2020年浙江新高考数学考点一遍过- 空间角、空间向量及其应用

考点33空间角、空间向量及其应用

鸳［考拥晨女

i.空间角

（1）了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置.

（2）了解空间两点间的距离公式

（3）会用向量方法解决两异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的计算问题.

2.综合应用

（1）了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示,

（2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.

（3）掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.

（4）掌握向量的长度公式、两向量夹角公式、空间两点间的距离公式，并会解决简单的立体几何问题.

（5）理解直线的方向向量与平面的法向量.

（6）会用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.

（7）会用向量方法证明直线和平面位置关系的有关命题，了解向量方法在研究几何问题中的作用.

知识整乡

一、空间直角坐标系及有关概念

1.空间直角坐标系

坐标原点点0

以空间一点。为原点，具有相同的单位长度，给定正方

坐标轴1轴、y轴、z轴

定义向，建立两两垂直的数轴：x轴、y轴、z轴，建立了一

个空间直角坐标系。-孙Z通过每两个坐标轴

坐标平面

的平面

在空间直角坐标系中，让右手拇指指向尤轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正

方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系，如图所示.

y

2.空间一点〃的坐标

(1)空间一点M的坐标可以用有序实数组(x,y,z)来表示，记作M(x,y,z),其中x叫做点M的横坐

标，y叫做点M■的纵坐标，z叫做点M的竖坐标.

(2)建立了空间直角坐标系后，空间中的点M与有序实数组(x,y,z)可建立一一对应的关系.

3.空间两点间的距离公式、中点公式

(1)距离公式

①设点A(X],%,Zi),为空间两点，

则A,B两点间的距离|AB\=-%)2+(%—为)？+(4—z?)2.

②设点P(x,y,z),

则点尸(尤,y,Z)与坐标原点O之间的距离为|OP\=7x2+y2+z2.

(2)中点公式

设点尸(x,y,z)为片(%,%乌),5(々，乂刍)的中点，则＜y=%；%

r_Z|+Z]

.一2

4.空间向量的有关概念

名称定义

空间向量在空间中，具有大小和方向的量

单位向量长度(或模)为1的向量

零向量长度（或模）为0的向量

相等向量方向相同且模相等的向量

二、空间向量的有关定理及运算

1.共线向量定理

对空间任意两个向量m仅厚0）,的充要条件是存在实数九使得。=助.

牢记两个推论：

（1）对空间任意一点。，点P在直线AB上的充要条件是存在实数t,使OP=（1-+或

OP^xOA+yOB（其中x+y=l）.

（2）如果/为经过已知点A且平行于已知非零向量。的直线，那么对空间任意一点。，点尸在直线/上

的充要条件是存在实数3使。尸=。4+柩，其中向量。叫做直线/的方向向量，该式称为直线方程的

向量表示式.

2.共面向量定理

如果两个向量a,方不共线，那么向量p与向量a,》共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（无，y）,使

p=xa+yb.

牢记推论：空间一点尸位于平面48c内的充要条件是存在有序实数对（无，y）,使AP=xA5+yAC；或

对空间任意一点。，有OP=OA+xA5+yAC.

3.空间向量基本定理

如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p,存在有序实数组｛x,y,z｝,使得p=;va+yB+

zc.其中，｛a,b,c｝叫做空间的一个基底，a,b,c都叫做基向量.

注意：（1）空间任意三个不共面的向量都可构成基底.

（2）基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示.

（3）0不能作为基向量.

4.空间向量的运算

（1）空间向量的加法、减法、数乘及数量积运算都可类比平面向量.

夹角

夹角

u

数址和

a•b=|a||b\cos(a•b/

①结合律：(人a)・b

=a・(人b)=人(a•b)

运算律

②交换律:a•b=b・a

③分配律:a•(brc)

a-6+a•c

（2）空间向量的坐标运算

设a=（%,电，。3），〃=（4也,&），则a±〃=（%±耳。2土“2，。3±&），

Aa=(2^p2tz2,2^3)(2GR),ab=岫、+a2b2+a3b3,

abob=Aaob、==Aa2,b3=Aa3(2eR),

aJ_)oa•)=+a2b2+a3b3=0,

——d4~+a?+6Z3,

ah+a2b2+

《a；+a；+a；册；区十收

三、利用空间向量解决立体几何问题

1.直线的方向向量和平面的法向量

（1）直线的方向向量就是指和这条直线平行（或共线）的向量，记作/,显然一条直线的方向向量可以有

无数个.

