2022-2023学年河南省南阳市第二十八中学高二数学理上学期摸底试题含解析

2022-2023学年河南省南阳市第二十八中学高二数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.过圆x2+y2=4外一点P（4，2）作圆的两条切线，切点分别为A，B，则△ABP的外接圆方程是（）A．（x﹣4）2+（y﹣2）2=1B．x2+（y﹣2）2=4C．（x+2）2+（y+1）2=5D．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5参考答案：D考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题．分析：根据已知圆的方程找出圆心坐标，发现圆心为坐标原点，根据题意可知，△ABP的外接圆即为四边形OAPB的外接圆，从而得到线段OP为外接圆的直径，其中点为外接圆的圆心，根据P和O两点的坐标利用两点间的距离公式求出|OP|的长即为外接圆的直径，除以2求出半径，利用中点坐标公式求出线段OP的中点即为外接圆的圆心，根据求出的圆心坐标和半径写出外接圆的方程即可．解答：解：由圆x2+y2=4，得到圆心O坐标为（0，0），∴△ABP的外接圆为四边形OAPB的外接圆，又P（4，2），∴外接圆的直径为|OP|==2，半径为，外接圆的圆心为线段OP的中点是（，），即（2，1），则△ABP的外接圆方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．故选D点评：此题考查了直线与圆的位置关系，要求学生熟练运用两点间的距离公式及中点坐标公式．根据题意得到△ABP的外接圆为四边形OAPB的外接圆是本题的突破点．2.直线过点(1，3)且与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为6，则直线的方程是（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A略3.“a<b”是“”的（

）A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：C4.过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，如果，则

(

)A．9

B．8

C．7

D．6参考答案：B5.下列不等式不成立的是

（

）

A.a2+b2+c2ab+bc+ca

B.

(a>0,b>0)

C.

(a3)

D.<参考答案：D略6.点为所在平面外一点,,垂足为,若，则点是的（

）

（A）内心

（B）外心

（C）重心

（D）垂心参考答案：B7.不等式表示的平面区域在直线的

（）Ａ．左上方 Ｂ．左下方

Ｃ．右下方

Ｄ．右上方参考答案：C8.在中，B=，C=，c=1，则最短边长为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略9.命题“?x∈R，x2≠x”的否定是（）A．?x?R，x2≠x B．?x∈R，x2=x C．?x?R，x2≠x D．?x∈R，x2=x参考答案：D【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题，利用特称命题写出命题的否定命题．【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题，∴命题的否定是：?x0∈R，=x0．故选：D．10.函数的图象大致为参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在报名的名男教师和名女教师中，选取人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为__________．（结果用数值表示）．参考答案：①男女，种；②男女，种；③男女，种；∴一共有种．12.已知两点A（﹣2，0），B（0，2），点C是圆x2+y2﹣2x=0上的任意一点，则△ABC的面积最小值是

．参考答案：【考点】圆的一般方程；三角形的面积公式．【分析】求出直线方程，圆心坐标与半径，从而可得圆上的点到直线距离的最小值进而可求△ABC的面积最小值．【解答】解：直线AB的方程为+=1，即x﹣y+2=0．圆x2+y2﹣2x=0，可化为（x﹣1）2+y2=1，∴圆心（1，0）到直线的距离为d==，圆上的点到直线距离的最小值为﹣1．∵|AB|=2，∴△ABC的面积最小值是×2×（﹣1）=3﹣，故答案为：．【点评】本题主要考查用截距式求直线的方程，点到直线的距离公式、直线和圆的位置关系的应用，属于中档题．13.已知数列{an}满足，a1=1，Sn是数列{an}的前n项和，则S2015=．参考答案：﹣1【考点】数列递推式．【专题】计算题；分类讨论；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】由数列{an}满足，a1=1，可得a4k﹣3=1，a4k﹣2=﹣1，a4k﹣1=﹣1，a4k=1，k∈N*．即可得出．【解答】解：∵数列{an}满足，a1=1，∴a2=﹣1，a3=﹣1，a4=1，a5=1…，∴a4k﹣3=1，a4k﹣2=﹣1，a4k﹣1=﹣1，a4k=1，k∈N*．即数列各项的值呈周期性出现∴S2015=503×（1﹣1﹣1+1）+（1﹣1﹣1）=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了递推关系的应用，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．14.如图，在正三棱柱中，．若二面角的大小为，则点到平面的距离为_____________．

参考答案：略15.已知，则

.参考答案：2试题分析：，.

