2023年山东各地数学中考一模试题汇编含详解9 锐角三角函数的应用

专题09锐角三角函数的应用

一.选择题（共4小题）

1.（2023•泰山区校级一模）如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60。方向，距离灯塔60〃/淞的小岛A出发，沿

正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45。方向上的5处，这时轮船5与小岛A的距离是（）

北

■

A.30∖∕3nmileB.60wra7e

C.↑20nmileD.(30+30∖∕3)nmile

2.（2023•泰山区校级一模）如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD,AE,。尸为梯形的高，其中迎水坡4?

的坡角a=45。，坡长AB=Iog米，背水坡8的坡度i=l：G,则背水坡的坡长C。为（）米.

A.20B.20√3C.10D.20√2

3.（2023•泰山区校级一模）轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30。方向匀速航行，在5处观测灯塔A位

于南偏东75。方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60。方向上，则C处与灯塔A的距

离是（）海里.

A.25√3B.25√2C.50D.25

4.（2023•东平县校级一模）如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图.其中43、CD分别表示一楼、二楼

地面的水平线，ZABC=150o,BC的长是40〃?，则乘电梯从点B到点C上升的高度〃是（）

A.20，"B.C.—√3mD.20√3∕zz

33

二.填空题（共4小题）

5.（2023•岱岳区校级一模）在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EF//MN,小聪在

河岸MN上点A处用测角仪测得河对岸小树C位于东北方向，然后沿河岸走了30米，到达8处，测得河对岸电

线杆。位于北偏东30。方向，此时，其他同学测得8=10米.请根据这些数据求出河的宽度为米.（结果

保留根号）

6.（2023∙东平县一模）一艘轮船位于灯塔P的南偏东60。方向，距离灯塔30海里的A处，它沿北偏东30。方向航

行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东67。方向上的3处，此时与灯塔尸的距离约为―海里.（参考数据：

sin37o≈—,cos37o≈≈一,tan37o≈

55

7.（2023•梁山县一模）一渔船在海岛A南偏东20。方向的3处遇险，测得海岛A与3的距离为20（6+1）海里，渔

船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西65。方向向海岛C靠近.同时，从A处出发的救援船沿南偏西10。

方向匀速航行.20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为

8.（2023∙垦利区一模）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60。方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航

行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45。方向上的B处，此时8处与灯塔P的距离为—海里（结果保留根

三.解答题（共15小题）

9.（2023∙历下区一模）交通安全心系千万家，高速公路管理局在某隧道内安装了测速仪，如图所示的是该段隧道

的截面示意图.测速仪C和测速仪E到路面之间的距离CD=EF,测速仪C和E之间的距离CE=750m,一辆小汽

车在水平的公路上由西向东匀速行驶，在测速仪C处测得小汽车在隧道入口A点的俯角为25。，小汽车到测速仪C

的水平距离AD=l4m,在测速仪E处测得小汽车在B点的俯角为60。，小汽车在隧道中从点A行驶到点3所用的

时间为38s（图中所有点都在同一平面内）.

（1）求A,3两点之间的距离（结果精确到1m）；

（2）若该隧道限速22机∕s,判断小汽车从点A行驶到点8是否超速？通过计算说明理由.

（参考数据：√3≈1.7,sin25o≈0.4,cos25o≈0.9,tan25o≈0.5,sin65o≈0.9,cos65o≈0.4,lan65o≈2.1）

10.（2023•金乡县一模）为提高数学学习的兴趣，某学校数学社团利用周日举行了测量旗杆高度的活动.已知旗杆

的底座高1米，长8米，宽6米，旗杆位于底座中心.

测量方法如下：在地面上找一点。，用测角仪测出看旗杆AB顶8的仰角为67.4。，沿Z）E方向走4.8米到达C地,

再次测得看旗杆顶B的仰角为73.5。.

（1）求旗杆的高度.

