圆锥曲线综合应用（练习）（含解析）2023年高考数学二轮复习

考点8・5圆锥曲线综合应用

卜维练基础JH

22

1.（2022•全国•高三专题练习）已知A,B,P是双曲线=-4=1（α>0,6>0）上不同

a^b^

4

的三点,且A,8连线经过坐标原点，若直线雨，尸8的斜率乘积为则该双曲线的离心

率为（)

在B.1

A.C.√2

22DT

【答案】D

【分析】设A(Λ⅛,%),P(x2,y2),根据对称性,知B(Ff),然后表示出∙,又由

于点A,P在双曲线上，所以将其坐标代入方程中，两式相减，结合前面的式子可得

A24

k∙kpB=J=±,化简可求出离心率

a3

【详解】设Aa,χ）,P（x2,y2）,根据对称性,知5（一1,一%）,

所以原履仁PB-

X2-XyX2+X1

因为点4,尸在双曲线上，

日一业=1

1

2>22ɔ22

所以《*",两式相减,得々一再当f

2

ɪ-ɪ=1Crb

a2b2

所以2牛4

ax2-x1

所以女"∙％=W,

所以/=七5=］，所以e√fT

a23亍

故选：D

2.（2022•江西•高三阶段练习（理））已知双曲线C:，nr2-ry2=l（相>o,〃>0）的一个焦点

4

坐标为（τ,o）,当利+〃取最小值时，C的离心率为（）

A.更B.√3C.2D.√2

【答案】B

1414

【分析】根据双曲线的标准方程可得标=上,从=2,¢2=1,根据。力，C的关系可得上+2=1,

mnmn

由基本不等式的求解即可得"=2∕n=6,进而Y='=2,即可求离心率.

m3

X2y2_

【详解】由C：〃优2一=］（m>0,〃>0）可得，屋一1,所以〃2=,力2=±,2=1,

4——mn

mn

故可得工+3二1,所以"+〃=（'+△）（"?+〃）=5+2∙+例..5+2=9,

mn∖mnJmn∖mn

当且仅当2=±"，即n=2m=6时等号成立，所以°2=2_=:，a=虫又c=l,

mnm33

所以e=£=6,

a

故选：B.

3.（2023•全国•高三专题练习）已知双曲线C:二-1=l（α>0∕>0）满足2=且，且与椭圆

a2h2a2

£+21=1有公共焦点，则双曲线C的方程为（）

123

2

X2-y

-一

Ba.8

√1£0

-

4-3

【答案】A

【分析】根据题意，结合椭圆与双曲线的几何性质，列出方程，求得α,b的值，即可求解.

【详解】由椭圆的标准方程为二+亡=1,可得¢2=12-3=9,即c=3,

123

因为双曲线C的焦点与椭圆£+T=I的焦点相同，所以双曲线C中，半焦距c=3,

123

又因为双曲线。£-1=1（。>0,方>0）满足2=正，即〃=逝〃，

a'b-a22

又由〃+廿=c2,即/+（交=9,解得〃=4,可得〃=5，

I2）

所以双曲线C的方程为三-E=L

45

故选：A.

4.（2022・重庆巴蜀中学高三阶段练习）设抛物线。：〉2=2〃%（〃>0）的焦点为凡准线/与X

轴的交点为K,点A在C上，已知点4的横坐标为正，∣A目=2后，则,.AKF的面积SAKF=

【答案】4.

【分析】先由抛物线的定义得点K的横坐标为一夜，进而求得AF_LX轴，再计算,,AXF的

如图，作A4」/于A,由抛物线定义知IAAi=MFl=2血，又点A的横坐标为近，则点K

的横坐标为

点尸的横坐标为正，则ArX轴，则S"=gx20x2√∑=4.

故答案为：4.

22

5.（2023・全国•高三专题练习）已知双曲线-A-4=l（a>0⑦>0）的实轴为A4,对于

aZr

实轴A&上的任意点P，在实轴A&上都存在点Q,使得IPQI=物，则双曲线「的两条渐

近线夹角的最大值为；

【答案】y

【分析】通过分析得到a*Mb,设渐近线与X轴的夹角为。，则tan"≤巫，求出。≤?,

从而求出双曲线r的两条渐近线夹角的最大值.