（2）若直线/J.a,则该直线/的方向向量即为该平面的法向量，平面的法向量记作a,有无数多个，任

意两个都是共线向量.

平面法向量的求法：设平面的法向量为a=（x,y,z）.在平面内找出（或求出）两个不共线的向量

aa=O

。=(。1，。2，。3),》=31/2，&),根据定义建立方程组，得到1,通过赋值，取其中一组解，得

ab=Q

到平面的法向量.

2.利用空间向量表示空间线面平行、垂直

设直线/,加的方向向量分别为机,平面火尸的法向量分别为a,/.

(1)线线平行：若/〃7“，则/m<^l=2/n(2eR)；

线面平行：若〃/a,则/，ao>a=0；

面面平行：若a〃1，则a/=a=3(2eR).

(2)线线垂直：若/上m,贝!J/_LzwO=0；

线面垂直：若/_La,则a<^>l=2a(2eR)；

面面垂直：若a_L/?,则。_1£=。•/=0.

3.利用空间向量求空间角

设直线I,m的方向向量分别为I,m,平面a,尸的法向量分别为%,叫•

(1)直线/,根所成的角为8,则0<9K—,计算方法：COS6>=^4；

2\l\\m\

(2)直线/与平面a所成的角为。，则计算方法：sine=24；

214同

(3)平面a,尸所成的二面角为。，则0W8W兀,

如图①，AB,CD是二面角a-/-p的两个面内与棱/垂直的直线，则二面角的大小0=〈A3,C。〉.

如图②③，〃],〃2分别是二面角a—l—§的两个半平面a,P的法向量，则二面角的大小6满足|cosd|=

，二面角的平面角大小是向量m与“2的夹角(或其补角).

N同

4.利用空间向量求距离

（1）两点间的距离

设点4%,%,马），3（々，为，%）为空间两点，

则A3两点间的距离IAB\=\AB\=J（七一々）2+（X—%）2+（4—Z2）2.

（2）点到平面的距离

如图所示，已知AB为平面a的一条斜线段，〃为平面a的法向量,则B到平面a的距离为|8。|="1对.

I«1

♦点考向,

考向一空间直角坐标系

对于空间几何问题，可以通过建立空间直角坐标系，把空间中的点用有序实数组（即坐标）表示出来，通过坐标

的代数运算解决空间几何问题，实现了几何问题（形）与代数问题（数）的结合.

典例引领

典例1如图，在正方体OABC-OIALBIG中，棱长为2,E是32上的点，且|班|=2国4|,则点E的坐标为

A.(2,2,1)B.12,2,||

C-"TD-9,2,

【答案】D

【解析】•••EBI.平面x0y，2(2,2,0),故设E(2,2,z).

24

又•/即=2|3I，.•.忸目=§忸4|=§,

故好事.

变式拓展

1.如图所示，在长方体ABCD—AiBiCiZh中,\AB\=\AD\=3,\AAi\=2,点M在4cl上，\MCi\=2\AiM\,

N在。iC上且为。C中点，求M、N两点间的距离.

考向二共线、共面向量定理的应用

1.判断两非零向量a,分平行，就是判断a=4)是否成立，若成立则共线，若不成立则不共线.

2.证明空间三点P、A、8共线的方法：

@PA=2PB(^eR)；

②对空间任一点。，OP=OA+tAB(zeR)；

③对空间任一点。，OP=xOA+yAB(x+_y=1).