（2）已知夏至日时该地的最大太阳高度约为78。，试问夏至日旗杆的影子能不能落在台阶上？

（太阳高度角是指某地太阳光线与地平线的夹角.结果精确到0.1〃?，参考数据：tan67.4θ"2∙4,tan73.5o=24∕7,

tan22,6o≈5∕12,tan!6.5o≈7∕24.tan12o≈0.21）

11.（2023•河口区校级一模）某数学兴趣小组准备测量校园内旗杆顶端到地面的高度（旗杆底端有台阶）.该小组

在C处安置测角仪CD，测得旗杆顶端A的仰角为30。，前进8〃?到达E处，安置测角仪炉，测得旗杆顶端A的仰

角为45。（点3,E,C在同一直线上）,测角仪支架高CD=EF=∖.2m,求旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度.（结

果精确到1，联参考数据：√3≈1.7）

12.（2021∙南沙区一模）如图，身高为1.6米的小明在距离一棵大树10米的点B处看大树顶端C的仰角为45。，在

大树的另一边点A处看这棵大树顶端C的仰角度数为α.（A、£、B在同一条直线上，忽略眼睛到头顶间距离）

（1）求大树的高度.

（2）若点A与点B之间的距离为（10+10石）米，求C的值.

C

生油一4

AEB

13.（2023∙滕州市一模）请根据对话和聪聪的做法，解决问题

聪聪的做法是：

第一步：在教学楼前5米的M点处测得大楼顶端的仰角为75。；

第二步：在图书馆。处测得教学楼顶端的仰角为30。，（8、M、。三点共线，A、B、。、C在同一竖直

的平面内，测倾仪的高度忽略不计）；

第三步：计算出教学楼与图书馆之间BQ的距离.

请你根据聪聪的做法，计算出教学楼与图书馆之间砒＞的距离？（结果精确到1米）.

（参考数据：sin75o≈0.97,cos75o≈0.26,tan75o≈3.73,√2≈1.41,√3≈1.73）

聪聪，教学楼与图书馆

之间有池塘你能测出它

们之间的距离吗？

14.（2023•荷泽一模）如图，一座山的一段斜坡BD的长度为400米，且这段斜坡的坡度i=l:3（沿斜坡从3到。

时，其升高的高度与水平前进的距离之比）.己知在地面3处测得山顶A的仰角（即ZABC）为30。，在斜坡。处测

得山顶A的仰角（即N4DE）为45。.求山顶A到地面BC的高度AC是多少来?

15∙（2023∙成武县校级一模）春节期间，小明发现远处大楼的大屏幕时出现了“新年快乐”几个大字，小明想利用

刚学过的知识测量“新”字的高度：如图，小明先在A处，测得“新”字底端。的仰角为60。，再沿着坡面A3向

上走到5处，测得“新”字顶端C的仰角为45。，坡面AB的坡度i=l：G，AB=50m,AE=15m（假设A、B、

C、D、E在同一平面内）.

（1）求点8的高度防；

（2）求“新”字的高度CD∙（C。长保留一位小数，参考数据√5NL732）

16.（2023•长清区一模）如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面30米的。处，无人机

测得操控者A的俯角为30。，测得教学楼BC顶端点C处的俯角为45。.又经过人工测量测得操控者A和教学楼BC

之间的距离为57米.求教学楼BC的高度.（点A,B,C,。都在同一平面上，结果保留根号）

17.（2023•郸城县一模）某校数学兴趣小组利用无人机测量烈士塔的高度.无人机在点A处测得烈士塔顶部点3的

仰角为45。，烈士塔底部点C的俯角为61。，无人机与烈士塔的水平距离仞为10〃?，求烈士塔的高度.（结果保留

整数，参考数据：sin61o≈0.87,cos61o≈0.48,tan61o≈1.80）

☆

D革

命

烈

士

纪

念

碑

18.（2023•新泰市一模）如图是把一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货厢的示意图.已知汽车货

厢高度BG=2米,货厢底面距地面的高度BH=0.6米,坡面与地面的夹角NBAH=a,木箱的长（FC）为2米,高（EF）

和宽都是1.6米.通过计算判断：当Sina=3,木箱底部顶点C与坡面底部点A重合时，木箱上部顶点E会不会触

5

碰到汽车货厢顶部.

N

19.（2023•天桥区一模）某数学小组测量古塔DC的高度，如图，在A处用测角仪测得古塔顶端。的仰角为34。,

沿AC方向前进15〃?到达B处，又测得古塔顶端。的仰角为45。，已知测角仪高度AF=I5〃，测量点A,B与

古塔。C的底部C在同一水平线上，延长EF交C/）于点G,求古塔DC的高度（精确到1优，参考数据：sin34o≈0.56,

cos34o≈0.83,tan34o≈0.67).

