经济数学复习题与答案

./单项选择题1.=〔〕A.0B.1C.-1D.2．设函数f<x>的定义域为[0,4],则函数f<x2>的定义域为〔〕A.[0,2] B.[0,16]C.[-16,16] D.[-2,2]3．设且函数在处可导,则必有〔〕A．B．C． D．4．设f<x>为可微函数,且n为自然数,则=〔〕A.0B.C.-D.不存在5．要使无穷级〔a为常数,a≠0〕收敛,则q=〔〕A.0.5 B.1C.1.5 D.26．设f<x>是连续函数,且f<0>=1,则〔〕A.0B.C.1 D.27．函数在x=1处的导数为〔〕A.1B.2C.3 D.8．函数y=x2-ln<1+x2>的极小值为〔〕A.3B.2C.1 D.9．已知某商品的产量为x时,边际成本为,则使成本最小的产量是〔〕A.23B.24C.25D.10．下列反常积分收敛的是〔〕A. B.C. D.1.A2.C3.A4.B5.A6.C7.C8.D9.B10.A11.极限〔〕A．0B．C．D．312．下列区间中,函数f<x>=ln<5x+1>为有界的区间是〔〕A.<-1,>B.<-,5>C.<0,>D.<,+>13．函数f<x>=lnx-ln<x-1>的定义域是〔〕A．<-1,+∞>B．<0,+∞>C．<1,+∞> D．<0,1>14．设函数g<x>在x=a连续而f<x>=<x-a>g<x>,则<a>=〔〕A.０B.<a>C.f<a> D.g<a>15．x=0是函数f<x>=的〔〕A．零点B．驻点C．极值点 D．非极值点16．设函数f<x>定义在开区间Ｉ上,I,且点<x0,f<x0>>是曲线y=f<x>的拐点,则必有〔〕A.在点<x0,f<x0>>两侧,曲线y=f<x>均为凹弧或均为凸弧.B.当x<x0时,曲线y=f<x>是凹弧<或凸弧>,则x>x0时,曲线y=f<x>是凸弧<或凹弧>.C.x<x0时,f<x><f<x0>而x>x0时,f<x>>f<x0>.D.x<x0时,f<x>>f<x0>而x>x0时,f<x><f<x0>.17．设f<x>=arccos<x2>,则f＇<x>=〔〕A．B．C． D．18．设某商品的需求函数为D<P>=475-10P-P2,则当P=5时的需求价格弹性为〔〕A.0.25B.-0.25C.100 19．无穷限积分=〔〕A.-1B.1C.- D.20．初值问题的隐式特解为〔〕A．x2+y2=13 B．x2+y2=6C．x2-y2=-5 D．x2-y2=1011.B12.C13.C14.D15.D16.B17.D18.A19.B20.A21.设,则〔〕A.0B.1C.不存在 22．已知f<x>的定义域是[0,3a],则f<x+a>+f<x-a>的定义域是〔〕A．[a,3a]B．[a,2a]C．[-a,4a] D．[0,2a]23．〔〕A．1B．C．不存在 D．024．函数y=1-cosx的值域是〔〕A.[-1,1]B.[0,1]C.[0,2] D.<-∞,+∞>25．下列各式中,正确的是〔〕A.B.C.D.26．〔〕A．0B．1C．-1 D．27．下列广义积分中,发散的是〔〕A.B.C.D.28．设D=D〔p〕是市场对某一商品的需求函数,其中p是商品价格,D是市场需求量,则需求价格弹性是〔〕A．B．C．D．29．〔〕A．πB．4C．2π D．230．已知边际成本为,且固定成本为50,则成本函数是〔〕A.100x+B.100x++50C.100+D.100++5021.D22.B23.D24.C25.D26.C27.A28.B29.C30.B31.设,则x=0是f<x>的〔〕A．可去间断点B．跳跃间断点C．无穷间断点 D．连续点32．如果,则=〔〕A．B．C．D．33．