2024年高考数学一轮复习讲练测：复数（讲义）

第03讲复数

目录

考点要求考题统计考情分析

(1)通过方程的解，认识复高考对集合的考查相对稳定，每年必考

数.题型，考查内容、频率、题型、难度均

(2)理解复数的代数表示及变化不大.复数的运算、概念、复数的

2022年/卷〃卷第2题，5分

其几何意义，理解两个复数相模、复数的几何意义是常考点，难度较

2021年〃卷第1题，5分

等的含义.低，预测高考在此处仍以简单题为主.

2021年/卷第2题，5分

(3)掌握复数的四则运算，

了解复数加、减运算的几何意

义.

形如a+bi(a,beR)的致叫复孜，记作a+biwC

两个支部相等,底部互为相反软的复数互为共旎复淑

两个复数a+尻,c+di(a,b,c,dER)相7iu>a=c,b

复致的微念

22

员数的模••|z|=|a+姐=\/a+6

(a+fet)±(c4-di)=(a±c)+(b±d)i

(a4-W)•(c4-di)(acbd)+(ad+bc)i

复数运算

a+6i(a+6t)•(c-di)(ar+M)4-(fcc-ad)i(<?+/#o)

(c-d»)•(c-di)

史数z=a十bi(a,b€R)对应平面内的点z(a,b)

$2数z=a+6t(a,b6A)对应平而向£OZ

复数的几何意义

复数z=a+呵Q,6WR)的模|z|表示U平面内的点z(a,b)到原点的距离

复数的三角表示式：r(cos8+isin8)

辐角的主信

三角形式下的两个复数相等：两个非零复教相等

当且仅当它们的根与辐角的主值分别相等

复教三角形式的乘法运算：

复数的三角形式

ri(cos^i+isin6*i)•r2(cosg+isin02)=[cos(%+%)+isin(%+.)]

复故三角形式的除法运算：

ri(cos^i+isin0i)

—|cos(01—02)+tfiin(g—02)]

/2(8$。2+dsin%)「2

夯基•必备基础知识梳理

知识点一、复数的概念

(1)i叫虚数单位，满足尸=-1,当AcZ时，产=1,产M=7•，产+2=_1，*+3=_j.

(2)形如〃+阳a,人eR)的数叫复数，记作a+>wC.

①复数z=a+阳a,%eR)与复平面上的点Z(a,b)一—对应，a叫z的实部,6叫z的虚部：b=OozcR,

Z点组成实轴；b*O,z叫虚数；6*0且a=0,z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴(不包括原点).两个

实部相等，虚部互为相反数的复数互为共施复数.

d—C

(两复数对应同一点)

{b=d

③复数的模：复数a+〃(“/£R)的模，也就是向量OZ的模，即有向线段OZ的长度，其计算公式为

\z\=\a+hi|=y/a2+b2,显然，|z|=|a-Z>i|=>/?TP",z・z=a：!.

知识点二、复数的加、减、乘、除的运算法则

1、复数运算

(1)(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(Z?±d)i

(2)(a+bi)-(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

(a+bi)•(a-bi)=z-z=«2+Z?2=|z|2

■(注意Z?=|zF)

z+z=2a

其中|z|=Ja。+t>2,叫z的模；z=a-bi是z=a+bi的共甄复数(a,AeR).

(3)a+bi_{a+bi)•(c-di)_(ac+bd)+(be-ad)i2+建丰0)

c+di(c+di)■(c-di)c2+d~

实数的全部运算律(加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数累运算法则)都适用于复数.

注意：复数加、减法的几何意义

以复数z“Z2分别对应的向量。4,OZ2为邻边作平行四边形O4ZZ2,对角线OZ表示的向量OZ就是复

数Z1+Z?所对应的向量.Z|-Z?对应的向量是Z?Z].

2、复数的几何意义

(1)复数z=a+」(a,AwR)对应平面内的点z(a,b)；

(2)复数z=a+阳对应平面向量OZ；

(3)复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数.