3.证明空间四点P、M,A、2共面的方法：

②对空间任一点O,OP=OM+xMA+yMB；

③对空间任一点。，OP=xOM+yOA+zOB(x+y+z=1)；

④PM//AB(或PA//MB或PB//AM)-

典例引领

典例2如图，已知矩形ABC。所在平面外一点P,上4,平面ABCDE、尸分别是AB、PC的中点.求证:

EF,AP,AD共面.

BC

【解析】如图，以A为原点，A3为x轴，AD为y轴，AP为z轴,建立空间直角坐标系A-孙z,

/yy

设AB=2a,BC=2b,PA=2c,

则A(0,0,0),B(2a,0,0),C(2«,2b,0),D(0,2b,0),P(：0,0,2c),

E为AB的中点，/为PC的中点，

:.E(a,0,0),F(a,b,c),

则所=(0,6,c),AP=(O,O,2c),AD=(0,2b,0),

:.EF=-AP+-AD,

22

故共面.

变式拓展

2.如图，已知。、A>B、C、D、E、F、G、H为空间中的9个点，且。石=左。1，OF=kOB>

OH=kOD-AC=AD+mAB-EG=EH+mEF-k丰0,加H0.

求证：(1)a、B、C、。四点共面，E、F、G、H四点共面;

⑵AC//EG；

⑶OG=kOC-

考向三利用向量法证明平行问题

1.证明线线平行：证明两条直线的方向向量平行.

2.证明线面平行：

(1)该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；

(2)证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；

(3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示.

3.证明面面平行：两个平面的法向量平行.

典例引领

典例3已知正方体ABCD—AIBICLDI的棱长为2,E,P分别是8修，。。的中点，求证：

⑴PG〃平面AOE；

(2)平面ADE〃平面BiCiR

【解析】如图所示，建立空间直角坐标系。-孙z,则有。(0,0,0),4(2,0,0),C(0,2,0),Ci(0,2,

2),E(2,2,1),2(0,0,1),Bi(2,2,2),

所以尸Cl=(o,2,l),ZM=(2,0,0),AE=(O,2,l).

(1)设〃i=(»,yi,zi)是平面ADE的法向量，则4_LAE,

n,-DA=2x=0,f%=0,

即.得c

n^AE=2yl+二0,匕=-2y19

令zi=2,则yi=—l,

所以m=(0,—L2).

因为/G・%=—2+2=0,所以尸G，4.

又因为产Ga平面ADE,

所以尸G〃平面AOE.

(2)易得G4=(2,0,0),

设“2=(X2,>2,Z2)是平面31cl/的一个法向量，则丐，尸。1，tl2±CXBX,

%/…+Z2=。,得.XQ—0,

即《_令Z2=2,得丁2=—1,

[z=-2y.

%G4(=2X2=o,22

所以"2=(0,—L2),

因为n\=m,

所以平面AOE〃平面BiCiF.

变式拓展

3.如图，四棱锥尸—A5CD的底面A3CD为正方形，24,底面ABC。，E,尸分别是AC,的中点,

PA=AB=2.求证：EF〃平面PCD.

考向四利用向量法证明垂直问题

1.线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零.

2.线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示.

3.面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示.

典例引领

典例4如图,已知正四棱锥V-ABCZ）中,E是VC的中点，正四棱锥的侧面为正三角形.求证:平面

平面EBD.

【解析】如图，以V在底面ABC。内的射影。为坐标原点，建立空间直角坐标系。-盯z,

设YB=vc=8C=2a,在RtAVOC中V0RCI/2-=V4a2-2a2=y[2a,

55

V(0,0,V2«)4(V2a,0,0),C(-V2a,0,0),B(0,aa,0),0(0,-&a,0),E(——a,0,—a),

22

则屁=(一—a,y[2a,—a),BD=(0,-2V2a,0),7C=(-V2a,0,-V2«).

22

~DEm=区+O-a2=O,BDVC=O,

.'.DEl-VC^D-LVC,^DELVC,BDLVC.

•:DECBD=D,

VC_L平面EBD.

又VCu平面VAC,

平面VAC_L平面EBD.

典例5如图，在四棱锥P—ABCD中，PAJ_底面ABCD,ADJ_OC,ABDC,AD=DC^AP^2,

AB=1，点E为棱PC的中点.