20.（2023•博山区一模）如图，某超市计划将门前的部分楼梯改造成无障碍通道.已知楼梯共有五级均匀分布的台

阶，高AB=0.75w,斜坡AC的坡比为1:2,将要铺设的通道前方有一井盖，井盖边缘离楼梯底部的最短距离

ED=2.55m.为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于多少度？（结果精确到1。）

（参考数据表）

计算器按键顺序计算结果（已精确到0.001）

F][ɪirnEE(DCD臼11.310

0.003

WΓ∏EIIΞJC∑I□ΞI□3(Ξ]14.744

kΓΠEliΞJELECT)CZ)0.005

21.（2023•东阿县一模）如图，某巡逻艇在海上例行巡逻，上午10时在C处接到海上搜救中心从3处发来的救援

任务，此时事故船位于6处的南偏东25。方向上的A处，巡逻艇位于B处的南偏西28。方向上1260米处，事故船位

于巡逻艇的北偏东58。方向上，巡逻艇立刻前往A处救援，已知巡逻艇每分钟行驶120米，请估计几分钟可以到达

事故船A处.(结果保留整数.参考数据：G=I.73,sin53o≈-,cos53o≈-,tan53o≈-)

553

22.（2023•利津县一模）如图，某楼房A3顶部有一根天线BE,为了测量天线的高度，在地面上取同一条直线上

的三点C,D,A,在点C处测得天线顶端E的仰角为60。，从点C走到点。，测得CD=5米，从点。测得天线

底端8的仰角为45。，已知A,B,E在同一条垂直于地面的直线上，45=25米.

（1）求A与C之间的距离；

（2）求天线BE的高度.（参考数据：√3≈1.73,结果保留整数）

23.（2023∙临清市一模）数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度.如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在

台阶底部点A处测得塔楼顶端点E的仰角NG4E=50.2。，台阶AB长26米，台阶坡面AB的坡度i=5:12,然后在

点B处测得塔楼顶端点E的仰角ZEBF=63Ao,则塔顶到地面的高度EF约为多少米.

(参考数据：tan50.2°≈1.20,tan63.4o≈2.∞,sin50.2o≈0.77,sin63.4o≈0.89)

E

B

F

GA

专题09锐角三角函数的应用

一.选择题（共4小题）

1.（2023•泰山区校级一模）如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60。方向，距离灯塔60〃/淞的小岛A出发，沿

正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45。方向上的5处，这时轮船5与小岛A的距离是（）

北

■

A.30∖∕3nmileB.60〃HWMe

C.TTOnmileD.（30+30G）Wm7e

【答案】D

【分析】过点C作C£>_LAfi，则在RtΔACD中易得A3的长，再在直角ΔBCD中求出8。，相加可得Λβ的长.

【详解】解：过C作S_LA5于。点，

.-.ZACD=30o,NBCD=45°,AC=60.

在RlΔA8中，COSZACD=——,

AC

.∙.CD=ACcosZACD=60×-=30√^.

2

在RtΔDCB中，NBCD=ZB=45°,

；.CD=BD=3UA

:.AB=AD+BD=(30+30√3)ww⅛.

答：这时轮船B与小岛A的距离是（30+30√3）wm7e.

故选：D.

北

2.（2023•泰山区校级一模）如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD,AE,OF为梯形的高，其中迎水坡A3

的坡角a=45。，坡长AB=IO夜米，背水坡8的坡度i=l：G，则背水坡的坡长Cz）为（）米.

A.20B.20√3C.10D.20√2

【答案】A

【分析】由AB的坡角a=45。，求出AE的长，再由背水坡CO的坡度i=1：G得出NC=30。，然后由含30。角的直

角三角形的性质即可求解.

【详解】解：由题意得：四边形gD是矩形，

.-.DF=AE,

迎水坡AB的坡角α=45。，坡长AB=IO血米，

.∙.DF=AE=≠10√2×sin45°=10（米）,

•背水坡CD的坡度z=1:√3,

..「_._DF_1√3

..tan（J=i=---=-=-—,

CF√33

.∙.ZC=30°,

:.CD=2DF=2AE=24（米），

故选：A.

