安徽省部分重点中学2023-2024学年高一上学期期末测试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1安徽省部分重点中学2023-2024学年高一上学期期末测试数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依题意，，所以，，B错误，D正确；显然，，AC错误.故选：D.2.（）A.4 B.6 C.8 D.10〖答案〗B〖解析〗因为，所以.故选：B.3.中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，下列选项中是同一个函数的是（）A.与B.与C.与D.与〖答案〗C〖解析〗对于A，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数定义域不同，A不是；对于B，函数的定义域为，函数的定义域为或，两个函数定义域不同，B不是；对于C，函数的定义域为，函数的定义域为，且，两个函数定义域相同，对应法则也相同，C是；对于D，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数定义域不同，D不是.故选：C.4.已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，点在角的终边上，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗依题意，，则，，所以.故选：C.5.已知“，”为真命题，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗“，”为真命题，则“，”为真命题，而，当且仅当时取等号，则，所以实数a的取值范围为.故选：A.6.函数在上的大致图象为（）A B.C. D.〖答案〗D〖解析〗依题意，，因此函数是偶函数，其图象关于y轴对称，排除AB；又，选项C不满足，D符合题意.故选：D.7.《梦溪笔谈》是我国科技史上的杰作，其中收录了扇形弧长的近似计算公式：.如图，公式中“弦”是指扇形中所对弦AB的长，“矢”是指所在圆O的半径与圆心O到弦的距离之差，“径”是指扇形所在圆O的直径.若扇形的弦，扇形的圆心角为，利用上面公式，求得该扇形的弧长的近似值与实际值的误差为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗取弧的中点，连接交于，则是的中点，且，在等腰中，，则，圆半径，，，因此，而扇形弧长的实际值为，所以该扇形的弧长的近似值与实际值的误差为.故选：B.8.定义在上的偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因为定义在上的偶函数在上单调递减，且，所以在上单调递增，，因为，当，即时，，即，所以，即，解得，故；当，即时，，即，所以，即或，解得或，故；综上：或.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.已知，则下列结论错误是（）A. B. C. D.〖答案〗BCD〖解析〗由及在R上单调递增，可得，A正确；取，满足，而，B错误；由，知是否是非负数不确定，当时，不等式无意义，C错误；取，满足，而，D错误.故选：BCD.10.已知集合，，则（）A.集合B.C.集合可能是D.可能是B的子集〖答案〗ABD〖解析〗集合，，则，，AB正确；显然，即，而是的真子集，C错误；由于，，因此可能是B的子集，D正确.故选：ABD.11.函数（，，）的部分图象如图所示，将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的2倍，然后向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（）A.B.的〖解析〗式为C.是图象一个对称中心D.的单调递减区间是，〖答案〗ABD〖解析〗依题意，由图象可知，，则，故A正确；因为，所以，则，所以，因为的图象过点，所以，则，即，又，则，所以，将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的3倍，得到的图象，纵坐标变为原来的2倍，得到的图象，向左平移个单位长度，得到函数的图象，故B正确；因为，故C错误；令，解得，所以的单调递减区间是，，故D正确.故选：ABD.12.已知函数，则下列结论中正确的是（）A.若函数在上单调递减，则且B.若函数有2个零点，则且C.若函数有1个零点，则且D.