2023-2024学年河北省唐山市十县高二年级上册期中考试数学模拟试题（含答案）

2023-2024学年河北省唐山市十县高二上册期中考试数学

模拟试题

一、单选题

1.直线x-2y+3=O的斜率和在X轴上的截距分别为()

A.。，3B.ɪ-»—3C.—>3D.—,—3

2222

【正确答案】B

γ3

【分析】由x-2y+3=O可得y=5+；,据此可得答案.

X31

【详解】x-2y+3=0<^y=→∣,则直线斜率为

γ3

又令y=0,则二+三=OnX=-3,故直线在X轴上的截距分别为-3.

22

故选：B

2.已知点8、C分别为点A(3,4,5)在坐标平面。D和OyZ内的射影，则忸C∣=()

A.√34B.5C.√4?D.5√2

【正确答案】A

【分析】求出点8、C的坐标，利用空间中两点间的距离公式可求得忸q的值.

【详解】因为点8、C分别为点A(3,4,5)在坐标平面。町和。)，Z内的射影，则8(3,4,0)、

C(0,4,5),

222

因此，忸Cl=λ∕(3-0)+(4-4)+(0-5)=√34.

故选：A.

3.直线4：x-y+∖=6,直线4：x-y-3=0,则4与4之间的距离为()

A.√2B.2C.2√2D.4

【正确答案】C

Ig-Gl

【分析】根据平行线的距离公式〃=求解即可.

VA2+B2

【详解】-≡12√2,

故选：c.

4.已知空间三点0(0,O,O),A(l,√3,2),β(√3,-1,2),则以。A,OB为邻边的平行

四边形的面积为()

A.8B.4C.8√3D.4√3

【正确答案】D

【分析】先求出OA,。8的长度和夹角，再用面积公式求出.CAB的面积进而求得四边形的

面积.

【详解】因为。(O,O,O),A(l,√3,2),Bg-I,2),

222222

所以OA=1^(l-0)+(√3-0)+(2-0)=2√2,OB=^(√3-θ)+(-I-O)+(2-0)=2√2,

OA=(1,√3,2),OB=(√3,-1,2),

1×Λ∕3+>∕3×(-l)+2×2

cosOA,OB=ɪ

2√2×2√22

所以SinoAoB=也，

2

以Q4,OB为邻边的平行四边形的面积为25.βc=2×l×2√2×2√2×-^=4√3.

22

故选：D.

5.已知圆M的半径为「且圆心在》轴上，圆M与圆N"2+y2-2x-2y=O相交于AB两点,

若直线A5的方程为V=X,贝IJ()

∣∣

A.AB=2√2,r=√2B.∣AB∣=4,r=√2

C.∣AB∣=2√2,r=2D.∣AB∣=4,,-=2

【正确答案】C

【分析】分析可知圆心N在直线AB上，可求得∣AB∣,求出圆心用的坐标，可求得圆心M到

直线A8的距离，利用勾股定理可求得，•的值.

【详解】圆N的标准方程为(x—l)'+(y-lf=2,圆心为N(l,l),半径为0,

易知点N在直线AB上，所以，∣AB∣=2√2,

因为圆心N在直线AB上，则圆心N为线段A3的中点,

易知过圆心N且与直线AB垂直的直线的方程为x+y-2=0,该直线交X轴于点M(2,0),

2

点M到直线AB的距离为d=2=&,.∙.r=[增,+d=2.

故选：C.

6.己知直线4与直线4：2x-y+a=0关于X轴对称，且直线4过点（2,1）,则α=（）

A.-5B.5C.-4D.4

【正确答案】A

【分析】分析可知，直线4经过点（2,1）关于X轴的对称点，由此可求得实数。的值.

【详解】点（2,1）关于X轴的对称点的坐标为（2,-1）,

由题意可知，直线4过点（2,-1）,则2x2+l+a=0,解得α=-5.

故选：A.

7.在棱长为3的正四面体ABCD中，AM=2MB>CN=2ND,则WNI=（）

A.2B.√5C.√6D.20

【正确答案】B

【分析】将MN用AB、AC、AC表示，利用空间向量数量积的运算性质可求得WM.