3.（2023•泰山区校级一模）轮船从8处以每小时50海里的速度沿南偏东30。方向匀速航行，在3处观测灯塔A位

于南偏东75。方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60。方向上，则C处与灯塔A的距

离是（）海里.

A.25√3B.25√2C.50D.25

【答案】D

【分析】根据题中所给信息，求出NBC4=90。，再求出NCR4=45。，从而得到AABC为等腰直角三角形，然后根

据解直角三角形的知识解答.

【详解】解：根据题意，

Nl=N2=30°,

ZACD=60°,

.∙.ZACB=30o+60o=90o,

.∙.ZCβ4=75o-30o=45o,

.∙.A4BC为等腰直角三角形，

BC=50x0.5=25（海里），

.∙.AC=BC=25（海里）.

4.（2023•东平县校级一模）如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图.其中AB、8分别表示一楼、二楼

地面的水平线，ZABC=150o,BC的长是40/",则乘电梯从点3到点C上升的高度力是（）

A.20mB.—sHmC.—√3wD.2G乖）m

33

【答案】A

【分析】过C作CEJ_直线ΛB于E,求出NC8E=30。，根据含30。角的直角三角形的性质得出CE=IBC,代入

2

求出即可.

【详解】解：过C作CEJ_直线ΛB于E,贝IJNCEB=90。，CE=h,

NABC=I50。，

.∙.NCBE=30°,

BC=AOm,

.∙.h^CE=-BC=20m,

2

故选：A.

—.填空题（共4小题）

5.（2023•岱岳区校级一模）在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸所//MM,小聪在

河岸MN上点A处用测角仪测得河对岸小树C位于东北方向，然后沿河岸走了30米，到达B处，测得河对岸电

线杆。位于北偏东30。方向，此时，其他同学测得8=10米.请根据这些数据求出河的宽度为米.（结

果保留根号）

北

【分析】如图作3〃D，CKLMN,垂足分别为H、K,则四边形B//CK是矩形，设CK=HB=x,根据

tan30。=弛列出方程即可解决问题.

BH

【详解】解：如图作8"，"，CKLMN,垂足分别为“、K9则四边形3//CK是矩形，

NCX4=90。，NC^=45。，

.∙.NC4K=NACK=45。，

:.AK=CK=χfBK=HC=AK-AB=X-34,

.∖HD=x-30+∖0=x-20,

在RTABHD中，ABHD=90°，ZHBD=30°，

.∙.tan30°=-,

HB

.√3x-20

.•——,

3X

解得x=30+lOG.

・•・河的宽度为（30+10G）米.

6.（2023•东平县一模）一艘轮船位于灯塔P的南偏东60。方向，距离灯塔30海里的A处，它沿北偏东30。方向航

行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东67。方向上的B处，此时与灯塔P的距离约为海里.（参考数据：

343

sin37o≈-,cos37o≈-,tan37o≈-）

554

【答案】50.

【分析】由题意可得NC4P=/E7%=60。，ZC4B=30o,Λ4=3O海里，则NE4B=90。，NS=37。，在RtΔPAB中,

利用正弦函数求解即可.

【详解】解：如图所示标注字母，

根据题意得，ZC4P=ZEZ¾=60o,ZC4B=30o,PA=30海里,

.∙.Z∕¾B=90o,ZAPB=180O-67O-60O=53O,

.∙.ZB=180°-90°-53°=37°，

Ap303

在RtAPAB中，sin37°=——=—≈-,

PBPB5

解得P3χ50,

.∙.此时与灯塔P的距离约为50海里.

故答案为：50.

7.(2023•梁山县一模)一渔船在海岛力南偏东20。方向的3处遇险，测得海岛A与3的距离为20(6+1)海里，渔

船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西65。方向向海岛C靠近.同时，从A处出发的救援船沿南偏西10。

方向匀速航行.20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为.

【分析】作8LAB，得到两直角三角形A4CD、ABCD,利用三角函数的知识即可求得答案.

【详解】解：作CO_LA8,

NCAB=10。+20。=30。，ZCβ4=65o-20o=45o,

.∙.BD=CD=X海里,则AD=[20(√3+1)-幻海里，

CD

在RtAACD中，—=tan30o,

AD

贝IJ—/-----=—,

20(√3+l)-x3

解得X=20,

在RtAACD中，AC=2x20=40海里，

40÷20=2海里/分.

