2023年高考数学选择题压轴题（数学文化素养）试题专训（学生版）-高考数学总复习总结归纳汇总集锦资料

高2023届选择题压轴题(数学文化素养)部分精选

1.(2021.全国.)若实数系一元二次方程+在复数集C内的根为匹，马,则有

2

«(x-jq)(x-x2)=ox-a^+x2)x+axxx2=0,所以玉+Z=-2'玉%二々韦达定理)，类比

一一一一aa

此方法求解如下问题：设实数系一元三次方程办3+法2+5+4=。在复数集。内的根为玉，

111cbcd

X2,X3,则一+—+一的值为()A.B.?C.-D.-

%%%3aaaa

2.(2021■福建泉州•)已知i为虚数单位，若Z[=/](cosq+，sindj,z2=r2(cos02+isin6>2),

•••,zn=rn(cosdn+isin。,),则z,…z“=稼…嵯cos(6j+2+…+〃,)+isin(q+g+…+q).

特别地，如果4=z?=…=z“=r(cos0+isin0),那么[r(cos0+isin6)]"=rn(cosnd+i

sin”。)，这就是法国数学家棣莫佛(1667~1754年)创立的棣莫佛定理.根据上述公式，可判断

下列命题正确的是()

A.若2=8$军+isin工，贝！]z4=_'+立iB.若2=。0$军+isin生，则三=1+，

662255

77T77rSTT

sn_

C.若Zj=2(cos-j^+isin^"),z2=3(cos-+ii^),贝U=-6+6/

D.若Z]=3(cos\-isin3)，z,=4(cos?+isin?),则422=6+6/

3.(2023•辽宁沈阳・东北育才学校校考模拟预测)惰性气体分子为单原子分子，在自由原子

情形下，其电子电荷分布是球对称的.负电荷中心与原子核重合，但如两个原子接近，则彼

此能因静电作用产生极化(正负电荷中心不重合)，从而导致有相互作用力，这称为范德瓦

尔斯相互作用.今有两个相同的惰性气体原子，它们的原子核固定，原子核正电荷的电荷量

为4,这两个相距为R的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能

u=kAk+-^-----——一苒、1，其中(为静电常量，巧，巧分别表示两个原子

K+xl-x2火+石R-X2J

负电中心相对各自原子核的位移，且同和国都远小于R，当上|远小于1时，

(1+X)-1^1-x+x2,则U的近似值为()

22

.2kcqxlx22kcqxlxn^

R}R3R3R3

4.(2022・广东・广州市真光中学高三开学考试)端午佳节，人们有包粽子和吃粽子的习俗，

粽子主要分为南北两大派系，地方细分特色鲜明，且形状各异，裹蒸粽是广东肇庆地区最为

出名的粽子，是用当地特有的冬叶、水草包裹糯米、绿豆、猪肉、咸蛋黄等蒸制而成的金字塔形

的粽子，现将裹蒸粽看作一个正四面体，其内部的咸蛋黄看作一个球体，那么，当咸蛋黄的

体积为时，该裹蒸粽的高的最小值为（）

A.4B.6C.8D.10

5.（2021•河南开封•（理））丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献

的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数/（X）在（〃力）

上的导函数为（（无），（⑺在（。力）上的导函数为广（耳，若在（。㈤上/（耳＞0恒成立，

则称函数“X）在（。力）上为“凹函数”.已知了（xQ/T+xlnx—Y在（1,2）上为“凹函数”则实

数t的取值范围是（）

A.（-℃,2]B.（-℃,1]C.1双＞jD.，oo,e+£|

6.（2022.全国.（理））定义在实数集R上的函数〃x）,如果存在函数8（尤）=依+6（«,b

为常数），使得对函数定义域内任意x都有/（x）＜g（x）成立，那么g（x）为函数/⑺的

一个“线性覆盖函数”，若"x）=-2xlnx-x2,g（x）=—ar+3.若g（x）为函数在区间

（0,+8）上的一个“线性覆盖函数”，则实数“的取值范围是（）A.（YO,0]B.（-0,2]

