信号与系统连续时间时域分析

1连续时间系统的时域分析第二章2引言时域分析

建立和求解线性微分方程的过程建立数学模型数学模型的建立过程与应用系统的特性有关对电系统而言，《电路分析》课程中已经提供了相应的理论和方法，主要有KCL和KVL方程线性非时变系统的微分方程的一般形式3引言时域分析

建立和求解线性微分方程的过程求解线性微分方程经典法

求齐次方程通解和非齐次方程特解

通解：由方程左边部分所对应的特征方程解得的特征频率所求解得的系统的自然响应（或称自由响应）

特解：由系统的激励函数得到系统的受迫响应

通解：将初始条件带入，确定全解中通解的待定系数线性非时变系统的微分方程的一般形式4引言时域分析

建立和求解线性微分方程的过程求解线性微分方程卷积法/近代时域法/算子法

零输入响应：系统在无输入激励的情况下，仅由系统的初始状态引起的响应

零状态响应：系统初始状态为零（无初始储能）的条件下，仅由输入激励引起的响应线性非时变系统的微分方程的一般形式5引言时域分析

建立和求解线性微分方程的过程求解线性微分方程经典法与卷积法/近代时域法/算子法在简单激励信号形式下经典解法求解简单，但比较复杂的激励信号形式下难确定特解的形式卷积法要求激励信号是有始信号，否则无法确定初始状态零输入响应可用经典法求解，在只有自然响应部分零状态响应可用经典法求解，但用卷积积分法更方便卷积积分法可借助计算机数值计算，求出任意信号激励下的响应（数值解），实用价值大6内容系统方程的算子表示法1系统零输入响应2奇异信号与信号时域分解3系统零状态响应4叠加积分与卷积5线性系统响应的时域求解67系统方程的算子表示法1算子表达符号微分算子

积分算子应用算子8系统方程的算子表示法算子简化系统方程微分方程积分微分方程9系统方程的算子表示法算子n阶微分方程简化10系统方程的算子表示法算子n阶微分方程简化系统特征多项式系统特征方程算子方程11系统方程的算子表示法运算规则利用算子符号：微分方程

形式上的代数方程。有一些代数规则可适用加法交换率分配率乘法交换率分配率结合率12系统方程的算子表示法运算规则因式分解系统的特征根13系统方程的算子表示法运算规则不适用算子运算等号两边相同微分算子不能相消代数方程： 微分方程：分子分母中相同算子不能随意相消，微分积分运算次序不能任意颠倒代数方程： 微分方程：

14系统方程的算子表示法转移算子（传递算子）系统激励与响应之间的转移关系，反映了系统对信号的影响求系统零输入响应解齐次方程求系统零状态响应解非齐次方程15系统方程的算子表示法转移算子举例激励e(t)作用于电路，求i1(t)与i2(t)的转移算子1

用克雷姆法可求解出i1(t)，i2(t)

但系数中有p和1/p，为避开算子乘除能否相消，先将方程改写成为16系统方程的算子表示法转移算子举例整个变量17系统方程的算子表示法转移算子举例两边微分，先除后乘可消18系统方程的算子表示法转移算子举例分子、分母中多下公因子，但不能随意相消，因此产生一个问题既三阶系统其特征多项式为四阶，注意以后问题不要这样处理，求零输入响应时由于多了一特征根则多出一项19系统的零输入响应零输入响应激励信号e(t)=0，由初始状态所产生的响应求解方法解特征方程确定零输入响应模式由初始条件确定常数220系统的零输入响应一阶系统零输入响应小结若初始r(0),代入可确定C1=r(0)则rzi(t)=r(0)eλt，t≥0若初状为r(t0)，则rzi(t)=r(t0)eλ(t-t0)，t≥t0221系统的零输入响应二阶系统零输入响应初始条件若222系统的零输入响应二阶系统零输入响应异实根重实根共轭复根23系统的零输入响应例题1(p33)已知某系统微分方程相应的齐次方程为系统的初始条件为求系统的零输入响应24系统的零输入响应例题2(p32)在RLC串联电路中，设L=1H，C=1F，R=2Ω激励e(t)=0,且电路的初始条件为求两种初值下电流的零输入响应求关于电流的微分方程特征方程求特征根，求微分方程解初始条件求系数25系统的零输入响应例题3系统的微分方程是初始状态为求系统的零输入响应齐次方程特征方程求特征根初始条件求系数26系统的零输入响应n阶系统零输入响应不同特征根所对应的齐次解单实根

r重实根一对共轭复根特性根，自然频率

特性方程代数量27系统的零输入响应n阶系统零输入响应初始条件

范德蒙德矩阵28奇异信号单位阶跃函数定义延迟3t

(t)01t

(t-t0)t00129奇异信号利用阶跃信号描述理想开关的动作t=0合闸

u(t)=Et=0合闸

i(t)=IsIsKu(t)KEu(t)30奇异信号利用阶跃信号表示矩形脉冲

110=+-1门函数31奇异信号利用阶跃信号组成复杂信号1t1

f(t)0

1t1

f(t)032奇异信号任何一个函数乘以单位阶跃函数后，其乘积在阶跃之前为零，在阶跃之后保持原函数值1t1

f(t)0-11t1

f(t-2)(t-2)02右移2个单位保持阶跃后值33奇异信号单位冲激函数定义设矩形脉冲函数f(t)，面积恒定为13（1）

34奇异信号单位冲激函数定义本质在t=0处一个宽度无限小。幅度无限大，面积为“1”的脉冲函数表示δ(t)