(4)复数z=a+bi(a,beR)的模|z|表示复平面内的点z(a,b)到原点的距离.

3、复数的三角形式

(1)复数的三角表示式

一般地，任何一个复数z=a+〃都可以表示成r(cos0+isin，)形式，其中r是复数z的模；。是以x轴

的非负半轴为始边，向量OZ所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数2=。+初的辐角.r(cose+isin6)

叫做复数z=a+4•的三角表示式，简称三角形式.

(2)辐角的主值

任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2万的整数倍.规定在04。＜2)范围内的

辐角6的值为辐角的主值.通常记作argz,即04argz＜2复数的代数形式可以转化为三角形式，三角

形式也可以转化为代数形式.

(3)三角形式下的两个复数相等

两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.

(4)复数三角形式的乘法运算

①两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即

(cos+isinr2(cos02+isin02)=r,r2[cos(^,+a)+isin(4+g)]

②复数乘法运算的三角表示的几何意义

复数4,4对应的向量为oz「0Z?,把向量04绕点。按逆时针方向旋转角2(如果冬＜0,就要把。4

绕点。按顺时针方向旋转角网I)，再把它的模变为原来的4倍，得到向量oz,OZ表示的复数就是积Z|Z2.

(5)复数三角形式的除法运算

两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数

的辐角所得的差，即爪cos』+isin〃J=2L[COS(4-a)+isin(q—&)].

L

『cos^+ising)r2」

・提升・必考题型归纳

题型一：复数的概念

例1.(2023•河南安阳•统考三模)已知(l+2i)(a+i)的实部与虚部互为相反数，则实数。=()

A.—B.—C.[D.—

3322

【答案】A

[解析]由于(l+2i)(a+i)=q_2+(l+2a)i,

(l+2i)(“+i)的实部与虚部互为相反数，故。-2+(1+2/=0,.•/=:,

故选：A

例2.(2023・浙江绍兴•统考二模)已知复数z满足z(K-i)=2i,其中i为虚数单位，则z的虚部为()

A.迫B.回C.--D.-走

2222

【答案】A

/厂、2i2i（g+i）-2+2石i16.

------------=------1-----1

【解析】因为zMT=2i,所以2=后=a＞（上。422

所以z的虚部为史.

2

故选：A.

例3.（2023•海南海口•校联考一模）若复数z=/-4+（a-2）i为纯虚数，则实数。的值为（）

A.2B.2或-2C.-2D.-4

【答案】C

一4二0

【解析】因为复数z=/-4+（a-2）i为纯虚数，则有.二，解得。=一2,

74-2x0

所以实数。的值为-2.

故选：C

例4.（多选题）（2023•河南安阳・安阳一中校考模拟预测）若复数2==配，则（）

1-1

A.|z|=V17B.z的实部与虚部之差为3

C.z=4+iD.z在复平面内对应的点位于第四象限

【答案】ACD

【解析】3言(3-5i)(l+Lj

0-i)(l+i)

.♦.z的实部与虚部分别为4,-1,

22

|Z|=^4+（-1）=V17,A正确；

z的实部与虚部之差为5,B错误;

z=4+i,C正确；

z在复平面内对应的点为（4-1）,位于第四象限，D正确.

故选：ACD.

7

例5.（2023•辽宁•校联考一模）若z是纯虚数，目=1,则;一的实部为.

【答案】1

【解析】z是纯虚数，且|z|=l,则有Z=±i,故乎=1土i,实部为1.

故答案为：L

【解题方法总结】

无论是复数模、共较复数、复数相等或代数运算都要认清复数包括实部和虚部两部分，所以在解决复

数有关问题时要将复数的实部和虚部都认识清楚.

题型二：复数的运算

例6.(2023•黑龙江哈尔滨•哈师大附中统考三模)已知复数2=罟，则同-2=()

1—1

A.1+iB.1C.1-iD.i

【答案】A

【解析】依题意，z=7；―霍一=j=则|z|=l,z=-i,

(1-i)(l+i)2

所以|z|G=l+i.