2

【详解】因为AΛ∕=2M3,所以，AM=IA8,

又因为CN=2ND，则AN-AC=2（A。-AN）,所以，AN=^AC+^AD,

122

所以，MN=AN-AM=-AC+-AD——AB

333f

由空间向量的数量积可得ABAC=A8∙A。=AC∙A。=3%os60=-,

2

因止匕，IMM=扣C+2AO-2叫=X（AC+2AQ-ZAB）。

^-y∣AC2+4AD2+4AB^-4ABAC-SABAD+4ACAD=y∕5.

3

故选：B.

8.己知P是圆C:（x-5）2+y2=4上一动点，A（TO）,M为线段AP的中点，O为坐标原点,

则（）

A.|肱41+|Mor为定值B.为定值

C.MCI2为定值D.|M4『+Wo「+|MCf为定值

【正确答案】B

【分析】设点。（线,九），可得x：+y；=l（）x0-21,求出点M的坐标，利用平面两点间的距

离公式化简可得出合适的选项.

【详解】设点〃（x。,几），则（Xo-5>+巾=4,可得片+yj=10x0-21,则点写■,矍）

圆C的圆心为C（5,0）,半径为2.

对于A选项，IMAMMa2=("+]J+%亨+?=2(/+%,+2—+1

=Nls⅛二1)+2~⅝+1=22⅛ai不是定值,A错；

44

,ʃo_ɪo+ʃo-1OΛ+61

对于B选项，IMAl2+1MCf=H-----=------O-------------------

42

=y国B对

对于C选项，

IMOi2∣∣2xo+yo+_5)+手=2(/+%)；22%+121

+λic=2(10Λ∙O-21)-22XO+121

4

=T不是定值,°错;

对于D选项，

∖MAf+∖Mθf+∖MCf=■+1J+[+智^+(符ɪ_5J+0=4茴+乂)：°为+122

=3(10上21)-20史122=10⅞+59不是定值，D错.

44

故选：B.

二、多选题

UUU

9.已知平行六面体ABCo-A4G。，则下列各式运算结果是AG的为（）

A.AB+AD+AA↑B.A41+Λ1B∣+A^i

C∙Λβ+BC+CGD.AB+AC+CCl

【正确答案】ABC

【分析】利用空间向量的加法化简可得出合适的选项.

【详解】如下图所示：

对于A选项，AB+AD+AA,=AB+BC+CCl=ACl,A对；

对于B选项，AΛ,+A4+AA=CC∣+AB+3C=AG,B对;

对于C选项，AB+BC+CCt=ACt,C对；

对于D选项，AB+AC+Cq≠AB+BC+CCl=ACl,D错.

故选：ABC.

10.直线/:%+岛+1=0,则()

A.点卜2,⑹在/上B./的倾斜角为期

C./的图象不过第一象限D./的方向向量为(61)

【正确答案】BC

【分析】利用点与直线的位置关系可判断A选项；求出直线/的斜率，可得出直线/的倾斜

角，可判断B选项；作出直线/的图象可判断C选项；求出直线/的方向向量，可判断D选

项.

【详解】对于A选项，-2+(gY+lw0,所以，点卜2,6)不在/上，A错；

对于B选项，直线/的斜率为&=-且，故/的倾斜角为学，B对；

对于C选项，直线/交X轴于点(-1,0),交y轴于点0,一坐］,如下图所示：

y

x+>∕3y+1=0

由图可知，直线/不过第一象限，C对；

对于D选项，直线/的一个方向向量为(省,-1),而向量(省,-1)与这里(1,6)不共线，D错.

故选：BC.

II.在棱长为2的正方体ABCQ-A/B/CQ/中，点M,N,P,Q分别为棱4Q/,BlB,AB,

0/0的中点，贝IJ()

A.MN=PQB.直线MN与直线BQ相交

C.点。到直线MN的距离为亚D.点。到平面MNP的距离为等

【正确答案】AC

【分析】A选项：用勾股定理可求出长度；B选项：作BQ的平行线与MN相交，则可判断

是否为异面直线：C选项：求出三边长度，即可求出结果；D选项：过点M做Λtf"∕0P,

利用线面平行将点M到平面DPN的距离转化为点H到平面DPN的距离，等体积转化得到

Vn-MPN=Vi，求体积和面积计算距离.