箭头表示是冲激函数。冲激函数的强度,1表示面积t

(t)(1)0335奇异信号单位冲激函数数学定义式冲激函数面积为A则表示为Aδ(t)

t

(t)(1)0336奇异信号单位冲激函数延迟

t0处冲激函数t

(t-t0)t00（1）337奇异信号冲激函数性质抽样性任一函数f(t)与单位冲激函数相乘后,在(－∞,＋∞)区间上的积分，等于f(t)在冲激时刻的函数值

从函数f(t)中抽取一个样值t

(t)(1)0f(t)f(0)38奇异信号冲激函数性质抽样性任一函数f(t)与单位冲激函数相乘后,在(－∞,＋∞)区间上的积分，等于f(t)在冲激时刻的函数值

从函数f(t)中抽取一个样值t

(t)(1)0f(t)f(0)339奇异信号冲激函数性质偶函数时域压扩性340奇异信号冲激函数性质单位冲激函数的积分是单位阶跃函数单位阶跃函数的导数是单位冲激函数341奇异信号冲激函数性质奇异函数若干次积分和微分也是奇异函数单位阶跃函数的积分是单位斜变函数单位冲激函数的导数是单位冲激偶11010求导342奇异信号冲激函数性质

练习343奇异信号冲激函数性质练习44奇异信号练习：求f(t)，并画出f(t)的导数的波形f(t)44t(1)(2)f(t)t1Att2f(t)11t(3)-12-1012342-2(4)跳变值45奇异信号分段函数求一阶导数小结分段进行在波形上直接进行，注意间断点出会产生冲激函数,其系数为正或负的跳变值，再写出相应导数函数对函数表达式直接求导，再画出导数波形图，注意分步求导波形直接求解法简单方便46奇异信号斜变函数f(t)tt347奇异信号冲激偶t由－∞→0－时,是一个强度无限大的正冲激t由+∞→0＋时,是一个强度无限大的负冲激f(t)348信号时域分解任务外加的复杂激励信号分解成一系列单元激励信号周期性脉冲信号分解为奇异函数之和3矩形脉冲49信号时域分解周期性脉冲信号分解为奇异函数之和锯齿形脉冲梯形脉冲350信号时域分解任意函数表示为阶跃函数的积分分解为无限多个小阶跃函数相叠加的叠加积分表示式将t轴n等分每段△t作阶梯信号fa(t)逼近f(t)

fa(t)≈f(t)当△t→0，n→∞，fa(t)→f(t)△tk△tf(0)f(t)t(k-1)△tf(k△t)-f((k-1)△t)351信号时域分解任意函数表示为冲激函数的积分分解为无限多个冲激函数相叠加的叠加积分的形式将t轴n等分每段△t作阶梯信号fb(t)逼近f(t)

fb(t)≈f(t)当△t→

，n→∞，fb(t)→f(t)△tk△tf(0)f(t)t(k-1)△tf(k△t)352信号时域分解总结信号在时间域里分解成阶跃函数、冲激函数、斜变函数这样的一些单元激励信号任意函数表示为阶跃函数或冲激函数的积分为求响应方便，分解的单元激励种类越少越好求系统零状态响应，可先求对各单元激励信号的响应，再利用系统线性、时不变性求所有单元响应353系统的零状态响应零状态响应定义无初始状态条件下，系统对激励信号e(t)产生的响应典型单元激励响应冲激响应h(t)阶跃响应r

(t)斜变响应rR(t)h(t),r

(t),rR(t)三者之间存在互求关系，h(t)用处最多454系统的零状态响应冲激响应系统在零状态条件下，对单位冲激函数激励所产生的响应，用h(t)表示

455系统的零状态响应关于0-与0+值0+：t=0+时刻的初始值，即y(j)(0+)0-：t=0-时刻,激励尚未接入，响应及其各阶导数在该时刻的值y(j)(0-)，即初始状态对于具体系统，初始状态0-值容易求得如果激励f(t)中含有冲激函数及其导数，当t=0激励接入系统，响应及其导数y(j)(0-)值到y(j)(0+)值可能发生跃变56系统的零状态响应关于0-与0+值举例：LTI系统初始状态求小结：二阶系统将输入f(t)代入微分方程对积分求得将上述代入微分方程，根据系数相等原则，求各待定系数分别对两边从0-与0+进行积分，依次求得y(0+)，y’(0+)57系统的零状态响应关于0-与0+值举例：LTI系统求零状态响应58系统的零状态响应阶跃响应系统在零状态条件下，对单位阶跃函数激励所产生的响应，用rε(t)表示

459系统的零状态响应斜变响应系统在零状态条件下，对单位斜变函数激励所产生的响应，用rR(t)表示

60系统的零状态响应冲激响应h(t)的平衡求取法保持系统对应的动态方程式恒等，方程式两边所具有的冲激信号函数及其各阶导数必须相等求冲激响应61系统的零状态响应n阶系统冲激响应h(t)的求法62系统的零状态响应n阶系统冲激响应h(t)的求法n>m第i项构成的一阶微分方程解63系统的零状态响应n阶系统冲激响应h(t)的求法n>m第i项构成的一阶微分方程解64系统的零状态响应

n阶系统冲激响应h(t)的求法

n>m第i项构成的一阶微分方程解依同样方法可求出部分分式中每一项所对应的一阶微分方程的解，得到65系统的零状态响应n阶系统冲激响应h(t)的求法

n＝m66系统的零状态响应n阶系统冲激响应h(t)的求法

n<m67系统的零状态响应n阶系统冲激响应h(t)的求法讨论存在重根或共轭复根和单根情况下h0(t)的模式一定与零输入响应模式相同68系统的零状态响应

n阶系统冲激响应h(t)的求法讨论若系统有m重根λs,n－m个相异实根若系统有2m个复根，n－