【详解】对于实轴Aa上的任意点尸，在实轴44上都存在点Q,使得归。=血，

当点P位于原点时，则要aN石才能满足要求，

所以2«3，设渐近线与X轴的夹角为。，则tand≤且，

a33

因为e≤Tmr,则双曲线r的两条渐近线夹角为2。VT?r,

63

故答案为：I

2维练能力J//

6.（2021∙黑龙江•大庆实验中学高三开学考试（理））已知点F为抛物线C：Γ=2px（p>0）

的焦点，点K为点尸关于原点的对称点，点〃在抛物线C上，则下列说法错误的是（）

A.NM"的范围决定了点”的个数

JT

B.不存在使得NMKF=§的点〃

Tr

C.使得NMK尸的点M有且仅有2个

4

JT

D.使得NMKF=丘的点”有且仅有2个

【答案】D

［分析］问题可转化为过点作抛物线的切线,求出切线斜率,即可得到ZMKF的最大

值,结合抛物线的图像,问题即可解决.

设过点K抛物线的切线方程为:y=k1

代入y2=2px后整理得以2+W-2p）x+（=0

因为相切，<⅛（⅛>-2p）3-4⅛2×∙^=O

TT

化简得公=1,解得Z=±l,所以NMK厂的最大值为

4

-TT

做出图像:显然当M在切点位置时，ZMKb最大为丁,此时点M有两个（1轴上卜各有一个，

4

位置①）；

当《05时,点M有四个（X轴上下各有两个,位置②；

当NMK尸=0时点即为原点0,只有一个，

故ABC选项的命题正确,D选项错误.

故选：D

7.（2022・河南•高三开学考试（文））在正方体ABs-ABCa中，E为AR的中点，F

为底面ABC。上一动点，且EF与底面48C。所成的角为60。.若该正方体外接球的表面积

为12π,则动点尸的轨迹长度为（）.

ʌ4√3r√3r2√3n4√3

A.---TCo•TtC•--------TCL）•-------Tt

9333

【答案】A

【分析】取Ao的中点，，连接E”，判断出NEFH为EF与底面ABCo所成的角，即

ZEFH=60°.设正方体的棱长为m利用外接球的表面积求出α=2.判断出F的轨迹为以H

为圆心，爰为半径的圆在正方形ABC。区域内的部分，利用弧长公式求出动点F的轨迹的

长度.

图1图2

如图1,取的中点“，连接E”，贝IJEH/∕AA∣.

在正方体ABCD-AgC∣A中，AA，底面ABCD,所以EHjL底面ABCD

所以AEFH为EF与底面ABCD所成的角，则N及H=60°.

设正方体的棱长为a,因为该正方体外接球的表面积为12π,

所以4π=3τιa2=12π,解得。=2,

所以£7/=AAI=Q=2,从而HF=专,

美为半径的圆在正方形ABCO区域内的部分，如图2.

所以尸的轨迹为以H为圆心,

2

在图2中，HG=HM=而

所以cos/AHG=四="，则NA"G=?

HG26

7rTT2冗

根据对称性可知NO”M=一,所以NMUG=兀-2x-二,

66τ3r

故动点F的轨迹周长为女X」==递π.

3√39

故选：A

8.（2022.天津市武清区杨村第一中学模拟预测）已知第一象限内的点M既在双曲线

22

G:0-5=13>0/>0）的渐近线上，又在抛物线C2：y2=2px（p>（））上,设Cl的左、右焦

ab

点分别为「、F2,若C?的焦点为B,且AMKFz是以MK为底边的等腰三角形，则双曲线

的离心率为（）

A.2B.√5

C.l+√2D.2+√3

［答案］B

【5■析】由题意可得抛物线的准线方程为：x=-c,过M作垂直准线x=-c,利用抛物

线的定义得到MA=ME=6耳，则四边形⑷鸣M是正方形，从而△叫鸟是等腰直角三角

形，然后结合图形和离心率公式即可求解.

【详解】因为G的左、右焦点分别为"、F2,C2的焦点为尸2，

所以抛物线的准线方程为：x=-c,

乂因为6是以M6为底边的等腰三角形，

过例作ΛM垂直准线X=Y,如图所示：

则ΛM=M鸟=K鸟，所以四边形AMgK是正方形，

则AMFiF2是等腰直角三角形，所以M4==片工=2c,

故选：B

9.(2022.广东.高三开学考试)已知双曲线C:0-5=1,耳、鸟是双曲线C的左、右焦点,

M是双曲线C右支上一点，/是NKMK的平分线，过K作/的垂线，垂足为P，则点P的轨

迹方程为.

【答案】X2+∕=4(X>0)

【分析】延长后尸，交耳M于。，可证得4M%g2∖MPQ,结合题意易证得尸的轨迹是以

。为圆心，半径为2的圆的一部分，即可求出点P的轨迹方程.