故选：A

例7.(2023•河北衡水•模拟预测)若(i—l)(z—2i)=2+i,则彳=()

【答案】B

【解析】由己知得2=-2+方=一包辿±D+2i=-匕三+2i

1-i22

1.

故2=——1

22

故选：B.

例8.(2023・陕西榆林・高三绥德中学校考阶段练习)已知复数z满足(z-2i)i=3+i,则2=()

A.1-iB.3-iC.l-5iD.-l+3i

【答案】A

【解析】因为(z-2i)i=3+i,

所以z=±^+2i=(3+i)(f

+2i=l-3i+2i=l-i.

1i(-i)

故选：A.

例9.(2023•全国•模拟预测)已知复数z满足3z+i=l-4iz,则|z|=()

A.2B.-C.—D.-

2555

【答案】C

1-i-l-7i、6

【解析】解法一：由3z+i=l—4iz得Z=3=-R，所以|Z|=号,故选C.

解法二：由3z+i=l-4iz得(3+4i)z=l-i,所以5|z|=正,即|z|=¥，

故选：C.

【解题方法总结】

设Z]=a+hi,z2=c+di(a,b,c,deR),则

(1)z,±z2=a±c+(b±d)i

(2)z}•z2=ac—hd+(ad+bc)i

z.ac+bdbe-ad八、

(3)t=7w+7wz(z^0)

题型三：复数的几何意义

例10.（2023•河南郑州•三模）复平面内，复数^对应的点位于（）

1+V15

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

3-i3-i3-i（3-iMl+i）

【解析】由题得=,=K=击1=2+i,即复平面内对应的点为（2,1）,在第一象限.

故选：A.

例U.（2023・全国•高三专题练习）已知复数山=3+i在复平面内对应的点关于实轴对称，则含二（）

A.1+iB.1-iC.—1+iD.-1-

【答案】B

【解析】因为复数4与z=3+i在复平面内对应的点关于实轴对称，所以4=3-i,

所以言二卜平=1

故选：B.

例12.（2023・湖北•校联考三模）如图，正方形OABC中，点A对应的复数是3+5i,则顶点8对应的复数是

2-8iC.-l+7iD.-2+7i

【答案】A

【解析】由题意得：。4=（3,5）,不妨设。点对应的复数为。+万（。〈0力）0）,则OC=（〃M，

a2+b2=32+52a=-5

由QA,℃,|Qd=|o4，得.n

3〃+5b=0b=3

即C点对应的复数为-5+3i,

由OB=0A+0C得：B点对应复数为(3+5i)+(-5+3i)=-2+8i.

故选：A.

例13.(2023.全国.校联考模拟预测)在复平面内,设复数，4，%对应的点分别为Z40,2),Z2(l,-1),则生=

Z2

()

A.2B.73C.y/2D.1

【答案】C

【解析】由题意，知4=2i,z2=l-i,所以2=g=-l+i,所以五=0.

Z21TZ2

故选：C.

【解题方法总结】

复数的几何意义在于复数的实质是复平面上的点，其实部、虚部分别是该点的横坐标、纵坐标，这是

研究复数几何意义的最重要的出发点.

题型四：复数的相等与共物复数

例14.(2023・湖北・黄冈中学校联考模拟预测)已知2-式1是虚数单位)是关于8的方程》2+灰+。=0(6,。€11)

的一个根，则6+c=()

A.9B.1C.-7D.2i-5

【答案】B

【解析】已知2-i(i是虚数单位)是关于x的方程x?+公+c=0S,ceR)的一个根，

.,[3+2/?+c=0

RiJ(2-i)2+/?(2-i)+c=0,即4—4i—i+力-6i+c=0,即Jy—o—o，

[Z?=—4

解得<u，故b+c=l.

[c=5

故选：B.