若函数在的最大值为1，则且〖答案〗AB〖解析〗当时，，当时，单调递增，函数值集合为，当时，，当时，单调递减，函数值集合为；当时，，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增，对于A，由函数在上单调递减，得，解得且，A正确；对于B，当时，，函数在上最多一个零点，由函数有2个零点，得函数在上有一个零点，在上有一个零点，因此且，B正确；对于C，当时，在上无零点，当时，在上有一个零点，则当且时，函数也只有1个零点，C错误；对于D，由于函数在的最大值为1，则在上不能单调递减，即，且，当时，在上单调递增，，不符合题意，当时，若，即，则在上单调递减，，此时在的最大值为1，因此，若，即，则在上单调递减，在上单调递增，必有，解得，则，此时在的最大值为1，因此，综上所述，函数在的最大值为1，则且，D错误.故选：AB.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知幂函数的图象经过点，那么的〖解析〗式为________________________；不等式的解集为______________________.〖答案〗〖解析〗设幂函数，依题意，，即，因此，解得，所以函数的〖解析〗式为；显然函数在上单调递减，且，于是不等式为：，解得，即或，所以不等式的解集为.故〖答案〗为：.14.若，，，，则______.〖答案〗〖解析〗由，，得，而，，则，，因此，，所以.故〖答案〗为：.15.已知函数，若，，且，则的最小值为______.〖答案〗36〖解析〗函数中，，，则函数的定义域为，而，则函数是奇函数，显然函数在上都单调递减，则函数在上单调递减，而函数在上单调递增，则函数在上单调递减，于是函数在上单调递减，因此函数在上单调递减，，由，得，则，即，于是，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为36.故〖答案〗为：36.16.已知直线与函数（，）的图象所有交点之间的最小距离为2，且其中一个交点为，则函数的图象与函数（）的图象所有交点的横坐标之和为______________.〖答案〗6〖解析〗依题意，函数的最小正周期为2，则，解得，于是，由，得，而，取，因此，显然，则函数的图象关于点成中心对称，又函数的图象关于点成中心对称，在同一坐标系内作出函数和的图象，观察图象知，两个函数在的图象共有4个公共点，且关于点成中心对称，所以4个交点的横坐标之和为.故〖答案〗为：6.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.计算：（1）；（2）.解：（1）.（2）.18.已知.（1）求的值；（2）若，求的值.解：（1）由，得，解得，所以.（2）由，得，则，由，得，而，解得，于是，又，则，所以.19.已知函数的定义域为，，，总有成立.若时，.（1）判断并证明函数的单调性；（2）若，求解关于x的不等式的解集.解：（1）在上单调递减，证明如下：因为，，总有成立，当时，，，且，则，则，即，所以在上单调递减.（2）因为，，总有成立，所以，则，因为，所以，所以不等式可化为，所以，解得，所以不等式的解集为.20.已知函数.（1）若关于的不等式的解集为，求a，b的值；（2）已知当时，恒成立，求实数a的取值范围.解：（1）因为，且的解集为，所以和2是方程的两个不等实根，且，由韦达定理可得，解得，故，.（2）因，所以，则可化为，整理可得，令，，所以，则上式可化为在上恒成立，即在上恒成立，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以由对勾函数性质可知在上单调递减，在上单调递增，而当时，；当时，；所以，故，所以，所以实数a的取值范围为.21.某学校校园内有一个扇形空地AOB（），该扇形的周长为，面积为，现要在扇形空地AOB内部修建一矩形运动场馆CDEF，如图所示.（1）求扇形空地AOB的半径和圆心角；（2）取CD的中点M，记.（i）写出运动场馆的面积S与角的函数关系式；（ii）求当角为何值时，运动场馆的面积最大？并求出最大面积.解：（1）设扇形空地所在圆半径为，扇形弧长为，依题意，，解得或，当时，圆心角，不符合题意，当时，圆心角，符合题意，所以扇形空地AOB的半径为10，圆心角为.（2）（i）由（1）知，，则，在中，，则，在中，，，于是，所以，.（ii）由（i）知，当时，，则当，即时，，所以当时，运动场馆的面积最大，最大面积为.22.已知函数（，，）是定义在上的奇函数.（1）求和实数b的值；（2）若满足，求实数t的取值范围；（3）若，问是否存在实数m，使得对定义域内的一切t，都有恒成立？解：（1）依题意，，又是上的奇函数，则，即，亦即，整理得，于是，而，所以.（2）由（1）知，，显然函数在上单调递减，由奇函数性质及，得，当时，函数在上单调递减，则在上单调递增，不等式化为，解得，当时，函数在上单调递增，则在上单调递减，不等式化为，解得，所以