故答案为：2海里/分.

8.(2023•垦利区一模)如图，一艘轮船位于灯塔尸的南偏东60。方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航

行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45。方向上的8处，此时8处与灯塔P的距离为海里（结果保留

根号）.

【答案】25√6.

【分析】过点P作尸AB,在RtΔAPC中由锐角三角函数定义求出Pe的长，再在RtABPC中由锐角三角函数定

义求出心的长即可.

【详解】解：过户作PCLAB于C,如图所示：

由题意得：ZAPC=30。，NBPC=45。,Λ4=50海里，

PC

在RtAAPC中，CoSNA尸C=―

PA

..PC=PA-cosZAPC=50×—=25√3（海里），

2

PC

在RtΔPCB中，cosZBPC=-.

PB

:.PB=———=^^=25√6（海里），

COSNBPC/

V

故答案为：25√6.

≡.解答题（共15小题）

9.（2023∙历下区一模）交通安全心系千万家，高速公路管理局在某隧道内安装了测速仪，如图所示的是该段隧道

的截面示意图.测速仪C和测速仪E到路面之间的距离8=防，测速仪C和E之间的距离Cε=750m,一辆小汽

车在水平的公路上由西向东匀速行驶，在测速仪C处测得小汽车在隧道入口A点的俯角为25。，小汽车到测速仪C

的水平距离AD=Mm,在测速仪E处测得小汽车在B点的俯角为60。，小汽车在隧道中从点A行驶到点B所用的

时间为38s（图中所有点都在同一平面内）.

（1）求A,8两点之间的距离（结果精确到IM;

（2）若该隧道限速22”z∕s,判断小汽车从点A行驶到点B是否超速？通过计算说明理由.

（参考数据：√3≈1.7.sin25o≈0.4.cos25o≈0.9,tan25o≈0.5,sin65o≈0.9,cos65o≈0.4,tan65o≈2.1）

【分析】（1）根据题意可得：ZCAD=25°,ZEBF=60o,CE=Z）F=750米，然后在RtΔACD中，利用锐角三角

函数的定义求出CZ）的长，再在RtABEF中，利用锐角三角函数的定义求出班`的长，最后根据Afi=AD+£）尸-8尸

进行计算即可解答；

（2）先求出汽车的行驶速度，进行比较即可解答.

【详解】解：（1）由题意得：

ZC4T>≈25o,ZEBF=60°,CE=OF=750米，

在RlAACD中，Ar）=I4米，

,,CD

/.14=---------

tan25°

.∙.8=7米

在RtABEF中，EF=7米，

pp7

.∙.BF=-----=-=≈4.1（米），

tan60o√3

:.AB=AD+DF-BF=i4+150-4Λ≈160（米），

.∙.A,8两点之间的距离约为760米；

（2）小汽车从点A行驶到点5没有超速，

理由：由题意得：

760÷38=20米/秒，

20米/秒<22米/秒，

小汽车从点A行驶到点B没有超速.

10∙（2023∙金乡县一模）为提高数学学习的兴趣，某学校数学社团利用周日举行了测量旗杆高度的活动.已知旗杆

的底座高1米，长8米，宽6米，旗杆位于底座中心.

测量方法如下：在地面上找一点。，用测角仪测出看旗杆AB顶B的仰角为67.4。，沿。E方向走4.8米到达C地,

再次测得看旗杆顶B的仰角为73.5。.

（I）求旗杆的高度∙

（2）已知夏至日时该地的最大太阳高度约为78。，试问夏至日旗杆的影子能不能落在台阶上？

（太阳高度角是指某地太阳光线与地平线的夹角.结果精确到0.1相，参考数据：tan67.4。《2.4,tan73.5。=24/7,

tan22.6o≈5∕12,tanl6.5o≈7∕24,tan12o≈0.21）

【分析】（1）设旗杆的高度为X米，则EB=（X+1）米，利用锐角三角函数列式计算即可；

（2）设夏至日旗杆的影长为y米，根据锐角三角函数解得y的值，然后根据旗杆的底座长8米，旗杆位于底座中

心.根据8÷2=4,比较y与4的大小，进而可以解决问题.