（1）证明：BELPD；

（2）若/为棱PC上一点，满足求线段尸尸的长.

【解析】（1）底面ABC。，AD±AB，

:.以A为原点，42为x轴，为y轴，AP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

由题意3(1,0,0),P(0,0,2),C(2,2,0),E(l,l,l),D(0,2,0),BE=(0,1,1),PD=(0,2-2)，

:.BEPD=0,

:.BE±PD.

(2)3c=(1,2,0),CP=(—2,—2,2),AC=(2,2,0),

由点尸在棱PC上，设CT=4CP=(—2九一242/1),0W4W1,

BF=BC+CF=(1-22,2-22,22)，

3

BF±AC,BFAC=2(1-22)+2(2-22)=0,解得X=—,

•••|PF|=1M=；j4+4+4邛,

即线段PR的长为@

2

变式拓展

4.如图所示，已知平面AC&DE，平面AC2AAeD为等边三角形,为CD的中点.

(1)求证:A尸〃平面BCE;

(2)求证:平面BCE_L平面CDE.

5.如图，在棱长为1的正方体ABC。-中，点石是棱的中点，点产是棱。上的动点，试确

定点产的位置，使得平面ABp.

BE

考向五用向量法求空间角

1.用向量法求异面直线所成的角

（1）建立空间直角坐标系；

（2）求出两条直线的方向向量；

（3）代入公式求解，一般地，异面直线AC,BD的夹角口的余弦值为cos/?=।AC•3°I.

\AC\\BD\

2.用向量法求直线与平面所成的角

（1）分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角（或其补角）；

（2）通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平

面所成的角.

3.用向量法求二面角

求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹

角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.

典例引领

典例6如图，在五棱锥P—ABCDE中,PA，平面ABCDE,PA=AB=AE=2BC=2DE=2,ZDEA=

ZEAB=ZABC=90°.

（1）求二面角P—£>E—A的大小；

（2）求直线PC与平面PDE所成角的正弦值.

【解析】由题可知，以AB、AE、AP分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系，如图所示.则

A（0,0,0）,E（0,2,0）,Z）（l,2,0）,P（0,0,2）,C（2,l,0）.

设平面PDE的法向量为"=(x,y,z),

又丽=(1。0),屐=(0,-2,2).

n-ED=x=Q[x=0

由〈.，得<，令y=l,得〃=(0,1,1).

n-EP=-2y+2z=01y=z

(1)由于24,平面ABCDE,则平面ADE的一个法向量为布=(0,0,2),

一n-AP2

于是c°s<MP>=两网=万右下

所以<”,标>=45°,

则二面角P—。石―A的大小为45。.

⑵由于丽=(2,1,-2),

PCn2x0+lxl+(-2)xl

所以cos<PC,n>=II,显

\PC\-\n\3x72~6~

故PC与平面PDE所成角的正弦值为72

~6

典例7在四棱锥P—A5CD中，AD//BC,AB=BC=CD=~AD,G是。3的中点，△Q4D是等

2

边三角形，平面PA£)_L平面ABCD.

(1)求证：CD，平面G4C；

(2)求二面角P—AG—C的平面角的正弦值.

【解析】(1)取AD的中点为。，连接OP,OC,0B,设08交AC于“，连结GH.

•••AD//BC,AB=BC=CD=LA。，.•.四边形ABC0与四边形。BCD均为菱形，

2

OB±AC,OB//CD,：.CD±AC,

为等边三角形，。为A£)的中点，

•.•平面PAD_L平面ABC。且平面PAD1平面A6CD=AZ),尸Ou平面K4D且POJ_AD,

POL平面ABCD,平面ABC。，PO_LCD.

•：H,G分别为08,的中点，GH〃PO,G77LC。，

又,：GHAC=H,AC,GHu平面G4C,

CD,平面G4C.

UU(U

(2)取BC的中点为E,以。为坐标原点，分别以OE，OD，0P的方向为x轴、V轴、z轴的正方向,

建立如图所示的空间直角坐标系O-孙z.

