

【答案】0

【分析】运用复数四则运算及复数相等的定义即可得解.

，>1,2+i(2+i)(I—i)3—i31.,.

【详解】因m为——=-——-——-=——=---i=a+hi,

1+i2222

所以q='|,6=-；,a+6=l,lg(a+Z>)=0.

故答案为：0

14.已知同=问=2,(a+2b\(a-b]=-2,则，与5的夹角为.

【答案】60

【详解】根据已知条件仅+2在)0-垃=-2,去括号得：

|a|2+a-^-2|fe|=4+2x2xcos0-2x4=-2,ncos。==60、

15.如图，半径为2的半球内有一个内接正六棱锥P-ABCDEF,则此正六棱锥的侧面积是

【答案】6

【详解】显然正六棱锥P—ABCDEF的底面的外接圆是球的一个大圆，由已知，可得大圆的半径为

2.易得其内接正六边形的边长为2.又正六棱锥P—ABCDEF的高为2,则斜高为=,所以该正六棱锥

的侧面积为6xx2x=6.

16.如图，△/8C为等腰三角形，N84C=120。，N8=/C=4,以/为圆心，1为半径的圆分别交

AB,AC与点、E,E,点P是劣弧夕7上的一点，则方.定的取值范围是.

【答案】[TL-9]

【详解】以A为原点，以8c的垂线平行线为V轴，建立直角坐标系，由/A4c=120。，AB=AC=4,

可得川-2A/J,-2）,C（26-2）,v\^P\=I,.-.可设尸（cosa,si"a）,\?rVa<-1<sina<,

PB=^-2A/3-cosa,-2-sinaj,PC=^2y/3-cosa,-2-sin,

PBPC=cos2-12+（2+sin）2=-7+4sina€[-11,-9]，故答案为[T1,-9].

【方法点睛】本题主要考查平面向量的数量积以及向量的坐标表示、利用三角函数的有界性求范围,

属于难题.求范围问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:①配方法（适合二次函数）；

②换元法（代数换元与三角换元）；③不等式法（注意基本不等式的使用条件“一正、二定、三相

等”）；④三角函数法（注意恒等变形）；⑤图像法（根据图象的最高和最低点求解）；⑥函数单调

性法求解（根据其单调性求曲数的取值范围即可），本题主要应用方法④解答的.

四、解答题

uuir1uurUUT1UUT

17.如图所示，在A48O中，OC=-OAOD=—OB,4。与相交于点”.设04=Q,OB=b.

4

（1）试用向量£、否表示两；

（2）在线段NC上取一点E,在线段8。上取一点F,使EF过点加，设瓦=几a，OFpOB,

七'TJ3

求证：：+-=7.

A.〃

【答案】（1）OM=^+h.（2）证明见解析.

【解析】（1）设丽=用£+/，由A、D、M三点共线以及8、C、M三点共线可得出关于加与〃

的方程组，解出这两个未知数，即可得出两关于£、区的表达式；

（2）设而=i而,利用向量的减法运算可得出的=3一£+争友结合两=：£+=坂可建立

1+771+777

13

等式，通过化简计算可得出了+—=7,即可得出结论.

【详解】（1）不妨设=+

由于A、D、例三点共线，则存在a（aw-l）使得旃=［砺,

即两-E=a（而-丽），于是丽历

.a.

uinr!uniOA-^-OB.

a7

y.OD=-OB,所以而=__」=工+-----七，

乙\+a\+a2(1+67)

1

m=-----

1+a

则夕,即加+2〃=1.①

n=­：----

2(l+a)

由于8、C、〃三点共线，则存在夕（夕片-1）使得由=£丽,

即两-反=?（历-两），于是丽="0+£0'

\71+0

uuur1uur-OA+POB..

又。。=^。力，所以两

“F-=而7M专

]

m=

4(1+/?)