【详解】A选项：MN=Jl2+2。+F=R=PQ,故A正确；

B选项：连接AN,则AN与MN相交，BQ//DtN,则MN与BQ为异面直线，故B错误；

C选项：连接MQ,QN,则MQ=0,QN=2五,MN=娓,由勾股定理可知：MQVMN,

所以Q到直线MN的距离即为MQ,故C正确；

D选项：过点M做MH∕∕DP,OPU平面。PN,MHCZ平面DPN,则〃平面OPN,所

以点M到平面DPN的距离等于点H到平面DPN的距离，点H到直线PN的距离为

√Σχ3+也=述，SwW=IX0x述=*，又点。到平面"PN的距离为2,

424hpn244

所以小W=匕™=%.=Qg="

又VD-MPN~VM-DPN，MP=屈,PN=>∣2,MN=底，所以SnM=gx6x殍=浮，设

点M到平面OPN的距离为〃，则有Jχ∕zχ姮=2,所以〃=%叵

故D错误.

32611

故选：AC

12.已知4(1,0)、3(4,0),P为圆C:d+y2=4上一动点，则()

A.Sw的最大值为3B.∣PA∣+∣PB∣的最大值为9

C.A到直线PB距离的最大值为TD.∣PB∣=2∣Λ4∣

【正确答案】ABD

【分析】求出点P到直线AB的最大距离，结合三角形的面积公式可判断A选项；求出NPbA

的最大值，可得出A到直线PB距离的最大值，可判断C选项；利用平面两点间的距离公式

结合圆的方程可判断D选项；利用圆的几何性质可判断B选项.

【详解】对于A选项，圆C上的一点P到直线AB的最大距离为圆C的半径2,故SftuJ的最

大值为gx∣AB∣χ2=3,A对；

点A到直线PB的距离为IMSin/P84,

圆C的圆心为原点0,当直线也与圆C相切时，此时NPAl最大，则点A到直线尸B的距离

取最大值，

连接。P,则OP_LP8,贝”。P∣=2=g∣0B∣,故ZPBA=30。，

3

因此，点A到直线PB的距离为3sin30=-,C错；

对于D选项，设点尸(方,儿)，则其+y=4,

所以，IPBl=J(Xo-4)2+y：=Jx：+y：-8x°+16=√2O-8xo=2√5-2x0

2

=2y∣x^+y^-2xo+∖=2√(x0-l)+^=2∖PA∖,D对；

对于B选项,|/训+归用=5户8区5(归0|+|0a)=5、6=9,

当且仅当点P为直线BO与圆C的交点，且点。在线段3尸上时，等号成立，

所以，∣PA∣+IPBl的最大值为9,B对.

故选:ABD.

三、填空题

13.已知向量α=(l,-2,l),b-(2,k,∖),(a+。)Ma-%),则A=.

【正确答案】±1

【分析】分析可得(a+b)∙(a-b)=J-片=o,利用空间向量数量积的坐标运算可求得实数4

的值.

【详解】因为(4+。)邛，-6),则(a+5)∙("b)=J-z∕=6-(∕+5)=0,解得/=±1.

故答案为.±1

14.设直线∕∣：ar-2y+l=0,直线《：x+(a-3)y+a=。，若∕∣//I2,则实数a=.

【正确答案】2

【分析】由两直线AX+4y+G=0与4χ+B2y+C2=0平行，可得4与-&四=0,由此列式求

出a的值，然后再检验即可.

【详解】若4〃4，贝∣Ja(a-3)-(-2)xl=0,解得a=2或a=l,

当a=2时，直线《：2x-2y+l=0,直线4：x-y+2=0,符合题意；

当a=l时，直线4：x-2y+l=0,直线小x-2y+l=0,两直线重合，不符合题意.

故2.

15.已知圆锥Po(P为圆锥顶点，0为底面圆心)的轴截面是边长为2的等边三角形，A,B,

C为底面圆周上三点，空间一动点。，满足PQ=XP4+yPB+(l-x-y)PC,则∣R2∣的最小

值为•

【正确答案】6

【分析】化简向量关系式证明0,AB，C四点共面，结合轴截面特征可求,Ql的最小值.

【详解】因为P。=XB4+yPB+(l-x—y)尸C,

所以PQ-PC=xPA-xPC+yPB-yPC,

CQ=xCA+yCB,

所以CQ,CA,CB共面，

又A,B,C为底面圆周上三点，

所以点。为平面ABC上一点，

由已知Po/平面ABC,

所以IPQ卜卜。|,

又圆锥P。的轴截面是边长为2的等边三角形，所以IPq=百，

所以wα的最小值为6,

故G

16.设直线/：(a+l)x—ay—l=0(αeR)与圆C：/+/=4交于A,B两点，则IABl的取值

范围是•

【正确答案】[2√2,4]

【分析】由直线系方程求得直线所过定点，求出圆心到定点的距离，再确定弦长最短和最长

时的位置，求得弦长，即可得到IABl的取值范围.