设A£)=4,则P(0,0,2有)，A(0,-2,0),C(V3,1,O),D(0,2,0),G(岑，—，

AP=(0,2,2®AG=(^,|,A/3).

设平面PAG的法向量为〃=(%,y,z).

2y+2s/3z=0

n-AP=O

由＜孝》+|丁+亚=0

n-AG=O

令z=l，则”=(1,一代,1).

由(1)可知，平面AGC的一个法向量为CD=(—石,1,0),

设二面角P—AG—C的平面角为凡

则二面角P-AG-C的平面角的余弦值为cos0=--—=——浮=—二.

|n||CD|2^/55

故二面角P—AG—C的平面角的正弦值为巫.

5

变式拓展

6.如图，在斜三棱柱ABC—A5cl中，底面ABC是边长为2的正三角形，BB1=3,做=质,

NCBBI=60.

不

(1)求证：平面ABC,平面3CC4；

(2)求二面角5-AB1—C的正弦值.

7.如图所示，在四棱锥尸—ABC。中，底面ABCD,上4=2,ZABC^90°,AB^y/3,BC=1,

AD=2石，ZACD=60°,E为CD的中点.

C

(1)求证：〃平面Q4E；

(2)求直线PD与平面PBC所成角的正弦值.

考向六用向量法求空间距离

1.空间中两点间的距离的求法

两点间的距离就是以这两点为端点的向量的模.因此，要求两点间的距离除使用距离公式外，还可转化为

求向量的模.

2.求点P到平面a的距离的三个步骤：

(1)在平面a内取一点A,确定向量的坐标.

(2)确定平面a的法向量〃.

(3)代入公式求解.

1«1

典例引领

典例8如图，直三棱柱ABC-AJBJQ中4c=BC=l,44i=3,/ACB=90。,。为CG上的点，二面角A-A.B-D

的余弦值为-走.

6

(1)求证:C£>=2;

(2)求点A到平面43。的距离.

【解析】(1)以C为坐标原点，分别以CA,CB、CCi所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系C-xyz,

则A(LO,O)、5(0,1,0)、A(1,0,3).设D(0,0,a).

%=（1,1,。）是平面448的一个法向量,设〃=（无,丁/）是平面48。的法向量.

^^=(1,0,3-。),而=(0,1,-a),由^2-/i=0,而•〃=(),得x+(3-a^z=O,y-az=O,

取x=3—a,得'=_a,z=-l,即〃

I/Izn-nl|3—2〃|J3

由题设，知\cos{m,n)\=匕力=—~''==1--1=—，解得。=2或斫1,

|叫〃|应xj(3—a)2+〃+i66

所以OC=2或OC=1.

但当£>C=1时，显然二面角A—43—。为锐角，故舍去.

综上QC=2.

（2）由（1），知"=（1,2-1）为平面45。的一个法向量，

又矶=（0,0,3）,所以点A到平面A.BD的距离/—“I逅.

变式拓展

8.如图，在正四棱柱A3CD—A用GR中，已知A5=l,B5,=2.

（1）求异面直线AC与直线AR所成的角的余弦值;

(2)求点C到平面ABXD1的距离.

考向七用向量法求立体几何中的探索性问题

1.通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能推导出与条件吻合的

数据或事实，说明假设成立，即存在，并可进一步证明；若推导出与条件或实际情况相矛盾的结论，则说

明假设不成立，即不存在.

2.探索线段上是否存在点时，注意三点共线条件的应用，这样可减少坐标未知量.

典例引领

典例9如下图所示,三棱柱A8C-A1BG中平面ABC,BC，AC,BC=AC=2A4i=3,。为AC的中点.

(1)求二面角G-BD-C的余弦值；

(2)在侧棱AAi上是否存在点P,使得平面BOG?并证明你的结论.

【解析】(1)建立如下图所示的空间直角坐标系，

则G(0,0,0),8(0,3,2),C(0,3,0)»A(2,3,0)Q(1,3,0),所以窗=(0,3,2),亭=(1,3,0).

