2022年北京玉渊潭中学高二数学理月考试题含解析

2022年北京玉渊潭中学高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒芝麻，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为（

）A.

B.

C.

D.无法计算参考答案：C2.设等比数列的公比，前n项和为，则（

）A．2 B．4

C． D．参考答案：D3.椭圆内的一点，过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在的直线方程A.B.C.D.参考答案：B略4.关于直线，以及平面，，下列命题中正确的是（

）． A．若，，则 B．若，，则C．若，且，则 D．若，，则参考答案：D错误，，可能相交，错误，可能平行于，错误，可能平行于，正确．故选．5.某中学有8名同学参加两项社团活动，每位同学必须参加一项活动，且不能同时参加两项，每项活动最多安排5人，则不同的安排方法有（）A．256 B．182 C．254 D．238参考答案：B【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，设两项社团活动为A、B社团活动，按参加A社团的人数分3种情况进行讨论，分别求出每种情况的安排方法数目，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，设两项社团活动为A、B社团活动，分3种情况进行讨论：①、有3人参加A社团活动，其他5人参加B社团活动，有C83=56种安排方法；②、有4人参加A社团活动，其他4人参加B社团活动，有C84=70种安排方法；③、有5人参加A社团活动，其他3人参加B社团活动，有C85=56种安排方法；则共有56+70+56=182种；故选：B．6.y＝x2在x＝1处的导数为()A．2x

B．2C．2＋Δx

D．1参考答案：B略7.成都西博会期间，某高校有12名志愿者参加服务工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为（）A． B．C． D．参考答案：A【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分2步进行分析：①、将12名志愿者平均分成3组，每组4人，②、将分好的三组全排列，对应早、中、晚三班，求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、将12名志愿者平均分成3组，每组4人，有种分法，②、将分好的三组全排列，对应早、中、晚三班，有A33种情况，则开幕式当天有×A33=种不同的排班方法；故选：A．【点评】本题考查排列、组合的应用，计算12人的分组时要用到平均分组公式．8.函数f（x）在其定义域内可导，其图象如图所示，则导函数y=f′（x）的图象可能为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】3O：函数的图象．【分析】根据函数的单调性确定f'（x）的符号即可．【解答】解：由函数f（x）的图象可知，函数在自变量逐渐增大的过程中，函数先递增，然后递减，再递增，当x＞0时，函数单调递增，所以导数f'（x）的符号是正，负，正，正．对应的图象为C．故选C．9.已知△ABC的周长为9，且，则cosC的值为 （） A． B． C． D．参考答案：A略10.若函数y=lnx﹣ax的增区间为（0，1），则a的值是（）A．0＜a＜1B．﹣1＜a＜0C．a=﹣1D．a=1参考答案：D

考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题．分析：先求导数，令导数大于0，解的x的范围即为函数的增区间，因为已知函数的增区间是（0，1），所以导数大于0的解集就是（0，1），就可求出a的值．解答：解：对函数y=lnx﹣ax求导，得，y′=﹣a，令y′＞0，﹣a＞0，化简得∵函数y=lnx﹣ax的增区间为（0，1），∴当x∈（0，1）上y′＞0即的解集为（0，1），∵分式不等式的解集的区间端点是x（1﹣ax）=0的根∴当x=1时，1×（1﹣a×1）=0，∴1﹣a=0，a=1故选D点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，当导函数大于0时原函数单调递增，另外还考查了已知分式不等式的解集，求参数的值．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知数列1，，，，…的一个通项公式是an=．参考答案：【考点】数列的应用．【分析】数列1，，，，…的分母是相应项数的平方，分子组成以1为首项，2为公差的等差数列，由此可得结论．【解答】解：∵数列1，，，，…的分母是相应项序号的平方，分子组成以1为首项，2为公差的等差数列∴数列1，，，，…的一个通项公式是an=故答案为：12.若椭圆的一条弦被点平分，则此弦所在直线的斜率是________。参考答案：13.已知函数，其导函数记为，则