【详解】延长交KM于。，因为NPMg=NPMQ,ZMPF2=ZMPQ,

∖MF∖^∖MP∖,所以△"「亮四4MPQ,所以阿Kl=IM。，

所以IQ制=|吗ITMa=PW制一PW国，

因为例是双曲线C右支上一点，所以|。娟=2α=4,

乂因为尸是QK的中点，。是耳巴的中点，所以IPol=TIQKl=2,

所以尸的轨迹是以O为圆心，半径为2的圆的一部分，

所以点尸的轨迹方程为V+y2=4(x>0).

故答案为：X2+∕=4(X>0).

2222

10.(2022・全国・高三专题练习)已知八，8是椭圆。$+斗=1和双曲线,-马=1(“>人>0)

的左右顶点，P,。分别为双曲线和椭圆上不同于A,B的动点，且满足

PA+PB=λ(QA+QB)(λ∈R,∣Λ∣>1),设直线B4、PB、QA、Q8的斜率分别为吊、右、&、%，

贝IJArl+k2+k3+k4=.

【答案】O

【分析】依题意可得OP=2OQ,即点尸，Q,。三点共线，设Pa,)1),Q(χ2,y2),即可

得到勺+七与自+%，从而得解.

【详解】解：依题意A、8为椭圆5+4=1和双曲线1-1=l(a>6>0)=l的公共顶点,

crb2a2b2

P、。分别为双曲线和椭圆上不同于A、8的动点，

由PA+P8="Q4+QB)(∕leR,U∣>1),

即IPO=2λQO,

可得OP=2。。，则点P,Q,。三点共线.

设P(XI,%),Q(x2,y2),

上+422xlylIlrx,

则k'+h2—2

a

xi+aXA-axλ-cΓ>2矿乂

铲X

2h2γ

同理可得%+&=--F-->

ay2

OP=λOQ..*.X1=λx2,yi=Xy2,

y乃’

占+&+&+&=甯土上］=o.

ay2)

3维练素养JIl

2222

11.(2022•上海黄浦•二模)将曲线上+E=1(x00)与曲线上+21=1(XWO)合成的曲线记

16979

作C.设&为实数，斜率为左的直线与C交于A,B两点，P为线段A8的中点，有下列两个

结论：①存在3使得点P的轨迹总落在某个椭圆上；②存在女，使得点P的轨迹总落在某

条直线上，那么().

A.①②均正确B.①②均错误

C.①正确，②错误D.①错误，②正确

【答案】C

【分析】对①，分析当々=0时点P的轨迹总落在某个椭圆上即可；

x

对②，设A(Xl,y),3(x2'K),∣‹∙¾>尸(匹，儿),则∙⅞=%；玉.,%=2,利用点差法，

9口回

化简可得_1167」故若存在％,使得点P的轨迹总落在某条直线上则

"2⅛(xl-x2)

%-自Λ0(&wR)为常数，再化简分析推出无解即可

【详解】设Aa,%),3(%，%)，-vI<j⅛>尸(XO，几)，则％=："：*,%=\：也.

对①，当Z=O时，K+M=ι,E→K∙=1,易得y=%,故两式相减有*-E=o,易得

79169167

∕z778

此时也<0<为2，故Xl=-业工2，所以__彳々+々_,即々=；；—后不，%=%.代

4^XO=2，%=%4-√∕

22(8YX；+/=］

入微+&=1可得［匚不切$_，所以(4一")一9,故存在/=0,使得点尸的

16~9~一厂

-

-----------------ʒ-^1——］

轨迹总落在椭圆(4-√7)^9上.故①正确；

4

对②，P(Xo,y。),XO=当上,%=入产.由题意，若存在左,使得点P的轨迹总落在某

条直线上，则E+汇=1,反+%=1,

79169

两式相减有&_•+.—货=0,即式_豆+。|+刀2)(%一必)=0,又2LZA=&,故

716997169Xl-X2

看_反+独®3=0,即9(京一十］又然故若存在jfc,使得点P的

7*169%=西E2

轨迹总落在某条直线上，则NO-%x°(%∈R)为常数.即

9住_看］9仅一回

(167J_(x∣+>j7=(167J_(占+苫2)秘(刃一多)

2⅛(x1-x2)22⅛(x1-x2)2⅛(x1-x2)

为定值，因为分子分母不多次数不

2k(X1-x2)2⅛(x1-X2)

同，故若为定值则(4+火。4)只一(^+%%)芭2=0恒成立，99

即3+/z==+K∕=o,无解•即

167

不存在&，使得点P的轨迹总落在某条直线上

故选：C

12.(2022・全国•高三专题练习)已知抛物线C:f=2Py(P>0)的焦点到准线的距离为M

点。(为,%)在抛物线G上，点AB在圆C2：Y+y2-4y+3=0上，直线D4,D8分别与圆G

仅有1个交点,且与抛物线Cl的另一个交点分别为P,Q,若直线PQ的倾斜角为120。，则XO=

()

A.士走B.一百或昱C.-B或6D.±√3

333

【答案】C

【分析】根据题意求得P=g,得到f=y,设过点。与圆C2相切直线的斜率为得到切

线方程H-y+χ-5=o,利用七竺二a=1,结合韦达定理，求得尢+%=2∙%Q∖2),

√ι+FXoT

联立方程组上'+jv°"一°,取得&=x+x0,得到%=K-%，q=e-Xo,

=y

结合浮°=-6,列出方程，即可求解.