【详解】解：（1）设旗杆的高度为X米，则EB=（X+1）米，

根据题意可知：NBDE=67.4。，NBCE=735°.Z)C=4.8米,

x+1x+l24

tanNBDE=---≈2.4tanABCE=——------≈—

DEEC+4.8CECE7

%+1

≈2.4

7

24α+D+4.8

解得X=37.4,

.∙.旗杆的高度为37.4米；

（2）,旗杆的高度为37.4米，则BE=38.4米,

设夏至日旗杆的影长为y米，

tanl2o=γ÷Bf≈0.21,

解得y=0.21X38.4≈8.1,

旗杆的底座长8米，宽6米，

工底座的对角线是10米,

.∙.8.1>5,

.∙.夏至日旗杆的影子不能落在台阶上.

11.（2023•河口区校级一模）某数学兴趣小组准备测量校园内旗杆顶端到地面的高度（旗杆底端有台阶）.该小组

在C处安置测角仪CD，测得旗杆顶端A的仰角为30。，前进8〃?到达E处，安置测角仪所，测得旗杆顶端A的仰

角为45。（点3,E,C在同一直线上）,测角仪支架高CD=EF=∖.2m,求旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度.（结

【分析】延长上交Λ5于点G,根据题意可得：DF=CE=8∕n,ZX?=EF=BG=L2w,NAGF=90。，然后设AG=X

m,在RtΔAFG中，利用锐角三角函数的定义求出尸G的长，从而求出OG的长，再在RlΔADG中，利用锐角三角

函数的定义列出关于X的方程，进行计算即可解答.

DF=CE=Sm,DC=EF=BG=I.2m,ZAGF=90°,

设AG=xm,

在RtAAFG中，ZAFG=45°,

AG

.,.FG=------=x(m),

tan45°

.∙.DG=DF+FG=(x+8)∕n,

在RtAADG中，ZADG=30°,

.∙ɔno-AG-X_G

..tan30=-----=-------=—,

DGx+83

.∙.X=+4,

经检验：x=4√5+4是原方程的根，

.∙.AB=AG+BG≈12(m),

：.旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度约为12机.

12.(2021•南沙区一模)如图，身高为1.6米的小明在距离一棵大树10米的点B处看大树顶端C的仰角为45。，在

大树的另一边点A处看这棵大树顶端C的仰角度数为α.(A、£、B在同一条直线上，忽略眼睛到头顶间距离)

(1)求大树的高度.

（2）若点A与点3之间的距离为（10+10G）米，求α的值.

C

生^一与

AEB

【分析】（1）由题意得四边形3EZX7是矩形，则OE=3G=1.6米，DG=BE=IO米，再证ACDG是等腰直角三角

形，得CD=OG=Io米，求解即可；

（2）设小明在A处时，头顶为尸，连接AF,则四边形姐W是矩形，得DF=AE=AB-BE=I。出（米），再由

锐角三角函数定义求出tanNCH）=且，求解即可.

3

【详解】解：（1）如图，CEJGB±AB,DGLCE,

.∙.四边形3E3G是矩形，

..DE=JBG=1.6米，DG=3E=K）米，

NCG£>=45°,

」.△8G是等腰直角三角形，

8=QG=Io米，

/.CE=CD+DE=10+1.6=11.6（米），

二大树的高度为11.6米；

（2）设小明在A处时，头顶为F,连接。口，

则四边形4瓦乃是矩形，

48=（10+10扬米，

.∙.DF=A£=AB-B£=10+10√3-10=10√3（米），

在RtACDF中，tanZCFD=-=-⅛=-,

DF10√33

.-.ZCFD=30°，

a-30°.

13.（2023•滕州市一模）请根据对话和聪聪的做法，解决问题

聪聪的做法是：

第一步：在教学楼前5米的M点处测得大楼顶端的仰角为75。；

第二步：在图书馆。处测得教学楼顶端的仰角为30。，（B、V、。三点共线，A、B、M、D、C在同一竖直

的平面内，测倾仪的高度忽略不计）；

第三步：计算出教学楼与图书馆之间应）的距离.

请你根据聪聪的做法，计算出教学楼与图书馆之间8。的距离？（结果精确到1米）.