参考答案：2

略14.双曲线的焦距是

▲

，双曲线C的渐近线方程是

▲

.参考答案：标准方程：，，则焦距为；渐近线。

15.已知一个长方体的同一个顶点出发的三条棱长分别为1，，，则这个长方体外接球的表面积为__________．参考答案：长方体外接球的直径，∴半径，∴长方体外接球的表面积为．16.已知双曲线x2－＝1(b＞0)的一条渐近线的方程为y＝2x，则b＝________.参考答案：217.已知函数，，直线x＝m与，的图象分别交于点M,N则MN的最大值是

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知点A（﹣1，0），B（1，0），直线AM，BM相交于M，且它们的斜率之积为2．（1）求动点M的轨迹方程；（2）若过点的直线l交点M的轨迹于C，D两点，且N为线段CD的中点，求直线l的方程．参考答案：【考点】直线与圆的位置关系；轨迹方程．【分析】（1）设M坐标为（x，y），利用直线AM，BM相交于M，且它们的斜率之积为2，即可确定出M的轨迹方程；（2）设出C与D坐标，分别代入M的轨迹方程，整理由根据N为CD中点，求出直线l斜率，即可确定出直线l方程．【解答】解：（1）设M（x，y），∵直线AM，BM相交于M，且它们的斜率之积为2，∴=2，则动点M的轨迹方程为2x2﹣y2=2（x≠±1）；（2）由（1）得M的轨迹方程为2x2﹣y2=2（x≠±1），设点C（x1，y1），D（x2，y2），则有2x12﹣y12=2①，2x22﹣y22=2②，①﹣②得：2（x1﹣x2）（x1+x2）﹣（y1﹣y2）（y1+y2）=0，∵N（，1）为CD的中点，∴x1+x2=1，y1+y2=2，∴直线l的斜率k=1，∴直线l的方程为y﹣1=x﹣，即2x﹣2y+1=0．【点评】此题考查了轨迹方程，直线的点斜式方程，熟练掌握运算性质是解本题的关键．19.等比数列中，，，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且，，中的任何两个数不在下表的同一列．

第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足：，求数列的前项和．参考答案：解：（I）当时，不合题意；当时，当且仅当时，符合题意；当时，不合题意.因此所以公式q=3，故（II）因为所以

所以当n为偶数时，当n为奇数时，综上所述，20.已知函数（为常数）的图像与轴交于点，曲线在点处的切线斜率为-1.（I）求的值及函数的极值；（II）证明：当时，；（III）证明：对任意给定的正数，总存在，使得当，恒有.参考答案：解法一：（I）由，得.又,得.所以.令,得.当时,单调递减;当时,单调递增.所以当时,取得极小值,且极小值为无极大值.（II）令,则.由（I）得,故在R上单调递增,又,因此,当时,,即.（III）①若,则.又由（II）知，当时,.所以当时,.取,当时，恒有.②若,令,要使不等式成立，只要成立.而要使成立，则只要,只要成立.令,则.所以当时,在内单调递增.取,所以在内单调递增.又.易知.所以.即存在,当时，恒有.综上，对任意给定的正数c，总存在,当时,恒有.解法二：（I）同解法一（II）同解法一（III）对任意给定的正数c，取由（II）知，当x>0时，，所以当时，因此，对任意给定的正数c，总存在,当时,恒有.21.

下面是描述求一元二次方程ax2+bx+c=0的根的过程的程序框图，请问虚线框内是什么结构？参考答案：虚线框内是一个条件结构.22.已知函数，为常数.（1）若，求函数的单调区间；（2）若函数在(1,2)上有且只有一个极值点，求m的取值范围.参考答案：（1）的单调递增区间为；的单调递减区间为；（2）.【分析】（1）求出函数定义域以及导函数，利用导数大于零和小于零，结合原函数的定义域即可求得原函数的单调区间；（2）求出，研究在区间上的单调性，由此