2022-2023学年河北省沧州市重点高中联考高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年河北省沧州市重点高中联考高一（下）期中数学

试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.若复数z=3-2i,则复数Z的虚部为（）

A.-2iB.2iC.-2D.2

2.若4（l,m）,B（τn+1,3）,C（I-Tn,7）三点共线，则m=（）

A.-5B.5C.0或-5D.0或5

3.已知平面Q,S和直线α,b,a∏β=a,b<∑β,则''五J,『'是''aJ"优'的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.某实验室的笼子中有40只小白鼠，将其进行编号，分别为00,01,02,....39,现从中

抽取一个容量为10的样本进行试验，选取方法是从下面的随机数表的第1行第15列和第16列

数字开始由左向右依次选取2个数字，直到取足样本，则抽取样本的第6个号码为（）

9084607980243659873882075389359635237918059890

0735464062988054972056951574800832164670508067

A.05B.40C.35D.23

5.已知（CoSX+isinx'）n—cosnx+isinnx（其中i为虚数单位），那么复数（COS晟+isin^）2023

在复平面内所对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

6.已知三棱锥P-ABC,P4_L底面4BC,PA=AC=2,AB=1,乙4CB=%则三棱锥P-

D

ABC外接球的体积为（）

7.在△4BC中，点。是边BC的中点，且4D=q,若点P为平面4BC内一点，则西.（丽+

斤）的最小值是（）

A--|B.—?C.―?D--I

8.在小ABCtP,角4,B,C的对边分别为α,b,c,已知（SinA+SinB）（α—b）=sinC（b+c）,

角4的内角平分线4。的长为4,则儿的最小值为（）

A.16B.32C.64D.128

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.关于复数，下列说法错误的是()

A.若IZl-1,则Z=±1或±i

B.复数6+5i与-3+4i分别对应向量而与耐，则向量荏对应的复数为9+i

C.若Z是复数，则z2+l>0

D.若复数Z满足1≤∣z∣<y∕-2,则复数Z对应的点所构成的图形面积为兀

10.已知在AABC中，其内角4,B,C的对边分别为α,b,c,下列命题正确的有()

A.若AZBC为锐角三角形，则SinB>cos4

B.若4=30。，b=6,a=4,则△4BC有两解

C.若4=30o,α=5,则AABC外接圆半径为10

D.若α=-3,b=2,A=2B,则SinB=ɪ

4

11.在三棱锥力一BCD中，AB1CD,ADLBC,且BD=2AC,点E,F分别为4。，BC的中

点，点4在平面BCO内的射影为点。，则下列选项中正确的是()

A.平面4。B1平面ACD

B.AC1BD

C.异面直线4C与EF所成角的余弦值为?

D.三棱锥F-BDE的体积是三棱锥E-ACF的体积的2倍

12.如图所示，设Ox,Oy是平面内相交成外。于今角的两条数轴，

e1,直分别是与X,y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系XOy

为9斜坐标系，若丽=xe1+ye2,则把有序数对(x,y)叫做向量而

的斜坐标，记为丽=(x,y).在。=押斜坐标系中，a=(1,2),b=

(2,-1),则下列结论中，正确的是()

A.a—b=(-1,3)B.∣α∣=V-7

C.albD∙B在方上的投影向量为《,一》

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知一个圆锥的底面面积为36兀，体积为96兀，则该圆锥的表面积为.

14.已知向量五=(2,3),3=(—3,—2)，写出一个与五一至垂直的非零向量H=

15.在△4BC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,A=60°,且△4BC外接圆半径为一百，

若b+c=2/3«则4ABC的面积为.

16.已知直四棱柱力BCD-4BlC也的所有棱长均为4,∆BAD=≡E为BC的中点，当点尸在

四边形DCGDl内部及其边界运动时，有E/7/平面&BD,则线段EF的最大值为.

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题10.0分）

已知复数Z=m+2i是方程/一6χ+13=0的根.（i是虚数单位，m∈/?）

⑴求∣Z∣;

3

（2）设复数Zl=UG是Z的共扼复数），且复数ZI所对应的点在第二象限，求实数a的取值范

Z

围.

18.（本小题12.0分）

如图，在AOAB中，点C是4B的中点，点。在线段。B上，且OD=2DB,设市=五，OB=b.

（I）若I苍I=2,∣I∣=3,且Z与方的夹角为了求（2万+3）.@-石）;

（2）若向量方?与元+上万?共线，求实数k的值.