例15.(2023•贵州贵阳•统考模拟预测)已知z,=a+2i,z2=2+bi,®beR),若(4+4)+仁互)i=4+13i,

则()

A.a=2,b=3B.a=-2,b=—3

C.a=2,/?=±3D.a=-2,b=±3

【答案】C

222

【解析】由已知可得，4+Z[=a+2i+a-2i=2a,z2z2=2+b=/?+4,

所以(4+4)+卜2%>=2〃+,2+41=4+1玉，

2a=4f«=2[a=2

所以有解得[b=3或％=-3

从+4=13

故选：C.

例16.（2023・四川宜宾・统考三模）已知复数z=3+4i,且z+/=9-4i,其中。是实数，则（）

A.a=—2B.a=2C.a=1D.a=3

【答案】B

【解析】因为z=3+4i,所以5=3—4i,

所以3+4i+3a-4ai=3+3a+（4-4a）i=9-4i,

所以3+3a=9,4—4a=-4,解得a=2.

故选:B.

例17.（2023•湖北•模拟预测）己知复数z满足z+|z|=2+4i,贝口的共筑复数的虚部为（）

A.2B.-4C.4D.-2

【答案】B

【解析】设2=。+阮（凡〃€町，则目=近2+从,

则z+忖=2+4i,即a+J小尸+例=2+电,

a+y/cr+b2=2['"=-3

所以，解得、，，

b=4[b=4

所以z=—3+4i3=—3—4i,

所以z的共舸复数的虚部为T.

故选：B.

例18.（2023・四川宜宾・统考三模）已知复数z=3+4i,且z+后+勿=9，其中mb是实数，则（）

A.a=-2fb=3B.a=2,/?=4

C.a=1,b=2D.Q=2,b=-4

【答案】B

【解析】因为z=3+4i,所以z=3—4i,则由z+az+例=9得：

3+4i+a（3-4i）+Z?i=9,艮|J（3+3a）+（4+b—4a）i=9,

[4+人一4。=0a=2

故，3+3〃=9'解得:

h=4

故选：B.

【解题方法总结】

复数相等：a+bi=c+dioa=c且〃=d（a,b,c,dwR）

共辄复数：a+hi=c+di<=>a=。且4=—,b,c,deR）.

题型五：复数的模

例19.(2023•河南•统考二模)若(i+l)(z-l)=2,则|苏+1|=

【答案】V10

【解析】由(i+l)(z-l)=2可得Z=2+I=2^+I=2—i,

1+12

故W=2+i，则|>+l|=|3+i|=j32+12=回，

故答案为：710

例20.（2023.上海浦东新•统考三模）已知复数z满足上-2|=目=2,则z3=

【答案】-8

【解析】设2=。+历，则Z-2=。-2+例，

a2+b2=4

所以/\22解得a=\,b=±A/3,

(〃-2丁+/=4

当a=l,〃=6时，z=l+6i,故z2=(l+Gi/=l+2后+与2=-2+2后，

z3十2+2后)(1+后)=-2+修=-8：

当a=l,6=-行时，z=T-扬,fez2=(1-V3i)'=l-2V3i+3i2=-2-2V3i,

z3=(-2-2^i)(l-^i)=-2+6i2=-8

故答案为：-8

例21.(2023•辽宁铁岭•校联考模拟预测)设复数Z1,z?满足|zj=|zj=2,Z|+z?=G+i,则|Z]-Zzl=

【答案】2石

【解析】方法-：设+z2=c+di,(cGR,d&R),

Z]+z2—a+c+(b+d)i=>/§+i,

__同

，又忆||=忆2|=2,所以。2+从=4,c2+d2=4»

b+d=l

?.(a+c)2+(b+d)2=a2+c2+/+J2+2(ac+/?rf)=4

：.ac+bd=—2

••|zi—z2|=|(〃-c)+(b—1/)/|=yj(a—c)24-(Z?-J)2={8-2(ac+bd)

=J8+4=2y/3.

故答案为：2G.