所以，即4m+M=1.②

n=-B

1+万

13——,1-3—

由①②可得f,所以。〃=严产

（2）由于£、M,尸三点共线，所以存在实数使得由=?诉,

^\]OM-OE=r]{OF-OM),于是两="了”

又赤=祝,而=〃痂，所以两=也警丝=々+”，

1+〃1+71+77

21

=

1-3-1+〃J,可得，11+7

所以;=上+吗,则<

771+〃l+rj_33__7〃

-7

,1+7串1+〃

13

两式相加得力+1=7.

【点睛】本题考查了平面向量的数乘，向量的线性运算及向量表示三点共线，属中档题.

18.设复数z=a+6i(a,6eR,。>0,i是虚数单位)，且复数z满足目=W，复数(l+2i)z在复

平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上.

⑴求复数z；

(2)若彳+~m为—i纯虚数(其中加€区)，求实数加的值.

1+/

【答案】(1)z=3-i；(2)m=-5.

22

【详解】试题分析：(1)设2=。+阳a,6eR,a>0),由目=可得：a+b=}0,又复数

(1+2，”=(1+2。(°+必=(4-2/>)+(2a+6»在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，则

a-2b=2〃+6即a=-3b.联立求解即可(2)由彳=3+i,可得

_m-i..m-i.(w-z)(l-«).(zn-i)(l-z)m+5A,•••，+霍为纯虚数，

z+----=3+/+----=3+/+^————r=3+z+-----———J----\

1+/1+ZQ+i)Q-i)22

，然后解方程即可

do

2

试题解析：

⑴设z=a+6i(a,6eR,a>0),由|z|=Jid得：/+〃=10.①

又复数(l+2»=(l+2i)(a+加)=("26)+(2a+b)/•在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线

上，贝!］。-26=2〃+6即a--3h.(2).

〃2.L2_

由①②联立方程组｛，解得〃=3,6=-1或a=-3,b=]

a=-3b9

••d——3,b=1.

/.z=3-z.

,..L,_m-i_.m-i_.(w—/)(1—f).(in-i)(1—z)m+5\-m

⑵由"3+i用得2+而=3+,+17r3+1+鬲寻3+,+\21_1丁-

S=0

•・・彳+粤为纯虚数，.2,

1+Z1一加八

------W0

2

解得/w=—5.

19.一个圆台的母线长为12cm,两底面面积分别为4兀cn?和25冗cn?.

（1）求圆台的高；

（2）求截得此圆台的圆锥的母线长.

【答案】（1）3>/15cm.（2）20cm.

【分析】（1）作出圆台的轴截面图示，利用勾股定理计算相关长度；（2）将轴截面的梯形补形成三

角形，利用相似的知识去计算出母线长.

【详解】（1）如图，过圆台的轴作截面，则截面为等腰梯形48C。，。­。分别为8c的中

点，作/MJ.8c于点"，连接00.

由已知可得上底半径。/=2cm,下底半径08=5cm,且腰长/8=12cm,

•*.AM=>/122—32=?>y[\5(cm),即圆台的IWJ为3JF5cm.

（2）如图，延长氏4,OQ交于点S,设截得此圆台的圆锥的母线长为/cm,则由

得昙=%，即与=■!，.••即截得此圆台的圆锥的母线长为20cm.

SBBOI5

【点睛】本题考查圆台的相关量的简单计算，难度一般.处理圆台有关问题时一定要将圆台和圆锥联

系在一起，有时利用圆锥能很方便解决圆台问题.

20.如图，A,B是海面上位于东西方向相距5（3+6）海里的两个观测点，现位于A点北偏东45。,

B点北偏西60。的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60。且与B点相距206海里的C

点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？

D

【答案】救援船到达D点需要1小时.

解：由题意知力8=5(3+J5)海里，

/DBA=90°-60°=30°,ZDAB=45°,

ZADB=\05°

【详解】在皿8中，由正弦定理得一2^_AB

sin/DABsinAADB

0

.D[iAB•sinZDAB_5(3+75)»sin45=5(3W5)*in45。

sinAAD