（参考数据：sin75o≈0.97,cos75o≈0.26,tan75o≈3.73,√2≈1.41,^≈1.73）

聪聪，教学楼与图书馆

之间有池塘你能测出它

们之间的距离吗？

【分析】解直角三角形AftW求得他，解RtΔABD可得出处的长，即可得出结论.

【详解】解：根据题意可得NABM=90。,

在RtAABM中，BM=5,ZAMB=75°,

Afl

tanZAMB=——≈3.73,

BM

.∙.ΛB≈3.73×5=18.65（米），

在RtΔABD中，ZADB=30o,

tanZADB=,

BD3

.∙.BD=√3AB≈1.73×18.65≈32（米）,

教学楼与图书馆之间的的距离约为32米.

14.（2023•菊泽一模）如图，一座山的一段斜坡切的长度为400米，且这段斜坡的坡度,=1:3（沿斜坡从B到。

时，其升高的高度与水平前进的距离之比）.已知在地面3处测得山顶A的仰角（即ZABC）为30。，在斜坡。处测

得山顶A的仰角（即NAOE）为45。.求山顶A到地面3C的高度AC是多少来？

【分析】作OHJ-BC1于”设AE=X米，在RlΔBDH中，根据已知条件可得=400?,进而求出。H和

3〃的长度；在RtAADE中，根据NADE=45。可得DE=AE=X米，进而求出EC.在RtΔABC中，根据

tanZASC=——求出x,再结合AC=AE+EC解答题目.

BC

【详解】解：过点。作£>”_L3C于H,设AE=Xm.

这段斜坡的坡度1=1:3,

:.DH:BH=1:3.

在RtABDH中，DH2+(3DH)2=4002,

.∙.DH=40√10(∕n),则BH=120√10(w).

在RtAADE中，NADE=45。,

.∙.DE=AE=Xm.

又HC=ED,EC=DH,

：.HC=xin,EC=40yfl0nι，

ΔΓ,x+40√iδ√3

在RtAABC中,tan30°=—

BCl20√10+x^3

解得X=40回,

.∙.AC=AE+EC=(40√30+40√10)∕w.

故山顶A到地面BC的高度AC是(40√30+40√10)∕n.

15.(2023•成武县校级一模)春节期间，小明发现远处大楼的大屏幕时出现了“新年快乐”几个大字，小明想利用

刚学过的知识测量“新”字的高度：如图，小明先在A处，测得“新”字底端。的仰角为60。，再沿着坡面43向

上走到5处，测得“新”字顶端。的仰角为45。，坡面AB的坡度i=L√5,AB=50m,AE=756(假设A、B、

C、D、E在同一平面内).

(1)求点3的高度BF；

(2)求“新”字的高度C£>.(C。长保留一位小数，参考数据6=1.732)

【分析】(1)由坡度的概念求出所即可；

(2)由勾股定理求出AF,再由锐角三角函数定义求出Z)E和CG,即可解决问题.

【详解】解：(1)如图，过5作8Gl.cE于G,

•坡面AB的坡度1:6,

:.tanZBAF=l-.y∕3=-,

3

:.ZBAF=30°,

；.BF=LAB=25(m);

(2)由勾股定理得，AF=y]AB2-BF2=√5O2-252=,

BG=FE=AF+AE=(25百+75)。〃)，

DEL

在RtADAE中，tanZDAE=一=tan60o≈√3.

AE

/.DE=√3AE=75√3(w),

NCBG=45。，

.∙.ACBG是等腰直角三角形，

.∙.CG=BG=(25百+75)In,

GE=BF=25m,

CD=CG+GE-DE=25√3+75+25-75√3=100-50√3≈13.4(〃?)，

答：“新”字的高度CD约为13.4m.

16.（2023•长清区一模）如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面30米的。处，无人机

测得操控者A的俯角为30。，测得教学楼BC顶端点C处的俯角为45。.又经过人工测量测得操控者A和教学楼BC

之间的距离为57米.求教学楼BC的高度.（点A,B,C,。都在同一平面上，结果保留根号）

【分析】过点。作DE于点E,过点C作CF_Lf）E于点尸，由题意得AB=57米，DE=30米，ZDAE=30o,

NDCF=45°,再由锐角三角函数定义求出AE的长，然后求出CF=BE=（57-3Oe）米，进而可得教学楼BC的高

度.

