2024年高考第一次模拟考试数学试题（七省新高考卷02）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE12024年高考第一次模拟考试（七省新高考卷02）数学第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗∵，∴，则，∴.故选：B2．已知，则（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖祥解〗根据复数的运算从而求解.〖解析〗由题意知：，则，所以：.故A项正确.故选：A.3．过抛物线的焦点的直线的倾斜角为，则抛物线顶点到该直线的距离为（

）A． B． C． D．1〖答案〗A〖解析〗抛物线的标准方程是，其顶点是，焦点是，由直线的倾斜角得其斜率是，所以直线的方程是，则抛物线的顶点到直线的距离为.故选：.4．某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N(105,σ2)（σ>0），试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（）A．150 B．200C．300 D．400〖答案〗C〖解析〗此次数学考试成绩在分到分之间得人数约为.故选:C.5．光岳楼，又称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”，位于山东省聊城市，在《中国名楼》站台票纪念册中，光岳楼与鹳雀楼、黄鹤楼、岳阳楼、太白楼、滕王阁、蓬莱阁、镇海楼、甲秀楼、大观楼共同组成中国十大名楼.其墩台为砖石砌成的正四棱台，如图所示，光岳楼的墩台上底面正方形的边长约为32m，下底面正方形的边长约为34.5m，高的4倍比上底面的边长长4m，则光岳楼墩台的体积约为（

）

A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗由题意，设光岳楼墩台的高为h，则，所以光岳楼墩台的体积约为.故选：B.6．《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务B必须排在前三位，且任务A、D必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有(

)A．240种 B．188种 C．156种 D．120种〖答案〗D〖解析〗若任务B排在首位，则将A、D捆绑在一起，A、D之间有2种排法，再将A、D看作一个整体和剩下的3个任务全排列即可，此时共有种方案；若任务B排在第2位，则第1位可排除A、D外的3项任务中的任意一项，有3种排法；将A、D捆绑在一起，A、D之间有2种排法，再将A、D看作一个整体和剩下的2个任务全排列即可，此时共有种方案；若任务B排在第3位，则将A、D捆绑在一起，A、D之间有2种排法，再将A、D看作一个整体有3个位置可排，再将剩下的3个任务全排列安排在剩下的3个位置即可，此时共有种方案；故总共有48+36+36=120种方案．故选：D．7．已知，则的大小关系为（

）A． B．C． D．〖答案〗C〖解析〗；；；故.故选：C.8．已知的定义域为，且是奇函数，当时，，函数，则方程的所有的根之和为（

）A．3 B．4 C．5 D．6〖答案〗C〖解析〗因为的定义域为，且是奇函数，所以，则的图象关于对称，且，当时，，又因为函数，所以的图象关于对称，所以方程的所有的根之和即为两个函数图象交点的横坐标和，和的图象，如图所示：

由图象知：和的图象有5个交点，其中一个交点的横坐标为1，另外四个，两两分别关于对称，所以5个交点的横坐标之和为，故选：C.二、多项选择题9．PM2.5是衡量空气质量的重要指标，下图是某地7月1日到10日的PM2.5日均值(单位：)的折线图，则下列关于这10天中PM2.5日均值的说法正确的是A．众数为30B．中位数是31C．平均数小于中位数D．后4天的方差小于前4天的方差〖答案〗AD〖解析〗众数即是出现次数最多的数字，由折线图可得，众数为30，即A正确；中位数即是处在中间位置的数字，将折线图中数字由小到大依次排序，得到：17，25，30，30，31，32，34，38，42，126；处在中间位置的数字是：31，32，因此中位数为，即B错；由折线图可得，平均数为：，故C错；前4天的平均数为：，后4天的平均数为前4天方差为：，后4天方差为：，所以后4天的方差小于前4天的方差，故D正确.故选：AD.10．已知圆上存在两个点到点的距离为，则m的可能的值为（）A． B． C． D．〖答案〗ACD〖解析〗由题知，圆与圆相交，所以，，即，解得，即的值可以为：或或.故选：ACD.11．已知是数列的前项和，，则下列递推关系中能使存在最大值的有（

）A． B．C． D．〖答案〗BC〖解析〗对于A，由，，可得，，当为正奇数且趋近于无穷大时，也趋近于正无穷大，故不存在最大值，故A不正确；对于B，由，得，又，所以，当时，，当时，，当时，，所以当或时，取得最大值，故B正确；对于C，由，，得，，，，又，递减，所以当时，取最大值，故C正确；对于D，由，，得，，，，所以数列的周期为，故不存在最大值，故D不正确.故选：BC12．正方体中，M是正方形的中心，P为线段上一动点，下列结论中正确的是（）A．；B．直线与直线所成角的余弦值为；C．不存在点P使得平面；D．三棱锥的体积为定值．〖答案〗ABD〖解析〗设正方体的边长为.A选项，在三角形中，，是的中点，所以，所以A正确.B选项，设是的中点，连接，则，