19.（本小题12.0分）

如图，为了测量两山顶M,N之间的距离，飞机沿水平方向在48两点进行测量，4B,M,N

在同一铅垂平面内.飞机从点4到点B的路程为α,途中在点4观测到M,N处的俯角分别为ɑ,0,

在点B观测到M,N处的俯角分别为y,δ.

（1）求4N之间的距离（用字母表示）；

（2）若a=10，3,a=75。，β=30o,y=45。，5=60。，求M,N之间的距离.

20.(本小题12.0分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，△4BC为等边三角形，且边长为2,BC垂直于AB,BC=PD=1,

E为PA的中点.

(1)证明：DE〃平面PBC.

(2)若PDI底面4BCD,且sin"BC=?,求点4到平面PBC的距离.

21.(本小题12.0分)

在AABC中，内角4,B,C所对的边分别为α,b,c,且满足b(l+2cos4)=c.

(1)证明：A=2B.

(2)求泮⅛的取值范围.

22.(本小题12.0分)

如图，在直角梯形ABe。中，AB//DC,/4BC=90。，AB=2DC=2BC,E为ZB的中点，沿

DE将AAOE折起，使得点4到点P的位置，月.PElEB,M为PB的中点，N是BC上的动点(与

点B、C不重合).

(1)证明：平面EMNj_平面PBC；

(2)是否存在点N,使得二面角B-EN-M的正切值为厅？若存在，确定N点的位置；若不

存在，请说明理由.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：由复数的概念可知，复数Z=3-2i的虚部为-2.

故选：C.

由复数的概念判断即可.

本题主要考查复数虚部的定义，属于基础题.

2.【答案】D

【解析】解：因为4B=(τn,3—m),8C=(―2m,4),

若4(l,τn),B(m+1,3),C(I-m,7)三点共线，则荏〃配,

所以4τn=—2τn(3—m),

解得m=O或5.

故选：D.

由题意可得而〃能，再利用向量共线求解即可.

本题考查向量共线相关知识，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】解：如图1,满足五Ia但α,夕不垂直，充分性不成立,

图I

如图2,满足al6，但不满足a1石，必要性不成立,

举出反例，得到充分性和必要性均不成立.

本题考查充分必要条件的定义，属于基础题.

4.【答案】A

【解析】解：重复的号码只能算作一个，抽取样本的号码是38,07,35,23,18,05,20,15,

08,32,

所以抽取样本的第6个号码为05.

故选：A.

根据随机数表抽样的定义和抽取方法进行求解.

本题主要考查简单随机抽样，考查转化能力，属于基础题.

5.【答案】B

【解析】解：由(COSX+isinx)n=cosnx+isinnx,

2023

可得(COS£+isinξ)=cos^2∣2≡+isin型!即

=cos(404π+y∙)+isin(404π+y∙)=cosy-+isi∏y∙,

因为CoS豆<0,sin—>0,

所以复数（CoSKisirφ2°23在复平面内所对应的点位于第二象限.

故选:B.

根据题意，求得（CoS"ishφ2°23=COS朗+isin多，结合复数的几何意义，即可求解.

本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题.

6.【答案】A

【解析】解：因为

AC=2,AB=1,/-ACB=O

ac2bc2ab24+gg21

由余弦定理可得：cos^=+-=-=f2,

62ACBC4BC2

WJfiC2-2y∏>BC+3=(BC-O=0.

所以BC=√3∙

所以脉+8。2=AC2,

则AABC为直角三角形，三棱锥补形为长方体，如下图，

此三棱锥的外接球直径即为长方体的体对角线为2R=J22+l2+（C）2=2√^2>

故三棱锥P-ABC外接球的体积为V=^兀（。）3=空.

故选：A.

由题意将三棱锥补形为长方体，此三棱锥的外接球直径即为长方体的体对角线2/2,求解即可.

本题考查三棱锥外接球的体积，考查运算求解能力，属于基础题.

7.【答案】A

【解析】解：因为D为BC的中点，

所以而+正=2万，

所以港•（而+正）=2PA-PD>

不妨以4。所在直线为X轴，4D的垂直平分线为y轴建立平面直角坐

标系，

因为AD=y∕^~3>

则。(一号,0),/l(ɪ,θ)-

设P(x,y),

则超∙PD=(ɪ-x,-y)∙(-ɪ-x,-y)=x2-∣+y2≥-∣>

所以两.(而+P?)=2PA^PD≥-|,

即方.(而+定)的最小值为一|.

故选：A.

运用向量加法法则将问题转化为求2万•丽的最小值，建系求解即可.

本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量数量积的坐标运算，属基础题.