【详解】解：过点。作DELAS于点E,过点C作C户_LE)E于点F,如图所示:

则四边形BCEE是矩形，

由题意得：AB=57米，DE=30米，ZDAE=30o,ZDCF=45。,

在RtΔADE中，ZAED=90。，

DE

.∙.tanNZ)A£"=,

AE

AE=―—==30G(米)，

tan30o√∣

T

.∙.BE=AB-AE=(57-30√3)米，

四边形BCFE是矩形，

/.CF=BE=(57-30√3)米，

在RtΔDCF中，Ne)FC=90。,

；.NCDF=NDCF=45°,

：.DF=CF=(57-306)米，

.∙.BC=EF=30-57+30√3=(30√3-27)^,

答：教学楼BC的高度为(3θ8-27)米.

17.(2023•郸城县一模)某校数学兴趣小组利用无人机测量烈士塔的高度.无人机在点A处测得烈士塔顶部点5的

仰角为45。，烈士塔底部点C的俯角为61。，无人机与烈士塔的水平距离为IO,",求烈士塔的高度.(结果保留

整数，参考数据：sin6Io≈0.87,cos61o≈0.48,tan61°≈1.80)

R

☆

D革

嘲:命

烈

士

纪

念

碑

CDCD

【分析】在RtAABD中，ZS4Z)=45o,可得AD=BD=10机，在RtΔACD中，tan61°=——=—≈1.80,求出8,

AD10

根据BC=BD+CZ)可得答案.

【详解】解：在RtΔABD中，ZBAD=45°,

.∙.AD=BD=10/7?,

C∏CD

在RtΔACD中，tan61。=—=一≈1.80,

AD10

解得8≈18,

.∖BC=BD+CD=28m

.∙.烈士塔的高度约为28m.

18.(2023•新泰市一模)如图是把一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货厢的示意图.已知汽车货

厢高度3G=2米,货厢底面距地面的高度BH=0.6米,坡面与地面的夹角NBAH=a,木箱的长(FC)为2米,高(Er)

和宽都是1∙6米.通过计算判断：当Sina=木箱底部顶点C与坡面底部点A重合时，木箱上部顶点E会不会触

5

碰到汽车货厢顶部.

【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数求出87+EK的长度，再与2比较大小即可解答本题.

【详解】解：B"=0.6米，sina=-,

BH_0-6_|来

■■AB——~-—-1√∣s,

Sinaɔ

5

.∙.A∕7=0.8米,

AF=FC=2米,

.∙.3F=］米,

作E/_L8G于点J,作EKJL/7于点K,

AEKF=AFJB=ZAHB=90)°,ZEFK=ZFR/=ZABH,BF=AB,

:.庄FKSaBJS^BH,WBJ三N∖BH,

EFFKEK

K∕=3"=0.6米,

~AB~~BH~~AH

1.6FKEK

即hπ—=----=----

10.60.8

解得，EK=L28,

.∙.β∕+EK=0.6+1.28=1.88<2,

木箱上部顶点E不会触碰到汽车货厢顶部.

19.（2023•天桥区一模）某数学小组测量古塔Z）C的高度，如图，在A处用测角仪测得古塔顶端。的仰角为34。，

沿AC方向前进15〃?到达B处，又测得古塔顶端。的仰角为45。，已知测角仪高度A£=BF=I5〃，测量点A,B与

古塔DC的底部C在同一水平线上，延长EF交C7）于点G,求古塔DC的高度（精确到,参考数据：sin34o≈0.56,

cos34o≈0.83,tan34o≈0.67).

【分析】根据题意可得：GC=AE=BF=L5m,AB=EF=15米，ZDGE=ZDCA=90°,然后设Z）G=x，"，在

RtADGF中，利用锐角三角函数的定义求出产G=X机，从而可得EG=（X+15）川，再在RtADGE中，利用锐角三角

函数的定义列出关于X的方程，进行计算可求出OG的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答.

【详解】解：由题意得:

GC=AE=BF=L5m,ΛB=EF=15米，NDGE=NDCA=90°,

设DG=xm,

在RtADGF中，Nr)FG=45。,

.∙.FG---DG-=x(m)>

tan45°

EG=EF+FG=(x+15)∕M,

在RtΔDGE中，NZ)EG=34。，

.∙.tan340=-=—^≈0.67,