2024年高考第一次模拟考试数学试题（天津卷01）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE12024年高考第一次模拟考试（天津卷01）数学参考公式：•如果事件A、B互斥，那么．•如果事件A、B相互独立，那么．•球的体积公式，其中R表示球的半径．•圆锥的体积公式，其中S表示圆锥的底面面积，h表示圆锥的高。一、选择题1．设集合，，则（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗依题意，，，解得.故选：B2．“”是“直线和直线平行”的（

）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件〖答案〗C〖解析〗当时，直线和直线平行且或；当时，直线和直线不平行；当时，直线和直线不平行．所以“”是“直线和直线平行”的充分不必要条件.故选：C．3．函数的大致图象为（

）A．

B．

C．

D．

〖答案〗D〖解析〗函数的定义域为全体非零实数，因为，所以该函数是奇函数，其图象关于原点对称，排除AB；而当时，有，所以，排除C，故选：D4．已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，设，，则的大小关系是（

）A． B．C． D．〖答案〗A〖解析〗因为，即，又因为，即，可得，由题意可知：在上单调递减，所以.故选：A.5．某兴趣小组研究光照时长和向日葵种子发芽数量y（颗）之间的关系，采集5组数据，作如图所示的散点图．若去掉后，下列说法正确的是（

）

A．相关系数r的绝对值变小 B．相关指数变小C．残差平方和变大 D．解释变量x与响应变量y的相关性变强〖答案〗D〖解析〗观察图象知：较其他的点偏离回归直线最大，因此去掉后，回归效果更好，对于A，相关系数越接近于1，线性相关性越强，因此去掉后，相关系数的绝对值变大，A错误；对于B，相关指数越接近于1，拟合效果越好，因此去掉后，相关指数变大，B错误；对于C，残差平方和变大，拟合效果越差，因此去掉后，残差平方和变小，C错误对于D，由选项A知，去掉后，相关系数的绝对值变大，因此解释变量与响应变量的相关性变强，D正确.故选：D6．柏拉图多面体是由柏拉图及其追随者研究而得名，由于它们具有高度的对称性及次序感，因而通常被称为正多面体．经研究，世界上只有五种柏拉图多面体．如图，将一个棱长为4的正四面体同一侧面上的各棱中点两两连接，得到一个正八面体，这个正八面体即为柏拉图多面体的一种．则这个正八面体的体积为（

）

A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗由题意知正八面体的棱为原正四面体每个侧面三角形的中位线，故正八面体由棱长为2的两个正四棱锥构成，正四棱锥的底面为边长为2的正方形，故四棱锥的高，故正八面体的体积，故选：B．7．已知函数，则下列说法错误的是（

）．A．B．函数的最小正周期为C．函数的图象可由的图象向右平移个单位长度得到D．函数的对称轴方程为〖答案〗D〖解析〗，所以A选项正确.的最小正周期为，B选项正确.的图象向右平移个单位长度得到，所以C选项正确.由解得，所以D选项错误.故选：D8．设分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线与抛物线的准线围成三角形的面积为（