8.【答案】C

【解析】解：因为(Sin4+sbιB)(α—b)=SinC(b+c),

由正弦定理可得:(Q+b)(α-Z))=c(b+c),

即小=⅛2+C2+be,所以川+c2—α2=—be,

由余弦定理有：COS4=Q±Q=-L

2bc2

又因为4∈(O,τr),所以A=手

由SMBC=SMBO+SkACD'得be=b+C，

所以be=4(b+c),

则be=4(b+c)≥4-2√^3C,即be≥64,

当且仅当b=C=8时等号成立，

所以be的最小值为64.

故选：C.

先利用正弦定理化角为边，结合余弦定理可求4,利用面积公式可得bc=4(b+c),结合基本不等

式可求答案.

本题考查利用正余弦定理和三角形的面积公式解三角形，属于中档题.

9.【答案】ABC

【解析】解：对于4取z=g+?i，则IZl=1,故A错误；

对于B,AB=OB-0i4=-3+4i-(6+5i)=-9-6B错误;

对于C,取z=i,但/=-1,z2+l=0知C错误；

对于。，设复数z=久+yi(x,y6R),则由1≤∣z∣<√^Σ可知1≤产+y2<2,

故复数Z对应的点所构成的图形面积为兀×2-π×l=π,。正确.

故选：ABC.

对于4,结合特殊值法，即可求解；对于B,结合向量的运算法则，即可求解；对于C,结合特殊

值法，即可求解；对于D,结合复数的几何意义，即可求解.

本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题.

10.【答案】AB

【解析】解：对于4,因为△力BC为锐角三角形，A+B>90°,

所以90°>B>90o->4>0°,

由正弦函数单调性得SinB>sin(90o-A)=cosA,故A正确;

对于B,因为b=6,AB边上的高为3,若3<α=4<6,则△4BC有两解，故B正确;

对于C,由正弦定理焉=2R,可知2R=10,所以AABC外接圆半径为5,故C不正确;

32

对于由正弦定理高----------------------,

2sinBcosBSinB

得CoSB=所以Si几B=三ɪ,故。不正确.

44

故选：AB.

由A+B>90。结合正弦函数单调性得SinB>sin(90o-A)=cos4可判断4；由AB边上的高为3,

若3<α=4<6,可判断B；由正弦定理可判断C：由正弦定理结合二倍角的正弦公式可判断D.

本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题.

11.【答案】ABC

【解析】解：对工选项，因为点4在平面BCz)内的射影为点。，连接

BO,CO,DO,则40_LC。，

JLAB1CD,S.ABΓ∖AO=A,AB,4。U平面4。8,

所以CD_L平面AOB,又CDU平面ACC,

所以平面40B_L平面4CD,所以4选项正确：

对B选项，因为CD1平面40B,且B。U平面力。8,所以Co1BO,

同理可得DolBC,即。为ABC。的垂心，所以BOJ.C。,

因为BDIA。，力OnCo=。，又A。，C。U平面力OC,

所以BD1平面力OC,XACU平面40C,

所以ACIBD,所以B选项正确；

对C选项，取ZB的中点G,连接EG,FG,则EG〃BD,FG//AC,

所以/GFE或其补角是异面直线AC与E9所成的角，

由B选项分析知ACIBC,又EG∕∕BD,FG//AC,且BD=2AC,

所以GE1GF,且GE=2GF,

所以FE=、GF?+GE2=√~5GF,所以CoSZ_GFE==W所以C正确；

EF√SGF5

对。选项，因为E,F分别是AD,BC的中点，

所以VF-BOE=2Ve-BDE~W^C-ABD~W^A-BCD,

所以HE-ACF=2^D-ACF~^D-ABC~W匕-BCZr

所以两三棱锥体积相等，所以。错误.

故选：ABC.

根据4。1CD,AB1CD,证得CD_L平面AOB,进而证得平面AoB_L平面ACD,可判定A正确；

由BDJLC0,BDJLAO,证得BDl平面40C,可判定8正确；取AB的中点G,得到NGFE或其补

角是异面直线AC与EF所成的角，在AGEF中，解三角形可判定C正确；由VF-BDE=*匕-BCD和

^E-ACF=W匕-BCD，可判定力错误•

本题考查面面垂直的判断，线线垂直的判断，异面直线所成角的求解，三棱锥的体积问题，化归

转化思想，属中档题.