【详解】由抛物线G：/=2Py(P>0)的焦点到准线的距离为可得P=3,

所以抛物线的方程为V=>,

又由C2*+y2-4y+3=0,可得圆心坐标为G(°，2),半径厂=1，

设过点D(x0,%)与圆C?相切的直线的斜率为Z,

可得方程为丁一%=%(X-Xo),即y—x；=A(x-x0),即依一y+片-Ax。=。,

则圆心到直线的距离为叱竺二1=1,

整理得(4一1)公+(4/-2")2+$—4年+4=0,可得仁+&=2%(F：2)

⅞^∙

kx-y-∖-x^-Ax0=0

联立方程组,可得/一6-Xj+fc∣Q)=0,

=y

β∣JA(X-Xo)=X2一片，所以％=κ+/,

所以∙⅞=占一∙⅞,⅞∙=h-χ0,

因为直线PQ的倾斜角为120。，所以Q=-G

-7XX

-τzg,_⅛3p_Q~P__,,ɔ_2x0(xθ-2)_-2x0_⊂

可得%Q=----=----=XQ+Xp=k∖+k?-2x0=--------2Λ0=-ʒ~~-=73,

xQ-XPXQ-XPɪθ-'⅞^1

解得毛=百或Xo=-*.

*3∙(2021•全国•高三专题练习(文))如图'已知G分别为双曲线

的左、右焦点，P为第一象限内一点，且满足优H=",(∕=JP+6E)∙KP=0,线段EP与双

曲线C交于点Q,若怩H=5∣6Q∣,则双曲线C的渐近线方程为()

A.y=±^-xB.y=±：xC.y=+^-xD.y=±^-x

5223

【答案】B

【分析】由同起点的向量做加法想到平行四边形法则，从而取心P的中点E,由已知可知

FiEYF2P,由三线合一知三角形PK6为等腰三角形，再由余弦的定义表示NKgE的余弦

值，又由双曲线的定义表示|。耳|,最后在•大。亮中，由余弦定理构建方程，求得《■，将其

代入渐近线方程，得答案.

【详解】取线段EP的中点E,连接耳E,

因为（鸟尸+耳g）∙gF=O,所以KEJ.凭尸，

故三角形刊前为等腰三角形，且出H=忻闻=2c∙

在中,FE

Rt4£7^CoSNFIF#=∖2∖_2_«,

巧用2c4c

连接片。，又EQl=]，点。在双曲线C上,

所以由双曲线的定义可得，|。耳闾=2α,故IQ用=2a+]=^.

在一片。鸟中，由余弦定理得,

a

COSZFF2Oδ-M2H∣“<MΞ0∣<.^

4c

2×2c×-

5

整理可得4C2=5∕,所以与=±£=3-l=L,

a2a244

故双曲线C的渐近线方程为y=±gχ.

故选：B

【点睛】本题考查由几何关系求双曲线的渐近线，由余弦定理构建方程，还考查了平面向量

加法的平行四边形法则和垂直关系，属于难题.

14.（2022•河南•新安县第一高级中学模拟预测（理））己知抛物线C:V=4y的焦点为尸，

平行丫轴的直线/与圆「：/+（）-1）2=1交于A,B两点（点A在点B的上方），/与C交于点

D,则AAOF周长的取值范围是

【答案】（3,4）

【分析】过点。作ZW垂直与抛物线的准线，垂足为点由抛物线的定义得|0I=IDMI,

从而得出AAD尸的周长为IAMl+1,考查直线AM与圆「相切和过圆心F,得出A、D、F

不共线时IAMl的范围，进而得出MDF周长的取值范围.

【详解】如下图所示：

抛物线C的焦点F(0,1),准线为/：y=T,过点。作垂足为点〃，

由抛物线的定义得QFl=IDMI,圆「的圆心为点F,半径长为1,

则AAOF的周长L=I阴+∣DF∣+∣AFI=Iml+0M+1=∣AM∣+1,

当直线/与圆「相切时，则点A、8重合，此时A(l,l),∣4M∣=2;

当直线/过点/时.，则点A、D、『三点共线，则IAM=IFM+∣Aq=2