设〃=(xi,yi,zi)是平面BDG的法向量，则1n'竺=°,

(n-q£>=0

3%+24=011

所以〈0c,令X1=1,得〃=(1,一，一)是平面BDC1的一个法向量，

石+3乂=032

易知本=(0,3,0)是平面ABC的一个法向量,

H,C]C—12

所以cos<n,^c>=|„|.|C,C|一泰一—亍，

2

而二面角Ci-BD-C为锐角，故其余弦值为一.

7

(2)假设侧棱441上存在一点尸(2,y,0)(0W乃3),使得CPL平面BDCi.

因为而=（2y3,0）,

CP-QB=03（J-3）=0得y=3且产?，

所以

CP-C^D=02+3（J-3）=0

所以方程组无解.

则假设不成立，即侧棱AAi上不存在点尸，使CPL平面BDCi.

典例10如图，在四棱锥尸—A5CD中，尸4,平面ABC。，AD/ABCADLCD,且AD=CD=2后,

BC=4叵，PA=4.

(1)求证：AB1PC；

\PM\

(2)在线段尸。上是否存在一点〃，使得二面角〃—AC—£＞的大小为45。，如果存在，求出的值;

如果不存在，请说明理由.

【解析】（1）vAD=CD=2V2,BC=4V2,：.AB=AC=4,：.AB±AC,

,；24，平面48。。，，48,2,，718，平面24。,

又尸Cu平面PAC,...AB，尸C.

(2)以A为坐标原点，以过A平行于CD的直线为x轴，AD,AP所在直线分别为y轴，z轴，建立空间

直角坐标系A—xyz,

则A（0,0,0）,P（0,0,4）（272,-272,0）,D（0,2后,0）,C（2直,272,0）,

设尸河=XPD，0<2<1,Af^0,2722,4-42）,

AM=（0,2仞,4-42）,AC=（26272,0）,

m-AM=02722^+（4-42）^=0

设平面MAC的法向量利=(%,%,zj,

mAC=Q2^2%1+20%=0

则m=,T萼3

令X]=1,

、-24+2,

又平面ACD的法向量为AP=(0,0,4),

AP-m

cos<AP,m>

AP|-|zn|

解得x=2或x=2（舍）,

3

\PM\_2

\PD\-3'

变式拓展

9.如图，四棱锥S-ASCO的底面是直角梯形，AB//CD,ZBAD=ZADC=90，平面ABCD,

M是&4的中点，AD—SD=CD=2AB=2.

(1)证明：DM，平面&W；

(2)求二面角A—S3—C的大小；

(3)线段SC上是否存在一点E，使得直线S4〃平面瓦)£.若存在，确定E点的位置；若不存在,

说明理由.

10.如图所示，在三棱锥P—ABC中，PA±BC,AB=AP=1，BC=2亚,PC=a,ZABC=45°.

(1)求证：平面ABC，平面PAC；

(2)E为棱AC上一点，试确定点E的位置，使得直线PE与平面P5C所成角的正弦值为苴.

9

-♦♦••♦♦••••-•-••

、声点冲关充

1•点3是点AQ,2,3)在坐标平面yQz内的射影，贝『OBI等于

A.714B.岳

C.V10D.75

2.设空间四点。,4B,P满足加=根+九砺，其中m+n=l,贝!]

A.点P一定在直线AB上B.点P一定不在直线28上

C.点P不一定在直线A8上D.以上都不对

3.已知二面角。一/—，，其中平面a的一个法向量加=(1,0,-D,平面厂的一个法向量〃=(0,T,D,则

二面角a-l-/3的大小可能为

A.60B.120

C.60或120D.135

4.如图，在三棱锥C—Q钻中，OAA.OB,OCL平面。46,Q4=6,OB=OC=8,CE=-CB,

D,F分别为AB,BC的中点，则异面直线DF与0E所成角的余弦值为

10

屈

20

5.在棱长为2的正方体ABC。—A4G2中，E,尸分别为棱A4、8旦的中点，G为棱4月上的一点,

且AG=4(0<2<2),则点G到平面D[EF的距离为

A.26B.亚

C2⑸D.31

,35

6.如图，在正四棱柱44G2，中，底面边长为2,直线CG与平面AC，所成角的正弦值为g,

则正四棱柱的高为

A.2B.3

C.4D.5

7.已知直线/的一个方向向量d=(4,3,1),平面a的一个法向量"=(佻3,—5),且///a,则机=.