12.【答案】AB

【解析】解：由题意，可得五=瓦(+2石，石=2瓦一要,

对于选项A,向量五一方=&+2备一(2&—之)=(1-2)乙+(2+1)e2>

所以五-B=(-1,3)，

所以选项A正确：

对于选项8,因为Z=&+2a，

ς

可得I五I=∕~3=√(e1+2e2y=J针+4或+4乙•&=J5+4COSW=Q

所以选项8正确;

对于选项C,因为五∙K=(e1+2e2)∙(2e1-e2)=2固+(4-I)百年—2国=3cos^=∣≠0,

所以选项C不正确；

对于选项。，因为国=「,a-b=l，

则亩钻上的投影向量为胃卷=得(1,2)=(⅞,∣),

所以选项。不正确.

故选：AB.

根据题意，结合向量的坐标表示与运算，逐项判定即可求解.

本题考查了平面向量的模的运算，重点考查了平面向量数量积的运算，属中档题.

13.【答案】96π

【解析】解：根据题意，设该圆锥的底面圆半径为r,高为无，

(πr2=36πr—

由底面积为36兀，体积为96兀，可得,g，解得匕r一：，

X36τr×vh=96πS=8

所以圆锥母线长为√36+64=10,所以该圆锥表面积为冗×6×10+τr×62=96τr.

故答案为：96π.

根据圆锥的体积可求出圆锥的高，再由圆锥侧面展开为扇形求出表面积.

本题考查旋转体的表面积计算，注意圆锥的表面积公式，属于基础题.

14.【答案】(1,一1).(答案不唯一)

【解析】解：由题意可知Z=(5,5).

设下=(x,y),则0-K)∙c=5x+5y=0.

取X=1>贝IJy=-1,

所以与E-石垂直的非零向量可以为口=(1,一1).(答案不唯一)

故答案为：答案不唯一)

根据平面向量线性运算的坐标表示，得为-E=(5,5)，根据向量垂直列式，从而得关于向量口的关

系式5x+5y=0,取符合关系式的值即可.

本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题.

15.【答案】华

4

【解析】解：∙∙∙A=60。，且AABC外接圆半径R为

.∙.由正弦定理急=2R,可得α=2RsinA=2×√^3×sin60o=3.

22

・：b+c=2√-3,由余弦定理M=b+c-2bccosAf

可得9=h2+C2-be=(b+c)2—3bc=12—3bc,解得be=1,

∙∙∙SAA8C=TbCSinA=^xlx?=?.

故答案为：华.

4

由正弦定理求出α,再由余弦定理结合面积公式即可得出答案.

本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，属于基础题.

16.【答案】4

【解析】解：取C。的中点ODi的中点N,连接ME,MN,NE,D1C,

•••M,E分别为CD,BC的中点，.∙.ME〃BD.

∙.∙ME<£平面4ιBD,BoU平面4ιBD,.∙.ME//平面TliBO.

同理，M,N分别为DC,DDl的中点，.∙.MN〃5C,

又D∖C∕∕A∖B,：∙MN∕∕A1B.MNU平面&BD,A1BU平面

.∙.MN〃平面&BD.

又MECMN=M,MNU平面MNE,MEU平面MNE,

.∙.平面MNE〃平面&B。.

又EF〃平面AlBD,二EFu平面MNE,

又点尸在四边形DCCD内部及边界运动，

点F在平面MNE与平面CCCD的交线上，即FeMN.

在AMNE中，ME=TBD=2,MN=TDlC=2√^7,连接DE,

在RtΔNOE中，NE=√ND2+DE2=22+(2√^3)z=4,

.∙.NE2>MN2+ME2,：.NNME为钝角,

••・当点F运动到点N时，EF的最大值为4.

故答案为：4.

取CD的中点M,DoIl的中点N,连接ME,MN,NE,D1C,由面面平行的判定定定理可证得平面

MNE〃平面结合题意知，点尸在平面MNE与平面Z)CC。的交线上，即FeMN,即可求出线

段EF的最大值.

本题主要考查线面平行的性质定理，两点间距离的求法，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属

于中档题.

17.【答案】解：(1)由题知(m+2i)2—6(m+2i)+13=0,

.∙.(4m-12)i+m2—6m+9=0,即0，解得m=3,

22

.∙∙z=3+2i,∖z∖=√3+2=√^3:

/c、α+i(α+i)(3+2i)(3a-2)+(2a+3)i

⑵%=巨=(3-20(3÷20=----------i3--------，

•••复数Zl所对应的点在第二象限，

(3a-2<O3,,2

λIɔ,ɔ.角牛侍一ɔ<ɑ<ɔ,

12a+3>O23

故实数a的取值范围为(-1,∣)∙

【解析】(1)将复数根代入方程中，根据复数相等即可求解，

(2)根据i的周期性以及复数的除法运算法则化简得Zi=Qa-2)"2a+3)i,结合复数的几何意义即可

列不等式求解.

