辽宁省大连市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省大连市2023-2024学年高二上学期期末数学试题注意事项：1．请在答题纸上作答，在试卷上作答无效；2．本试卷分第I卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，共150分，考试时间120分钟.第I卷（选择题）一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.己知直线l的倾斜角为，且过点，则它在y轴上的截距为（）A.2 B. C.4 D.〖答案〗A〖解析〗由题意可知直线的斜率，所以直线方程为，即，所以它在y轴上的截距为，故选：A.2.的展开式中，二项式系数最大的是（）A.第3项 B.第4项 C.第5项 D.第6项〖答案〗C〖解析〗由二项式，可得其展开式共有9项，根据二项式系数的性质，可得中间项第5项的二项式系数最大.故选：C.3.从抛物线上一点P作抛物线准线的垂线，垂足为M，设抛物线的焦点为F，若是正三角形，则（）A. B.1 C. D.2〖答案〗D〖解析〗设，，，因为是正三角形，所以，因为，，所以，即，又因为，解得或（舍），所以.故选：D.4.在空间中，“经过点，法向量为的平面的方程（即平面上任意一点的坐标满足的关系式）为：”．用此方法求得平面和平面的方程，化简后的结果为和，则这两平面所成角的余弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意，平面和平面的法向量分别是，，设平面和平面的夹角为，故选：B.5.用1，2，3，4，5，6写出没有重复数字的六位数中，满足相邻的数字奇偶性不同的数有（）个A.18 B.36 C.72 D.86〖答案〗C〖解析〗由题意，可先对计数进行全排列，共有种排法；再对构成的4个空隙中，连续前三个空隙或后相邻的三个空隙，放入偶数，共有种放法，根据分步计数原理，可得共有种不同的排法.故选：C.6.三棱柱中，所有棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如图所示，设，棱长为，则，因为，可得，又由，，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：B.7.已知双曲线的左焦点为F，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，并与双曲线C交于点B，且有，则双曲线C的离心率为（）A. B.2 C. D.〖答案〗A〖解析〗不妨设双曲线的一条渐近线为,因为左焦点,所以直线的方程为,与两式联立可得,设，因为,即，所以,将点坐标代入双曲线方程得：,上式整理得,即离心率.故选：A.8.若椭圆和的方程分别为和（且）则称和为相似椭圆．己知椭圆，过上任意一点P作直线交于M，N两点，且，则的面积最大时，的值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，，联立，可得，所以，所以的面积为，由，可得为的中点，所以，因为点在椭圆上，所以，所以，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立，消去得，，，设，，则，，，所以点坐标为，因为点在椭圆上，所以，因为原点到直线的距离为，，所以的面积为，综上，，又，又，所以当时，的面积最大.故选：B.二、多项选择题（本大题共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9.已知双曲线C的方程为，则下列说法正确的是（）A.双曲线C的实轴长为6B.双曲线C的渐近线方程为C.双曲线C的焦点到渐近线的距离为4D.双曲线C上的点到焦点距离的最小值为8〖答案〗AC〖解析〗由双曲线，可得，则，对于A中，双曲线的实轴长为，所以A正确；对于B中，双曲线的渐近线方程为，所以B不正确；对于C中，设双曲线的右焦点，不妨设一条渐近线方程为，即，可得焦点到渐近线的距离为，所以C正确；对于D中，根据双曲线的性质，可得双曲线上的点到焦点的最短距离为，所以D错误.故选：AC.10.已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上两点，则下列结论正确的是（）A.点F的坐标为B.若，则以为直径的圆与直线是相切C.若直线过定点，则以为直径的圆过坐标原点OD.若，则线段的中点到x轴的距离的最小值为〖答案〗BCD〖解析〗对于A中，由抛物线，可得化为，所以抛物线的焦点坐标为，所以A错误；对于B中，由抛物线，可得其准线的方程为，因为，可得三点共线，如图所示，设的中点为，分别过点作，由抛物线的定义，可得在直角梯形中，可得，所以，以为直径的圆与直线相切，所以B正确.对于C中，如图所示，设过直线方程为，且,联立方程组，可得，则，且，又由，即，所以，所以为直径的圆过坐标原点，所以C正确；对于D中，当过抛物线的焦点时，设的中点为，可得，因为，由抛物线的定义，可得，解得，所以，即的中点到轴的距离为；当直线不过抛物线的焦点时，设的中点为，可得，如图所示，，又由，当且仅当过焦点时等号成立（因为通径为，故可过焦点）综上可得，线段的中点到轴的距离，即线段的中点到轴的距离的最小值为，所以D正确.故选：BCD.11.已知正方体棱长为1，以A为坐标原点，的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系，下列结论正确的是（）A.点B到平面的距离为B.在上的投影向量是C.点B关于平面的对称点坐标为D.点P在内部，，则点P的轨迹长为〖答案〗BC〖解析〗如图，建立空间直角坐标系，因为，则，，，，，，，，对于A，，，，设平面的法向量为，，得即，令，则，，则点B到平面距离为，故A错误；对于B，在上的投影向量是：，故B正确；对于C，由B知，平面的法向量为，点B到平面距离为，设点关于平面的对称点坐标为，则，且点到平面距离为，设，，所以，点到平面距离为，则，解得：或（舍去），所以，故C正确；对于D，过点作平面，因为平面，所以，则即为点B到平面距离为，即，又因为，所以，所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，所以点P的轨迹长为,又因为到直线的距离为，，点的轨迹不是一个整圆，故D错误.