C.D.（-8,6]

7.（2021・江苏•丰县宋楼中学）以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的

“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日

中值定理是“中值定理''的核心内容.其定理陈述如下：如果函数/*）在闭区间团,切上连续，

在开区间（。力）内可导，则在区间（。，为内至少存在一个点％，使得

/S）-/（a）=/'（x°）S—a）,x=x0称为函数y=/（x）在闭区间口切上的中值点，若关于函数

/（x）=sinx在区间[0词上的“中值点”的个数为机，函数g（x）=/在区间[0,1]上的“中值点

的个数为〃，则有加+〃=（）（参考数据：万起3.14,"2.72.）

A.1B.2C.0D.n=3

8.（2022・湖南•麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试）《九章算术》是我国古

代著名的数学著作，书中记载有几何体“刍薨”.现有一个刍薨如图所示，底

面A8C。为正方形，跖//底面4BCD,四边形ABFE,CZJEF为两个全等的

等腰梯形，EF==AB=2,AE=26则该刍薨的外接球的体积为（）

2

A.64&B.32nC.64岳D.64&万

33

9.（多选）（2022.江苏.南京市雨花台中学模拟预测）阿基米德是伟大的物理学家，更是伟大

的数学家，他曾经对高中教材中的抛物线做过系统而深入的研究，定义了抛物线阿基米德三

角形：抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛

物线C：y=x2上两个不同点AB横坐标分别为X］,巧，以为切点的切线交于尸点.则

关于阿基米德三角形尸AB的说法正确的有()

A.若过抛物线的焦点，则尸点一定在抛物线的准线上

B.若阿基米德三角形R4B为正三角形，则其面积为述

4

C.若阿基米德三角形E钻为直角三角形，则其面积有最小值;

D.一般情况下，阿基米德三角形F4B的面积S=!*々『

4

10.(多选)(2023・河北•模拟预测)十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础，

著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：

将闭区间［0,1］均分为三段，去掉中间的区间段记为第1次操作：再将剩下的两个

17

区间0,§,-,1分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作：L；每

次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的

区间段；操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若第〃次操作去掉

的区间长度记为。(〃)，则()

以〃+1)_3

B.ln[^?(n)]+l<0

(p(n)2

C.(p(n)+<p(3n)>1(p(2n)D.n2(p(n)<64^(8)

11.(浙江省嘉兴市海宁市2023届高三下学期1月适应性考试数学试题)2022年第二十四届

北京冬奥会开幕式上由96片小雪花组成的大雪花惊艳了全世界，数学中也有一朵美丽的雪

花一“科赫雪花，，.它可以这样画，任意画一个正三角形并把每一边三等分：取三等分后

的一边中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，形成雪花曲线鸟；重复上述

两步，画出更小的三角形.一直重复，直到无穷，形成雪花曲线，鸟,舄，…,匕,….

4p、P、

设雪花曲线A的边长为％,边数为切，周长为/“，面积为S“，若4=3,则下列说法正确的

是()