本题主要考查复数的四则运算，属于中档题.

18.【答案】解：（1）依题意，a∙h=∣a∣∙∣K∣∙cos≡=3θ,

则（2方+3）•0—B）=2整一五•方一片=2X22-3θ-9=-1-30-

（2）因为C是AB的中点，

^OC=^OA+lθB=la+^b,

又OD=2DB,

则万？=OA-OD=a--b,

依题意，存在实数2,使得沅f+k万？=2函,

即©+A)五+G—Wk)B=a方,

J2

⅛→h

--3-

r1f5

kλΛ

l-+--l=-

2

T得

所以

角<4

l12l3

l-f-Olf-

一-cc=

k23∖4

所以实数%的值为

【解析】（1）由数量积的定义求出行不，代入即可求出（24+3）∙m-E）的值;

（2）先分别求出向量成与反+/C万?，再结合共线定理解方程即可得出答案.

本题考查平面向量的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题.

19•【答案】解：⑴在△岫V中,由正弦定理得儡町就F=缶,

asinδ

所以川V

sin(δ-βY

⑵在△%BM中,由正弦定理得』=而编,即画品二等,

00o

因此"M=s^a+γy而α=10θ>a=75,γ=45,β=30,δ=60°,

则=由⑴得AN=者==3。,

在44MN中，∆MAN=a-β=45°,由余弦定理得MN=√AM2+AN2-2AM-AN-cos∆MAN

=J(10√^2)2+302-2×IGynx30Xy=10√3-

所以MN之间的距离为10小亏.

【解析】（1）根据给定条件，在AABN中利用正弦定理求解作答.

（2）在△4BM中由正弦定理求出4M,结合（1）的结论，再在AAMN中利用余弦定理求解作答.

本题考查解三角形，正弦定理与余弦定理的应用，化归转化思想，属中档题.

20.【答案】解：（I）证明：如图所示，取AB的中点F,连接EF,DF,

♦.•△28D为等边三角形，且F为4B的中点，.∙∙DF1AB,

X∙.∙BCLAB,：.DF//BC,

又•；DFC平面PBC,BCU平面PBC,二DF〃平面PBC,

又∙∙∙E,F分别为PA,AB的中点，；.EF〃PB,

又∙∙∙EFU平面PBC,PBU平面PBC,：.EF〃平面PBC.

又∙.∙EF∏DF=F,且EF,DFU平面DEF,

平面DEF〃平面PBC,

∙.∙DEU平面。EF,.∙.DE〃平面PBC.

(2)在APBC中，PB=7PD2+BD2=CBC=1,sm∆PBC=ɪ.

∙∙∙SAPBC=WXPBXBCXsinZ.PBC=ɪ-

由题意得SAABC=^×2×1=1,

设点4到平面PBC的距离为d,

由%-4BC=^A-PBCf

得§×SAPBCXd=§XSXABCXPD,

1√~2,1d

Λ5×-×d=5×1×1,

：•d=ʌ/-2-

【解析】(1)取AB的中点F,连接EF,DF,由面面平行的判定定理可证得平面DEF〃平面P8C,

再由面面平行的性质可证明；

(2)由4TBC=VA-PBC,即可求出点A到平面PBC的距禺.

本题考查线面平行的证明，等体积法求解点面距，化归转化思想，属中档题.

21.【答案】解：(1)证明：由正弦定理得-^=告，

SinBSinC

・•・SinB(1+2cosA)=sinC=Sin(A+B),

・•・sinB=SinGI-B),

「OVA,BVTr,・•・0<BVA<7T,B=4-B或B+A-B=τr(舍去)，・•・A=2B.

(2)由(I)得4=28,c=b(l+2cos4),

b+3c4+6COSi412cos1B-22

Λ-------=-----------=-------------=1λn2cosBn------，

bcosBCosBCoSBCosB

•：A=2B,OVA+BV7T,，O<B<果,•.；VcosB<1,

3Z

函数〃X)=I2x-1在©,1)上单调递增，∕φ=2,/(1)=10.

.∙.2<12cosB-ɪ<10,ʌ普考的取值范围为(2,10).

【解析】(1)利用正弦定理化边为角可得SinB(I+2cosA)=sinC=Sin(A+B),化简即可证明；

(2)消元，将要求取值范围的代数式转化为12cosB