方法二：如图所示，设复数4*2所对应的点为Z1,Z2，。尸=OZ1+OZ2,

由已知10P卜历i=2=|o乙IT0Z2I，

...平行四边形OZ/Z2为菱形，上hOPZgOPZ?都是正三角形，NZQZ?=120。,

222O22

|Z,Z21=1OZ,I+1OZ21-2\OZt||OZJCOS120=2+2-2-2-2.=12

-z?I=1*21=26.

【解题方法总结】

\z\=yja2+b2

题型六：复数的三角形式

例22.(2023・四川成中统考模拟预测)1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的

关系，并写出以下公式eu=cosx+isinx(xGR,i为虚数单位)，这个公式在复变论中占有非常重要的地位,

被誉为“数学中的天桥根据此公式，下面四个结果中不成立的是()

A.铲+1=0B.1+g=1

(22J

C.|eir+e-hj<2D.-2<eLX-e'^<2

【答案】D

【解析】对于A,当x=7t时，因为8"=85兀+1$皿兀=-1,所以3"+1=0,故选项A正确；

2022

(।A\/\2022/12022

对于B,—+——i=cos—+isin—=e3=e674n,=cos674n+isin674K=1,

U2J(33){)

故选项B正确；

对于C,由e&=cosx+isinx,eu=cos(-x)+isin(-x)=cosx-isinx,

所以e"+e』=2cos无，得出卜"+e4v|=|2cosx|<2,故选项C正确；

对于D,由C的分析得e“-e*=2isinx,推不出-24e*-e&42,故选项D错误.

故选：D.

例23.(2023•全国•高三专题练习)任何一个复数z=a+bi(a/£R)都可以表示成

z="cos6+isin，)(厂之O/cR)的形式，通常称之为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：

[r(cos0+isin0)]n=rn(cosnG+isinn0)(neZ),我们称这个结论为棣莫弗定理.则(1-bif。"=()

A.1B.22022C.一22侬D.i

【答案】B

20222022

(l-Vsi)=2cos［一等i)+isin(—等万］］=22。22；

故选：B.

例24.(2023•河南・统考模拟预测)欧拉公式屋=cos0+isin，把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数

联系在一起，充分体现了数学的和谐美.若复数z满足(8"+。/=1,则z的虚部为()

A.gB.—C.ID.—I

22

【答案】B

【解析】由欧拉公式知：

em=cos7c+isin7t=-l,(e,R+i)-z=(-l+i)z=i,

ii(-l-i)1-i11.

z=------=-----------------------------=--------=-----------1.

-1+i(-l+i)(-l-i)222

，Z的虚部为

2

故选：B

例25.(2023・全国•高三专题练习)棣莫弗公式(cosx+isinx)"=cosnx+isinnx(其中i为虚数单位)是由法国

/、2023

数学家棣莫弗(1667-1754年)发现的，根据棣莫弗公式可知，复数gs7+isi吟在复平面内所对应的

点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解析】由棣莫弗公式知，fcos—+isin—1'=cos+jsjn=cosf337it+—1+isinf337JC+—1

V66766(6)v6)

.兀、..,71.G1.

=cos(兀+—)+isin(7i+—)=---------------1i

6622

/、2O23(苗］、

・••复数cosj+isinj在复平面内所对应的点的坐标为-一，)，位于第三象限.

<66)(22)

故选：C.

【解题方法总结】

一般地，任何一个复数z=a+4•都可以表示成r(cos6+isin。)形式，其中r是复数z的模；。是以x轴

的非负半轴为始边，向量OZ所在射线(射线。Z)为终边的角，叫做复数z=a+6i的辐角.r(cos〃+isin。)

叫做复数z=a+初的三角表示式，简称三角形式.

题型七：与复数有关的最值问题

例26.(2023・上海闵行・上海市七宝中学校考模拟预测)若|z+l-i|=l,则|z|的最大值与最小值的和为

【答案】2近

【解析】由几何意义可得：复数z表示以（-1,1）为圆心的半径为1的圆，

则|士［及T,夜+1］=凡”+凡「2夜.

故答案为：2A/^

例