湖南省2024届高三新改革提高训练数学试卷五（九省联考题型）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省2024届高三数学新改革提高训练五（九省联考题型）一、选择题1.某班12名同学某次测试的数学成绩（单位：分）分别为62，57，72，85，95，69，74，91，83，65，78，89，则这12名同学这次测试的数学成绩的第60百分位数是（）A.74 B.78 C.83 D.91〖答案〗C〖解析〗将这组数据按从小到大的顺序排列为57，62，65，69，72，74，78，83，85，89，91，95.因为，所以这12名同学这次测试的数学成绩的第60百分位数是83.故选：C.2.已知数列的前项和为，若，则数列的通项公式为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗，当时，，当也满足，所以数列的通项公式为.故选：D3.若，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，由，．故选：C4.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下面说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则〖答案〗B〖解析〗对于A，若，则可能平行或相交，可得A错误；对于B，若，则，即B正确；对于C，若，则或，可知C错误；对于D，若，则或，可知D错误；故选：B5.已知，，且，则（）A.4 B.5 C.7 D.8〖答案〗A〖解析〗通项公式为，二项式的展开式中项的系数为，项的系数为，，，即，即，（负值舍），故选：A.6.圆和圆的公切线方程是（）A. B.或C. D.或〖答案〗A〖解析〗，圆心，半径，，圆心，半径，因为，所以两圆相内切，公共切线只有一条，因为圆心连线与切线相互垂直，，所以切线斜率为，由方程组解得，故圆与圆的切点坐标为，故公切线方程为，即．故选：A.7.键线式可以简洁直观地描述有机物的结构，在有机化学中极其重要．有机物萘可以用左图所示的键线式表示，其结构简式可以抽象为右图所示的图形．已知与为全等的正六边形，且，点为该图形边界（包括顶点）上的一点，则的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗取线段的中点，则，，由图可知，当点与点重合时，取最小值，且，由图形可知，当取最大值时，点在折线段上，连接，则，同理，由正六边形的几何性质可知，，所以，，则、、三点共线，则，即，当点在线段上从点运动到点的过程中，在逐渐增大，同理可知，，当点在线段上由点到的过程中，在逐渐增大，所以，当取最大值时，点在折线段上运动，以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴，线段的垂直平分线所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则、、、、、、，设点，（1）当点在线段上运动时，，直线的方程为，即，所以，线段的方程为，则；（2）当点在线段上运动时，，，则，所以，；（3）当点在线段上运动时，，直线的方程为，即，所以，线段的方程为，所以，，因函数在上单调递增，故.综上所述，的最大值为，故，故的取值范围是.故选：B.8.已知，函数在点处的切线均经过坐标原点，则（）A B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意知，，则，所以曲线在点处的切线方程分别为，因为切线均过原点，所以，即，得，故AB错误；由，得，画出函数与图象，如图，设，如上图易知：，由正切函数图象性质，得，即，又，所以，即，解得，故C正确，D错误.故选：C二、选择题9.关于函数有下述四个结论，其中结论正确的是（）A.的最小正周期为B.的图象关于直线对称C.的图象关于点对称D.在上单调递增〖答案〗BCD〖解析〗，对于A，的最小正周期为，故A错误，对于B,,故的图象关于直线对称，B正确，对于C，，故的图象关于点对称，C正确，对于D，时，，故在上单调递增，D正确，故选：BCD10.若、为复数，则（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗对于A选项，取，，则，，所以，，，所以，，所以，，，故，A错；对于B选项，设，，则，，，，则，所以，，B对；对于C选项，不妨取，，则，，，所以，，故，C错；对于D选项，设，则，所以，，所以，，D对.故选：BD.11.已知抛物线的焦点为，准线为，点，在上（在第一象限），点在上，，，（）A.若，则 B.若，则C.则的面积最小值为 D.则的面积大于〖答案〗ABD〖解析〗对于A，如图1，设点在准线上的投影为，准线与轴交于点，又，，则，所以，故A正确；对于B，设点在准线上投影为点，易证，又，，即，又，则为等边三角形，所以，且，，故B正确；对于C，分两种情况：当点都在第一象限，如图1所示，设，，由焦半径公式可得，，，令，设，且，，当且仅当时取得最小值.