）A． B．C． D．〖答案〗C〖解析〗依题意|PF2|＝|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理可知|PF1|＝24b根据双曲定义可知4b﹣2c＝2a，整理得c＝2b﹣a，代入c2＝a2+b2整理得3b2﹣4ab＝0，求得∴双曲线渐近线方程为y＝±x，即4x±3y＝0，渐近线与抛物线的准线的交点坐标为：，，三角形的面积为：.故选C.9．设定义域为R的函数若关于x的方程有7个不同的实数解，则m=（）A．2 B．4或6 C．2或6 D．6〖答案〗A〖解析〗根据题意可得，要求对应于等于某个常数有3个不同实数解和4个不同的实数解，故先根据题意作出的简图：由图可知，只有当时，它有三个根．故关于的方程有一个实数根4．，,或，时，方程或,有5个不同的实数根，所以．第II卷二、填空题10．设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数为〖答案〗2〖解析〗，它为纯虚数，则且，解得．故〖答案〗为：2．11．若数据0，1，2，3，4，5，7，8，9，10的第60百分位数为n，求展开式中的常数项是．〖答案〗〖解析〗，第60百分位数则的常数项为，故〖答案〗为：12．若半径为1的圆分别与y轴的正半轴和射线相切，则这个圆的方程为．〖答案〗〖解析〗由题意可设圆心，∵圆与射线相切，则，解得或（舍去），即圆心为，故圆的方程为.故〖答案〗为：.13．已知，，，则的最大值为．〖答案〗〖解析〗由，当且仅当,即时，等号成立.所以，设函数,则当时，，所以在上单调递减.则（当时等号成立）所以故〖答案〗为：14．甲箱中有2个白球和1个黑球，乙箱中有1个白球和2个黑球．现从甲箱中随机取两个球放入乙箱，然后再从乙箱中任意取出两个球，则最后摸出的两球都是白球的概率为；若最后摸出的两球都是白球，则这两个白球都来自甲箱的概率为．〖答案〗〖解析〗由题意，从甲箱中任取两球放入乙箱仅有2中可能，取出两白球、取出一白一黑，分别用表示，设“从乙箱中取出的两球时白球”为事件，可得，其中，所以从乙箱中取出两球是白球的概率为；设从乙箱摸出两个白球都来自甲箱为事件，则,则.故〖答案〗为：；.15．若等边三角形的边长为2,点为线段上一点,且,则的最小值是,最大值是.〖答案〗2〖解析〗由题意得,则当时,,当时取最小值；当时取最大值2.即的最小值为,最大值为2.故〖答案〗为：(1)；(2)2三、解答题16．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．(1)求角A；(2)求边c；(3)求的值．解：(1)因为，所以，所以．因为，所以因为，所以．(2)由余弦定理得，所以，即，解得．(3)由正弦定理，得，解得．因为，所以，所以．所以，所以．17．如图，是边长为4的正方形，平面，，且.

(1)求证:平面;(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)求点D到平面的距离.(1)

证明：根据题意可以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，易知平面的一个法向量为，显然，又平面，所以平面；(2)解：由上坐标系可知，则，设平面与平面的一个法向量分别为，则有，，取，则，即，设平面与平面的夹角为，则；(3)解：由(2)得平面的一个法向量为，又，所以点D到平面的距离.18．已知正项数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)在和之间插入1个数，使，，成等差数列；在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列；；在和之间插入个数，，，，使，，，，，成等差数列.求的值.解：(1)因为数列的前项和为，且满足，当时，，当时，，经验证当时，.综上得，.(2)在和之间插入个数因为成等差数列，所以，，，，.注意到满足上式，则设，即，，两式相减，可得：.所以，19．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，且过点（1，）．(1)求椭圆C的方程；(2)设与圆O：x2+y2=相切的直线交椭圆C于A，B两点，求△OAB面积的最大值，及取得最大值时直线的方程．解：(1)由题意可得，，故，，故设椭圆方程为，将点代入椭圆方程，可得，故，所以椭圆的方程为．(2)①当直线的斜率不存在时，时，可得，；②当直线的斜率存在时，设为，则直线为，，联立，整理得，由韦达定理得，，由直线与圆相切，可得，即，又，当且仅当，即时等号成立，此时，即有面积的最大值为，此时直线方程．20．已知函数，记的导函数为(1)讨论的单调性；(2)若有三个不同的极值点，其中①求的取值范围；②证明：.(1)解：由已知可得，故可得．当时，，故在单调递增；当时，由，解得，或，记，，则可知当变化时，的变化情况如下表：00极大值极小值所以，函数在区间单调递增，在区间单调递减，在区间单调递增．(2)①解：由已知，函数有三个零点，且．由（1）知时，在单调递增，不合题意．下面研究的情况．由于，故，因此，又因为在单调递减，且，所以．又因为，由于，且，