【详解】直线/：(a+l)x-缈-l=0(aeR)即为a(x-y)+x-1=0,

[x-y=O[x—\

由；八，解得…可得直线/过定点Pa』)，

[x-ι=o[y='

圆C：χ2+y2=4的圆心坐标为c(0,0),半径r=2,

由于＜4,故P(Ll)在圆C：W+y2=4内，

22

∣CP∣=√1+1=√2，则当直线UCP时，∣A卸最小，IA3∣mjn=2"^=20,

IABl的最大值即为圆的直径，

.∙.∣AB∣的取值范围是[2√2,4]

故[2立,4].

四、解答题

17.已知一ABC三个顶点的坐标分别为A(2,4)、8(—1,1)、C(9,-3),求:

(I)BC边上的中线所在直线的方程；

(2)8C边上的高所在直线的方程；

(3)/BAC的平分线所在直线的方程.

【正确答案】⑴5x+2y-18=0

(2)5x-2y-2=0

⑶x=2

【分析】(1)求出线段BC的中点坐标，利用两点式可得出Be边上的中线所在直线的方程;

(2)求出直线BC的斜率，可得出BC边上的高所在直线的斜率，利用点斜式可得出所求直

线的方程；

(3)分析可得3B+&AC=°，数形结合可得出NBAC的平分线所在直线的方程.

【详解】(1)解：BC的中点为(4,-1),所以BC边上的中线所在直线的方程为二三==|,

-1-44-2

整理可得5x+2y-18=0.

(2)解：%°M=-W，则BC边上的高所在直线的斜率为∣∙,

-1-952

所以BC边上的高所在直线的方程为y-4=∙∣(x-2),整理可得5x-2y-2=0.

4-14+3

(3)解：⅛λβ=-~7=1»⅛AC=τ一^二一1，所以L+%AC=。，

所以，NB4C的平分线所在直线的方程为x=2.

18.已知长方体ABC。-ABCl。中，AB=2,BC=A,AA∣=3,点M,N分别在棱8,AfDt

上，且AN=1,DM=a.

(1)若MNLBlN,求a；

Q)若MN平面48。，求a.

3

【正确答案】(I)。=]

(2)a=g

【分析】以A为原点，以AB,AD>AA为X,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系，

(1)得出MN与4%的坐标，由已知得出MN∙B∣N=O,即可列式解出答案；

UUU

(2)得出MN与AB的坐标，求出平面AB。的法向量，即可根据已知MN•平面A8。，

列式求解得出答案.

【详解】(1)以A为原点，以AS，AD>AA为X，Az轴的正方向建立如图所示的空间直

角坐标系，则D(0,4,0),B1(2,0,3),M(a,4,0),N(0,1,3),

所以MN=(-a,-3,3),B1W=(-2,1,0),

MN±B,N,

-3

.-.MNB1N=O,即24-3=0,解得a=］；

(2)由(1)得ΛW=(-a,-3,3),

A(0,0,3),8(2,0,0),AB=(2,0,-3),

设平面A8。的法向量为“

BDn=O

则＜取n=(6,3,4)

AiBn=O

由MN「平面A∣Bf>,得n∙MN=0,解得a=g.

19.在正三棱柱ABC-A耳G中，AB=2,AA∕=2√L点M为BB/的中点.

(1)求48与平面M4C所成角的正弦值;

⑵证明：平面M4/GJL平面MAC.

【正确答案】(1)亚

4

(2)证明见解析

【分析】建立空间直角坐标系,利用线面角公式即可算出答案；

利用两个平面的法向量的数量积为零，即可证明.

【详解】（1）解：取AC的中点0,则OBLAC,以。为原点.以04，OB为x，y轴的正

方向建立如图所示的空间直角坐标系.