当点在第四象限时，如图2所示，设，，则，，所以，同理令，且，，所以，当且仅当时取得最小值，综上，面积的最小值为，故C错误；对于D，当点都在第一象限，如图1所示，，，则，所以，即，，当点在第四象限时，如图2所示，同理可得，即，，综上，的面积大于，故D正确.故选：ABD.三、填空题12.已知，关于x的不等式的解集为M，设，当a变化时，集合N中的元素个数最少时的集合N为______．〖答案〗〖解析〗，令得，其中，当且仅当，即时，等号成立，其中，则的解集为，要想集合N中的元素个数最少，则取最小值，此时解集为，此时.故〖答案〗为：13.如图，在中，是的中点，以为折痕把折叠，使点到达点的位置，则当平面平面时，其外接球的体积为__________.〖答案〗〖解析〗如图，由题意，当平面平面，是的中点，，即两两垂直，又，如图，作长方体，则三棱锥的外接球，即是长方体的外接球，设长方体的外接球的半径为，则，.当三棱锥体积最大时，其外接球的体积为.故〖答案〗为：.14.若不等式对恒成立，其中，则的取值范围为______.〖答案〗〖解析〗令，即，当时，由函数与的图象可知，两函数图象有一个交点，记为，则当时，，即，不满足题意；当时，令，则，令，则，因为单调递增，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以时，有最小值，又对恒成立，所以，即，所以，当且仅当时等号成立.令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当时，，所以，即，当且仅当时等号成立，所以的取值范围为.故〖答案〗为：.四、解答题15.如图，四边形是圆柱的轴截面，点在底面圆上，，点是线段的中点（1）证明：平面；（2）若直线与圆柱底面所成角为，求点到平面的距离.（1）证明：证明：取中点，连接，如图所示，为中点，则，又，得，由，，得，所以四边形为平行四边形，，又平面，平面，所以平面.（2）解：，易知，又，得.由平面，且直线与圆柱底面所成角为，即，则有.如图，以为原点，分别为轴，过垂直于底面的直线为轴，建立空间直角坐标系，则有，，，设平面的一个法向量为，则，令，有，得，，设点到平面的距离为，16.在统计学的实际应用中，除了中位数外，经常使用的是25%分位数（简称为第一四分位数）与75%分位数（简称为第三四分位数），四分位数应用于统计学的箱型图绘制，是统计学中分位数的一种，即把所有数值由小到大排列，并分成四等份，处于三个分割点的数值就是四分位数，箱型图中“箱体”的下底边对应数据为第一四分位数，上底边对应数据为第三四分位数，中间的线对应中位数，已知甲、乙两班人数相同，在一次测试中两班成绩箱型图如图所示.（1）由此图估计甲、乙两班平均分较高的班级是哪个？（直接给出结论即可，不用说明理由）（2）若在两班中随机抽取一人，发现他的分数小于128分，则求该同学来自甲班和乙班的概率分别是多少？（3）据统计两班中高于140分共10人，其中甲班6人，乙班4人，从中抽取了3人作学习经验交流，3人中来自乙班的人数为，求的分布列.解：（1）由两班成绩箱型图可以看出，甲班成绩得中位数为128，而乙班的第三四分位数使128，同时，甲班的第一四分位数明显高于乙班，由此估计甲班平均分较高.（2）由图可知，甲班中有的学生分数低于128分；乙班中有的学生分数低于128分设从两班中随机抽取一人，“该同学来自甲班为事件”，“该同学分数低于128分为事件”，则，，，，所以，该同学来自甲乙两班的概率分别为，.（3）依题的所有可能取值为0，1，2，3，，所以的分布列为：17.设，为实数，且，函数（），直线．（1）若直线与函数（）的图像相切，求证：当取不同值时，切点在一条直线上；（2）当时，直线与函数有两个不同的交点，交点横坐标分别为，，且，求证：．证明：（1）设切点横坐标为，可得，得，即，化简得，令，得，记，所以时，单减，且时，当，单增，，所以，，，所以切点在直线上．（2）当时，由（1）得切线的斜率为，直线与函数有两个不同的交点，得，即有2个不同的解，由题意得，，做差得，即，欲证，即证，即证，即令，，即证即下面先证明，令，即证，即，先证，令，，单调递增得，因为，所以，证得成立，用替换，可得成立，所以，即成立，得.18.已知圆，与x轴不重合的直线l过点，且与圆交于C、D两点，过点作的平行线交线段于点M．（1）判断与圆的半径的大小关系，求点M的轨迹E的方程；（2）已知点，直线m过点，与曲线E交于两点N、R（点N、R位于直线异侧），求四边形的面积的取值范围．解：（1）圆，，，，，，∴点M的轨迹是以为焦点的椭圆，其方程为．（2）设直线，由题意知且，设，，由，则，所以，令且，，当时，；当，；当时，；，且，，且．19.对于项数为的有穷数列，若，则称为“数列”.（1）已知数列、的通项公式分别为，.分别判断、是否为“数列”；（只需给出判断）（2）已知“数列”的各项互不相同，且，.若也是“数列”，求有穷数列的通项公式；（3）已知“数列”是的一个排列（即数列中的项不计先后顺序，分别取），且，求的所有可能值.解：（1）、均为“数列”（2）∵在“数列”中，，又也是“数列”，则，∴，又的各项互不相同，∴，∴有穷数列为等差数列，∵，，则公差，∴有穷数列的通项公式为.（3）∵“数列”是的一个排列，∴当时，且为正整数.又∵且，∴①若，则，；此时为连续自然数，且，当，不符合题意；当，不符合题意；当，不符合题意；当，或，符合题意；当，若为连续递增自然数，当