16.用“秦九韶算法”计算多项式，当x=2时的值的过程中，要经过

次乘法运算和

次加法运算。参考答案：5,517.某城市有学校500所，其中大学10所，中学200所，小学290所.现在取50所学校作为一个样本进行一项调查，用分层抽样进行抽样,应该选取大学__________所，中学__________所，小学__________所.参考答案：1

、

20

、

29

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知动点P与平面上两定点连线的斜率的积为定值．（1）试求动点P的轨迹方程C；（2）设直线与曲线C交于M、N两点，当|MN|=时，求直线的方程．

参考答案：解：（Ⅰ）设点，则依题意有，……3分整理得由于，所以求得的曲线C的方程为………5分（Ⅱ）由解得1=0,2=分别为M，N的横坐标）.………9分由

…………………11分所以直线的方程或.……………12分略19.关于复数z的方程z2﹣（a+i）z﹣（i+2）=0（a∈R），（1）若此方程有实数解，求a的值；（2）用反证法证明：对任意的实数a，原方程不可能有纯虚根．参考答案：【考点】R9：反证法与放缩法．【分析】（1）若此方程有实数解，设z=m∈R，代入方程利用两个复数相等的充要条件，解方程求得a的值．（2）假设原方程有纯虚根，令z=ni，n≠0，整理可得﹣n2+n﹣2+（﹣an﹣1）i=0，利用两个复数相等的充要条件可得，由于①的判别式△＜0，方程①无解，故方程组无解，从而得到结论．【解答】解：（1）若此方程有实数解，设z=m∈R，代入方程可得m2﹣（a+i）m﹣（i+2）=0，即m2﹣am﹣2+（﹣m﹣1）i=0，∴m2﹣am﹣2=0，且﹣m﹣1=0，∴m=﹣1，a=1．（2）假设原方程有纯虚根，令z=ni，n≠0，则有（ni）2﹣（a+i）ni﹣（i+2）=0，整理可得﹣n2+n+（﹣an﹣a﹣2）i=0，∴．∴对于①，由于判别式△＜0，∴方程①无解，故方程组无解，故假设不成立，故原方程不可能有纯虚根．【点评】本题考查两个复数相等的充要条件，用反证法证明数学命题，推出矛盾，是解题的关键和难点，属于中档题．20.（本题满分10分）已知曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是（为参数）．（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设直线与轴的交点是，是曲线上一动点，求的最大值．参考答案：（1）曲线的极坐标方程可化为……………………

2分又，所以曲线的直角坐标方程为…………4分

（2）将直线l的参数方程化为直角坐标方程，得…

………

6分

令，得，即点的坐标为(2，0)．又曲线为圆，圆的圆心坐标为(1，0)，半径，则…………8分所以……………………

10分21.已知过点的动直线与圆相交于两点，是中点，与直线相交于．（1）当与垂直时，求的方程;

（2）当时，求直线的方程;（3）探究是否与直线的倾斜角有关?若无关，求出其值；若有关，请说明理由．参考答案：解：(1)与垂直，且故直线方程为即(2)①当直线与轴垂直时，易知符合题意．②当直线与轴不垂直时，设直线的方程为即，，则由，得，直线故直线的方程为或(3)①当与轴垂直时，易得

则又，．②当的斜率存在时，设直线的方程为则由得

则综上所述，与直线的斜率无关，且．略22.（14分）某厂用甲、乙两种原料生产A、B两种产品，已知生产1tA产品，1tB产品分别需要的甲、乙原料数，可获得的利润数及该厂现有原料数如下表所示．问：在现有原料下，A、B产品应各生产多少才能使利润总额最大？列产品和原料关系表如下：

原料

A产品（1t）B产品（1t）总原料（t）甲原料（t）2510乙原料（t）6318利润（万元）43

参考答案：设生产A、B两种产品分别为xt，yt，其利润总额为z万元,

根据题意，可得约束条