即。(0,0,0),A(l,0,0),C(-l,0,0),8(0,√3,0),M(0,即,白)

所以AB=11,6,0),AC=(-2,0,0),AM=(-l,√3,√3)

设平面M4C的法向量为“，

AC∙n=0/、

则｛取〃=(0,1,-1)

AM∙n=0

所以

COS(A3,〃^^^2×√2^^4

故A8与平面MAe所成角的正弦值为亚

4

(2)解：由(1)得4(1,O,2√3),C∕(-1,0,2«),

则AG=(-2,0,0)AM

AC1∙∕π=O/、

设平面MA1G的法向量为加，则取机=OJ,1)

AIMm=O

所以〃z•〃=O,即加_L〃，

故平面MA/。J_平面MAC.

20.已知圆O：/+,S=］与圆c：f+y2-6χ-8y+,%=0相外切.

(1)求m的值;

(2)若直线/与圆。和圆C都相切，求满足条件的所有/的方程.

【正确答案】(l)m=9

⑵x+l=O或7尤-24_丫-25=0或3乂+4尸5=0

【分析】(1)把两圆相外切转化为圆心间距离等于半径和,计算求解即可.

(2)先设直线再满足直线和圆相切即圆心到直线距离等于半径,计算得解.

【详解】(1)圆。的圆心为0(0,0),半径r=l

由圆C：X2+y2-6x-Sy+m=0⅛(x-3)^+(y-4)^=25-m,m<25.

所以圆C的圆心C(3,4),半径R=后二^

因为两圆相外切，所以IoC=R+1,IOq=疗彳=5,即后二百=4,解得机=9

(2)由(1)得圆C(X-3)2+(J-4)2=16

①当直线/的斜率不存在时，设/的方程为X=I

[W=I

依题意〃解得/=-1,即/的方程为X=-I

小一3|=4

②当直线/的斜率存在时，设/的方程为)'=履+),

ɪɪɪ

|±t,_，所以佻+f=相

依题意3

y∣∖+k2~4

当弘+匕一4=46时，3b=3k-4,代入上式可得(3k-4p=9(1+左之)，

解得7&BP⅛=-∣2∣5

725

所以此时/的方程为丫

当3k+b-4="时56=4-3%,代入上式可得(4一3左丫=250+〃),

解得&=3即8=5:

44

35

所以此时/的方程为>=-不+；

44

故满足题设的/的方程为x+l=O或7》一24丫-25=0或3》+4丫-5=0.

21.如图，四边形ABa）为正方形，以8。为折痕把ABCD折起，使点C到达点P的位置,

且二面角A—8。—P为直二面角，E为棱BP上一点.

（1）求直线AZ）与BP所成角；

⑵喑为何值时，平面侬与平面叫夹角的余弦值为争

【正确答案】（1）60

⑵些」

EB2

【分析】（1）连接AC、BD,设ACBD=O,推导出PO工底面ABD,然后以。为原点，

以OA、OB、OP为X、1'、Z轴的正方向建立如图空间直角坐标系，设OA=1,利用空间

向量法可求得直线AD与BP所成角；

（2）设PE=ZPB，其中0W4W1,利用空间向量法可得出关于/1的等式，解之即可得出结

论.

【详解】（1）解：连接AC、BD,设ACBD=O,则0为3。的中点，

由已知AB=AD,PB=PD,则OPI.30,AOlBD,

所以NAOP为二面角4一比＞一尸的平面角，所以NAoP=90,因此AO_LOP,

因为AOBD=O,AO,BDU平面ABQ,故POI底面ABQ.

以。为原点，以。4、OB、OP为X、V、Z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.不

妨设。A=I.

则A。,。,。)、8(0,1,0)、O(O,-1,0)、P(0,0,1),

AD=(-1,-1,O),BP=(O,-1,∣),

,nCCAD-BPI1

所以cos<AQ,BP>=[A4]8/,「&χ应=2,故直线AO与BP所成角为60.

UUU

(2)解：设平面R4B的法向量为机=(Xl,χ,z∣),AB=(-1,1,O),AP=(T,0,1),

m`AB=-x,+y,=0

则，取士=1,可得a=(z1,1,1,

m∙AP=-xl+z1=0

设PE=/IPB=2(0,1,—1)=(0,4-为，其中0W/W1,

AE=4P+PE=(T,0,1)+(0,4T)=(T4T),ΛD=(-1,-1,O),

设平面Ar)E的法向量为"=(j⅛,%,Z2),

n∙AD=-X9-V7=0/、

则,、，取X=I-X,可得"=(1-/1,/1-1,4+1),