所以是异面直线与直线所成角（或其补角），在三角形中，，所以，所以异面直线与直线所成角的余弦值为，B正确.C选项，根据正方体的性质可知，由于平面，平面，所以平面，同理可证得平面，由于平面，所以平面平面，当时，平面，所以平面.即存在点P使得平面，C不正确.D选项，，其中和为定值，所以三棱锥的体积为定值，所以D正确.故选：ABD.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题13．若，，且，则与的夹角为；〖答案〗〖解析〗由已知可得，，所以，，所以，.又，所以.故〖答案〗为：.14．双曲线的一条渐近线与直线平行，则它的离心率为．〖答案〗.〖解析〗因为渐近线与直线平行，故可得，根据双曲线离心率的计算公式可得：.故〖答案〗为：.15．记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为．〖答案〗〖解析〗因为，（，）所以最小正周期，因为，又，所以，即，又为的零点，所以，解得，因为，所以当时；故〖答案〗为：16．若曲线在点处的切线与曲线相切于点，则.〖答案〗〖解析〗，，切线斜率，切线方程可记为：或，，，则，易得，，.故〖答案〗为：.三、解答题17．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知.(1)求角的大小；(2)若，求的最小值.解：(1)由题意知，原式可化为，即.整理可得：，即.又因为，则，所以，故.(2)因为，所以，由余弦定理和基本不等式可得：，当且仅当时，等号成立，所以，故的最小值为.18．已知等比数列，等差数列的公差，且，，，．(1)求数列与的通项公式；(2)设数列对任意，均有成立，求的通项公式．解：(1)设等比数列的公比为，由题意，，，，所以，即，解得，或（舍去），所以.所以，，所以，，所以．(2)由题意，，①，②②①得，所以，所以.当时，由可得不满足上式.所以．19．如图，已知四边形与均为直角梯形，平面平面EFAD，，，为的中点，.

(1)证明：，，，四点共面；(2)求平面与平面夹角的余弦值.(1)证明：取的中点，连接，.因为为的中点，为的中点，且，，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以且.又因为，且，所以，，所以四边形是平行四边形，所以，.所以，，所以，，，四点共面.(2)解：因为平面平面，平面平面，且，所以平面.如图，以B为原点，建立空间直角坐标系，则，，，，，，.设平面的一个法向量为，因为，，所以，令，得，所以.设平面的一个法向量为，因为，，所以，令，得，，所以.设平面与平面夹角为，所以.20．红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数y（个）和平均温度x（℃）有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.

(1)根据散点图判断，与（其中…为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数y（个）关于平均温度x（℃）的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）(2)由（1）的判断结果及表中数据，求出y关于x的回归方程.（计算结果精确到0.1）附：回归方程中，，参考数据（）5215177137142781.33.6(3)根据以往每年平均气温以及对果园年产值的统计，得到以下数据：平均气温在22℃以下的年数占60%，对柚子产量影响不大，不需要采取防虫措施；平均气温在22℃至28℃的年数占30%，柚子产量会下降20%；平均气温在28℃以上的年数占10%，柚子产量会下降50%.为了更好的防治红蜘蛛虫害，农科所研发出各种防害措施供果农选择.在每年价格不变，无虫害的情况下，某果园年产值为200万元，根据以上数据，以得到最高收益（收益＝产值－防害费用）为目标，请为果农从以下几个方案中推荐最佳防害方案，并说明理由.方案1：选择防害措施A，可以防止各种气温的红蜘蛛虫害不减产，费用是18万；方案2：选择防害措施B，可以防治22℃至28℃的蜘蛛虫害，但无法防治28℃以上的红蜘蛛虫害，费用是10万；方案3：不采取防虫害措施.解：(1)由散点图可以判断，更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型.(2)将两边同时取自然对数，可得，由题中的数据可得，，，所以，则，所以z关于x的线性回归方程为，故y关于x的回归方程为；(3)用，和分别表示选择三种方案的收益.采用第1种方案，无论气温如何，产值不受影响，收益为万，即采用第2种方案，不发生28℃以上的红蜘蛛虫害，收益为万，如果发生，则收益为万，即，同样，采用第3种方案，有所以，，，.显然，最大，所以选择方案1最佳.21．已知椭圆的左、右顶点分别为，，点为椭圆上异于，的一点，且直线，的斜率之积为.(1)求椭圆的标准方程；(2)直线过右焦点与椭圆交于，两点（，与不重合），不与轴垂直，若，求.解：(1)设，由题意知：，，，，解得：，椭圆的标准方程为；(2)根据题意，设，，直线，由，消去并整理得：，则，即，，，，，又，由，得：，解得：，，，故.22．已知函数．(1)若，求在上的最大值和最小值；(2)讨论函数的零点个数．解：(1)当时，，，则，设，则，易知在上单调递增，，