故选：BC.12.已知，则下列结论正确的是（）A.若，则B.是整数C.，（是不大于x的最大整数）D.，则〖答案〗ACD〖解析〗对于选项A:由，当时，即，所以,，故，故A正确；对于选项B:由题意可得，不妨令，所以，此时不是整数，故B错误；对于选项C:,即，所以，，易知，正整数，为正整数，，所以，故C正确；对于选项D:当为正偶数时，，，，所以，即.当为正奇数时，，，，，所以，即.综上可得：若，则，故D正确.故选：ACD.第II卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.己知圆与圆外切，则实数___________．〖答案〗〖解析〗由题意得圆的圆心为，由于圆与圆外切，故，解得，故〖答案〗为：14.如图所示，用一束与平面成角的平行光线照射球O，在平面上形成的投影为椭圆C及其内部，则椭圆C的离心率为___________．〖答案〗〖解析〗设球O半径为r，由题意知：，，椭圆的长半轴长，椭圆短半轴长为球的半径，即，所以，椭圆的离心率为，故〖答案〗为：.15.将甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到A、B、C三项不同的公益活动中，每人只参加一项活动，每项活动都需要有人参加，其中甲必须参加A活动，则不同的分配方法有___________种．（用数字作答）〖答案〗〖解析〗由题意，可分为三种情况：当甲单独参加A项活动，则有种安排方法；当甲和其中一人参加A项活动，则有种安排方法；当甲和其中两人参加A项活动，则有种安排方法，所以不同的分配方法有种不同的安排方法.故〖答案〗为：.16.已知三棱锥顶点均在一个半径为5球面上，，P到底面ABC的距离为5，则的最小值为___________．〖答案〗〖解析〗因为，所以球心在平面的投影为的中点，连接，则，因为外接球半径，故，故，延长至点，使，则，由勾股定理得，则点在以为圆心，为半径的圆上，设点在上的投影为，则在以为圆心，为半径的圆上，则，故，以为坐标原点，所在直线为轴，垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，故，则，而当三点共线，且在线段上时，最小，最小值为，故的最小值为，故的最小值为.故〖答案〗为：四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知圆C的圆心坐标为，与直线交于A，B两点，且．（1）求圆C的标准方程；（2）求过点的圆C的切线方程．解：（1）圆心C到直线的距离，圆C的半径，圆C的方程为．（2）点满足，所以点P在圆外．当过点P的切线斜率存在时，设过点P的切线方程为，即，由圆心到直线的距离等于圆的半径可得，解得，所以切线方程为；当过点P的直线斜率不存在时，方程为，易知直线与圆相切．综上所述，过点P的切线方程为和．18.在平面直角坐标系中，动点M到点的距离比点M到直线的距离大．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）直线l与轨迹C交于A，B两点，若线段AB的中垂线为，求线段AB的长．解：（1）设动点根据题意有，当时，，不符合题意，当时，化简得．所以动点M的轨迹C的方程为．（2）设，AB中点，由AB与垂直l可知，直线AB的斜率，在抛物线上可知：，所以有即，即，即，所以．所以直线AB的方程为，即．联立，即，易知，．19.三棱台中，，平面平面ABC，，与交于D．（1）证明：平面；（2）求异面直线与DE的距离．解：（1）三棱台中，，则，有，得，所以，又，所以在平面内，，有，平面平面，所以平面．（2）已知平面平面ABC，平面平面，，平面，所以平面，由平面，得，又平面ABC，平面ABC，所以平面ABC，由平面ABC，得.以B为坐标原点的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图空间直角坐标系．则有，，因为，所以，设向量，且满足：，则有，令，在的投影数量为，异面直线与DE的距离.20.在平面直角坐标系中,已知椭圆的焦距为4,且过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知点,若存在过点的直线l与椭圆交于A,B两点,且以AB为直径的圆过点．（i）证明：直线l过定点；（ii）求直线l的斜率的取值范围．解：（1）由题意可得,所以,将点代入椭圆方程得解得椭圆的标准方程为．（2）（i）由题可知,直线l的斜率存在,设,与椭圆联立得,由韦达定理得.由题意知,以AB为直径的圆过点Q,,即,整理得,所以直线过定点.（ii）,当且仅当时等号成立,即直线l的斜率范围．21.在平面四边形ABCD中，，平面ABCD外动点P满足：，点P在平面ABCD内的射影在直线AB上，平面ADP．（1）证明：平面ABP；（2）求AP与平面PCD所成角的正弦值的最大值．解：（1）平面ADP，平面ABCD，平面平面，所以，因为，所以，过点P作于点Q，因为点P在平面ABCD内的射影在直线AB上，所以平面ABCD，因为平面ABCD，所以，又平面ABP，所以平面ABP．（2）方法一：过点A作平面ABCD，以A为坐标原点，的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系，设，根据图形的对称性可设，则，设平面PCD的一个法向量为，则，即，令，又，故，设，则，，所以，又，当且仅当即时，取到最小值，即取到最小值，所以取到最大值，即有最大值，所以AP与平面PCD所成角的正弦值的最大值为．方法二：过点A作平面ABCD，以A为坐标原点，的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系，设，由题知，．设平面PCD的一个法向量为，则有，即，令，得，又，所以，设，则，，所以，又，当且仅当时，取到最小值，即取到最小值，所以取到最大值，即有最大值所以AP与平面PCD所成角的正弦值的最大值为．22.已知双曲线，点，经过点M的直线交双曲线C于不同的两点A、B，过点A，B分别作双曲线C的切线，两切线交于点E．（二次曲线在曲线上某点处的切线方程为）（1）求证：点E恒在一条定直线L上；（2）若两直线与L交于点N，，求的值；（3）若点A、B都在双曲线C的右支上，过点A、B分别做直线L的垂线，垂足分别为P、Q，记，，的面积分别为，问：是否存在常数m，使得？若存在，求出