3Q

B.S<5<-S

2131

C.{“,也},{/0},电}均构成等比数列D.S“=S"j4%a3

12.（多选）（2023•广东东莞•校考模拟预测）函数/（x）在上有定义，若对任意的看，

%e①⑼，有/（一）《［/&）+/（%）］则称/（%）在（a,6）上具有性质P,则下列说法正确

的是（）

A./（x）=k）g2X在（0,+8）上具有性质P；B.“X）=d在其定义域上具有性质P；

C.””在（。,6）上单调递增；

D.对任意看，4,%,%e（a,b）,有了（“+"；*〃々）+〃电）+〃七）］

13.（多选）（2023•湖南邵阳•统考一模）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的

内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上.称此圆为该

椭圆的“蒙日圆”，该圆由法国数学家加斯帕尔•蒙日（1746-1818）最先发现，已知长方形R

22

的四条边均与椭圆C:二+匕=1相切，则下列说法正确的有（）

A.椭圆C的离心率为e=R2

B.椭圆C的蒙日圆方程为M+y2=6

2

C.椭圆C的蒙日圆方程为/+丁=9D.长方形R的面积的最大值为18

【课后巩固】

1.（多选）（2022.江苏.南京市雨花台中学模拟预测）阿基米德是伟大的物理学家，更是伟大

的数学家，他曾经对高中教材中的抛物线做过系统而深入的研究，定义了抛物线阿基米德三

角形：抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛

物线C：>=/上两个不同点42横坐标分别为毛，巧，以A?为切点的切线交于尸点.则

关于阿基米德三角形尸形的说法正确的有（）

A.若AB过抛物线的焦点，则尸点一定在抛物线的准线上

B.若阿基米德三角形BIB为正三角形，则其面积为这

4

C.若阿基米德三角形上4B为直角三角形，则其面积有最小值!

4

D.一般情况下，阿基米德三角形的面积SJ%一看1

4

2.（多选）（2022•福建省漳州第一中学模拟预测）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大

衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代

表太极衍生过程.已知大衍数列｛%｝满足4=。，％包=[""+"+丫胃数，则（）

A.&=6B.%+2=%+2（〃+1）

一,“为奇数

C.%=:D.数列｛（-1）"%｝的前2“项和为"5+1）

工，”为偶数

I2

3.（2022・湖南•长沙一中高三阶段练习）蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的，从正面看，蜂巢口

是由许多正六边形的中空柱状体连接而成，中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成，

菱形的一个角度是10928’,这样的设计含有深刻的数学原理.我著名数学家华罗庚曾专门研

究蜂巢的结构，著有《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》一书.用数学的眼光去看蜂巢的结

构，如图，在六棱柱ABCDEF-A'B'C力的三个顶点ACE处分别用平面瓦加f,平面

8/元＞,平面。对截掉三个相等的三棱锥〃-48£0-38,?/-。砂，平面由力/,平面800,

平面OWV交于点尸，就形成了蜂巢的结构.如图，设平面P80D与正六边形底面所成的二面

角的大小为则（）

B'B'.4'B'

A.tan0=tan5444B.sin0=^-tan5444

33

C.cos6=tan5444D.tan6=————

3tan5444r

4.（2023春・广东广州•高三中山大学附属中学校考）连续曲线凹弧与凸弧的分界点称为曲线

的拐点，拐点在统计学、物理学、经济学等领域都有重要应用.若尤）的图象是一条连续

不断的曲线，〃尤）的导函数（⑺都存在，且尸（无）的导函数⑺也都存在.若

3x0e（a,^）,使得尸（不）=0,且在%的左、右附近，广（尤）异号，则称点&J®））为曲线

y=〃x）的拐点，根据上述定义，若（2,〃2））是函数〃尤）=（》-4）。「£三+：辰4（尤＞0）唯

一的拐点，则实数4的取值范围是（）.

e2e2C.1臼D.［若.

A.—oo,——B.—00,——

44

5.（2023春.广东广州.高三中山大学附属中学校考）我国古代数学名著《九章算术》中将底

面为矩形的棱台称为“刍童”.已知侧棱都相等的四棱锥P-ABCD底面为矩形，且AB=3,

BC=V7,高为2,用一个与底面平行的平面截该四棱锥，截得一个高为1的刍童，该刍童

的顶点都在同一球面上，则该球体的表面积为（）.