8.已知向量a=(l,O,—1),0=(—1,2,1),且切+)与2a—3方互相垂直，则左的值是.

9.若平面a的一个法向量为直线/的方向向量为(1,0/)，则/与a所成角的大小为.

10.如图所示，在直三棱柱ABC-421cl中，底面是以NA8C为直角的等腰三角形,AC=2a,88i=3a,。是4G的

中点，点E在棱AAi上，要使CEL平面&DE,则AE=.

11.如图,四棱锥P—ABCD的底面ABC。是矩形,%L平面ABC。，PA=AD=2,BD=2y/2

(1)求证：应＞，平面必C;

(2)求点。到平面PBD的距离.

12.如图，矩形ABC。所在的平面和直角梯形CDEF所在的平面成60。的二面角,。

DEAD=2,EF=3a,CF=6,NCFE=45°.

(1)求证:2尸〃平面ADE;

(2)在线段CF上求一点G,使锐二面角B-EG-D的余弦值为,.

4

如图，四棱柱力中，侧棱力底面。，

13.BCD—141ABCAB//DC,AB1AD,AD=CD=1,ArA=

ZB=2,E为棱的中点.

(1)证明：BG1CE；

(2)求二面角/一CE-Ci的余弦值;

(3)设点M在线段C】E上，且直线4M与平面4DD1&所成角的正弦值为个，求线段AM的长.

14.在棱长为。的正方体ABC。—A4GA中，E、歹分别是棱BC、CD上的点，且BE=CF.

(1)当E、p在何位置时，B.FLD.E2

(2)是否存在点E、F,使4CJ■平面GEB?

(3)当E、B在何位置时三棱锥G-CEE的体积取得最大值？并求此时二面角G-EF-C的正切

值.

15.如图，在多面体ABC。砂中，四边形A8CD是正方形，平面AB。，£>£，平面ABCD，

所=DE，点M为棱AE的中点.

(1)求证：平面〃平面EFC；

(2)若DE=2AB,求直线AE与平面BDVf所成的角的正弦值.

国通高考

1.(2018新课标全国n理科)在长方体ABC。—中，AB=BC=1,A4=G,则异面直线A。

与。与所成角的余弦值为

1R小

A.-D.----------

56

75

rD,正

52

2.(2019年高考全国I卷理数)如图，直四棱柱ABCD-AiBiCbDi的底面是菱形，AAi=4,AB=2,ZBAD=60°,

E,M,N分别是BC,BBi,4。的中点.

(1)证明：MN〃平面CiDE；

(2)求二面角A-MAi-N的正弦值.

3.（2019年高考全国n卷理数）如图，长方体ABCMiBiCiDi的底面ABC。是正方形，点E在棱上,

BELECi.

（1）证明：BE,平面EB1G；

（2）若AE=4E,求二面角耳EC-G的正弦值.

4.（2019年高考全国III卷理数）图1是由矩形Rt^ABC和菱形8fGC组成的一个平面图形，其中

AB=\,BE=BF=2,ZFBC=60°,将其沿AB,8c折起使得BE与放重合，连结DG,如图2.

（1）证明：图2中的A,C,G,。四点共面，且平面ABC_L平面BCGE；

(2)求图2中的二面角B-CG-A的大小.

5.（2018高考浙江卷）如图，已知多面体ABCAiBiCi,4A,BiB,CC均垂直于平面ABC,ZABC=120°,

AiA=4,CiC=l,AB=BC=BiB=2.

(I)证明：A3_L平面421G；

(ID求直线AG与平面所成的角的正弦值.

6.(2017高考浙江卷)如图，已知四棱锥P-ABCZ),△%£(是以A。为斜边的等腰直角三角形，BC//AD,

CDLAD,PC=AD=2DC=2CB,E为尸。的中点.