A.16兀B.1871C.20兀D.257c

6.（2023・湖南邵阳・统考一模）截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，

即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图所示，将棱长为3a的正四面体沿棱的三等分

点作平行于底面的截面，得到所有棱长均为。的截角四面体，则下列说法错误的是（）

A.二面角的余弦值为B.该截角四面体的体积为百亚足

C.该截角四面体的外接球表面积为，乃a?口.该截角四面体的表面积为6扃°

7.（多选）（2022•湖北•黄冈中学模拟预测）高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一,

享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用印表示不超过X

的最大整数，则丫=四称为高斯函数，例如［-2」=-3,［2」=2.则下列说法正确的是（）

A.函数y=x-［x］在区间［匕左+1）（左eZ）上单调递增

B.若函数/（幻=粤二，则^="（项的值域为⑼

e-e

C.若函数/（x）=|Jl+sin2x-Jl-sin2x|,贝U="。）］的值域为{0,1}

D.xeR,x＞［x］+l

8.（2022.湖北.黄冈中学模拟预测）华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数

学定义，由此发展的混沌理论在生物学、经济学和社会学领域都有重要作用.在混沌理论中，

函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设/（%）是定义在R上的函数，对于令

%=/（%）（〃=1,2,3,）,若存在正整数:使得丁=%,且当0勺＜%时，无产%,则称/是/（%）

C1

2x,x＜—

的一个周期为上的周期点.若/（x）=1,下列各值是八%）周期为1的周期点的有

2（1一%）,X...~

12

（）A.0B.-C.-D.1

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9.（2022.山东.模拟预测）正弦信号是频率成分最为单一的一种信号，因这种信号的波形是

数学上的正弦曲线而得名，很多复杂的信号都可以通过多个正弦信号叠加得到，因而正弦信

号在实际中作为典型信号或测试信号而获得广泛应用已知某个声音信号的波形可表示为

/■（X）=2sin尤+sin2%,则下列叙述不正确的是（）

A./⑺在［0,2%）内有5个零点B./⑴的最大值为3

C.（2%,0）是/（x）的一个对称中心D.当时，/（x）单调递增

10.（多选）（2022・湖南•长沙市明德中学高三开学考试）抛物线有如下光学性质：由其焦点

射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称

轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线C:y2=2px（p＞0）,。为坐

标原点，一条平行于x轴的光线（从点加（5,2）射入，经过C上的点A反射后，再经C上另一

点8反射后，沿直线4射出，经过点N.下列说法正确的是（）

A.若p=2,贝!||A3|=4B.若p=2,则MB平分ZABN

C.若P=4,则|幽=8D.若p=4,延长49交直线x=-2于点。，则。，B,N三点共线

11.（多选）（湖北省2023届高三下学期1月联考数学试题）第24届冬季奥林匹克运动会圆满

结束.根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆.国家体育场“鸟巢”

的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若椭圆G：

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＞。＞0）和椭圆C?：不■+万=1（%＞%＞0）的离心率相同，且4＞出.则下列

正确的是（）

c.如果两个椭圆c°,a分别是同一个矩形（此矩形的两组对边分别与两坐标轴平行）的

内切椭圆（即矩形的四条边与椭圆6均有且仅有一个交点）和外接椭圆，则

D.由外层椭圆的左顶点A向内层椭圆C?分别作两条切线（与椭圆有且仅有一个交点的

直线叫椭圆的切线）与G交于两点M，N,G的右顶点为B,若直线A0与3N的斜率之积

Q1

为则椭圆C1的离心率为：.

12.（多选）（江苏省徐州市2022-2023学年高三上学期期末复习数学试题）为了确保在发生

新冠肺炎疫情时，能够短时间内完成大规模全员核酸检测工作，采用“10合1混采检测”，

即：每10个人的咽拭子合进一个采样管一起检测.如果该采样管中检测出来的结果是阴性，

表示这10个人都是安全的.否则，立即对该混采的10个受检者暂时单独隔离，并重新采集

单管拭子进行复核，以确定这10个人中的阳性者.某地区发现有输入性病例，需要进行全

员核酸检测，若该地区共有10万人，设感染率为0（每个人受感染的概率），则