P

(I)证明：CE//平面尸AB；

(II)求直线CE与平面P8C所成角的正弦值.

7.(2018新课标全国I理科)如图，四边形A3CD为正方形，E,尸分别为AD,5c的中点，以。/为折

痕把折起，使点C到达点P的位置，且户.

(1)证明：平面PER，平面ABED；

(2)求OP与平面ABED所成角的正弦值.

8.(2018新课标全国n理科)如图，在三棱锥尸—ABC中，AB=BC=2短，PA=PB=PC=AC=4,O

为AC的中点.

(1)证明：PO,平面ABC；

(2)若点拉在棱3c上，且二面角/-PA-C为30。，求尸C与平面B4M所成角的正弦值.

9.(2018新课标全国III理科)如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧C。所在平面垂直，M

是8上异于C,。的点.

(1)证明：平面AMD_L平面曲纥；

(2)当三棱锥加-ABC体积最大时，求面与面MCD所成二面角的正弦值.

10.(2019年高考北京卷理数)如图，在四棱锥P-ABCD中，PAJ_平面ABCD,ADLCD,AD//BC,

PF1

PA=AD=CD=2,BC=3.E为尸。的中点，点/在尸C上，且——=-.

PC3

(1)求证：CD_L平面PA。；

(2)求二面角F-AE-P的余弦值；

2

(3)设点G在PB上，且一=-.判断直线AG是否在平面A跖内，说明理由.

PB3

11.（2019年高考天津卷理数）如图，AEL平面ABCD,CF//AE,AD//BC,

AD±AB,AB=AD=1,AE=BC=2.

B

(1)求证：5尸〃平面ADE；

(2)求直线CE与平面所成角的正弦值；

(3)若二面角E—3D—尸的余弦值为工，求线段CF的长.

3

12.(2018江苏卷)如图，在正三棱柱ABC-4B1G中，AB=A4i=2,点P,。分别为4囱，BC的中点.

(1)求异面直线BP与4cl所成角的余弦值；

(2)求直线CG与平面A。。所成角的正弦值.

13.(2018北京理科)如图，在三棱柱ABC-ABC中，CQ,平面ABC,D,E,F,G分别为例，AC,

AG，网的中点，AB=BC=4,AC=M=2.

Cl

(1)求证：AC_L平面BEE；

(2)求二面角2-Ci的余弦值；

(3)证明：直线FG与平面BCD相交.

14.（2018天津理科）如图，且AO=2BC,AD_LCD,EG〃AD且EG=AD,CD〃FG且CD=2FG,

Z）G_L平面ABC。，DA=DC=DG=2.

(1)若M为CP的中点，N为EG的中点，求证：肱V〃平面COE；

(2)求二面角E—3C—歹的正弦值;

(3)若点尸在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60。，求线段。P的长.

15.(2017新课标全国I理科)如图，在四棱锥P-ABCO中，AB//CD,且NB4P=NCDP=90.

(1)证明：平面B48_L平面BAD；

(2)若研=尸£>=42=。。，ZAPD=90，求二面角A-P2-C的余弦值.

参考答案.

变式拓展

1.【解析】如图所示，分别以A3、AD,A4i所在的直线为无轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.

由题意可知C(3,3,0),1)(0,3,0),

・・・|DDi|=|CC|=|A4i|=2,

.\Ci(3,3,2),01(0,3,2).

•「N为CDi的中点，

3

・・・N(5，3,1).

是4cl的三分之一分点且靠近4点，

1,2).

由两点间距离公式，得=—1]+(3—1)2+(1—2)2=浮.

【名师点睛】本题考查空间直角坐标系的建立、点坐标的求法以及距离公式，建系时注意要利用两两垂

直的三条线建系，由线段比例求坐标时，注意由坐标特征求，不要直接乘比例系数求坐标.建立空间直角

坐标系，分别由比例关系求出点M、点N的坐标，由两点间的距离公式求出线段长度，即可得到结果.

2.【解析】(1)1/AC=AD+mA