已知某商品的成本函数为,则当产量Q=100时的边际成本为〔〕A．5B．3C．3.5D．1.534．在区间<-1,0>内,下列函数中单调增加的是〔〕A．B．C． D．35．函数f<x>在点x=x0处连续是f<x>在x=x0处可导的〔〕A．必要条件 B．充分条件C．充分必要条件 D．既非充分条件又非必要条件36．设函数y=f<x>在点x0的邻域V<x0>内可导,如果x∈V<x0>有f<x>≥f<x0>,则有〔〕A．B．C．D．37．微分方程的通解是〔〕A． B．C．D．38．无穷限积分〔〕A．1B．0C． D．39．下列广义积分中,收敛的是〔〕A． B．C．D．40．函数y=的定义域是〔〕A． B．C．<0,1] D．<0,1>31.A32.C33.C34.B35.A36.C37.B38.D39.C40.D41.函数f<x>=arcsin<2x-1>的定义域是〔〕A.<-1,1> B.[-1,1]C.[-1,0] D.[0,1]42.设f<t>=t2+1,则f<t2+1>=〔〕A.t2+1B.t4+2C.t4+t2+1 D.t4+2t243．函数y=2+ln<+3>的反函数是〔〕A．y=e+3-2B．y=e+3+2C．y=e-2-3 D．y=e-2+344．函数在点x=0处〔〕A．有定义但无极限B．有定义且有极限C．既无定义又无极限 D．无定义但有极限45．设函数f<x>可导,又y=f<-x>,则=〔〕A.B.C.-D.-46．设函数f<x>可导,且,则<>A．0B．C．1 D．447．设I=,则I=<>A.-cosx2B.cosx2C.-cosx2D.cosx248．数列0,,,,,…的极限是〔〕A.0B.C.1 D.不存在49．广义积分〔〕A.B.C.D.050．若cos2x是g<x>的一个原函数,则〔〕A． B．C． D．41.D42.D43.C44.D45.D46.B47.C48.C49.B50.A51.极限=〔〕A.e-3B.e-2C.e-1 D.e52．函数y=ln<>的定义域是〔〕A．|x|≤1 B．|x|<1C．0<|x|≤1 D．0<|x|<153．若f<x>为奇函数,且对任意实数x恒有f<x+3>-f<x-1>=0,则f<2>=〔〕A.-1B.0C.1 D.254．设△y=f<x0+△x>-f<x0>且函数f<x>在x=x0处可导,则必有〔〕A．△y=0 B．△y=0C．dy=0 D．△y=dy55．若曲线y=f<x>在x=x0处有切线,则导数f＇<x0>〔〕A.等于0 B.存在C.不存在 D.不一定存在56．设函数y=<sinx4>2,则导数=〔〕A.4x3cos<2x4> B.4x3sin<2x4>C.2x3cos<2x4> D.2x3sin<2x4>57．x2sin=〔〕A．0B．1C．-1 D．不存在58．若f＇<x2>=<x>0>,则f<x>=〔〕A.2x+C B.+CC.2+C D.x2+C59．设,则f<x>=〔〕A． B．-C． D．-60．设产品的利润函数为L〔x〕,则生产xo个单位时的边际利润为〔〕A．B．C． D．51.A52.C53.B54.A55.D56.B57.A58.C59.D60.C61.函数f<x>=-x的极大值点为〔〕A.x=-3B.x=-1C.x=1D.x=362．设,则〔〕A. B. C.x2x D.22x63．函数f<x>=是〔〕A.奇函数B.偶函数C.有界函数 D.周期函数64．设函数y=2x2,已知其在点x0处自变量增量时,对应函数增量的线性主部为-0.6,则x0=〔〕A.0B.1C.-0.5 D.-465．设函数f<x>在点a可导,且,则〔〕A.B.5 C.2 D.66．下列反常积分收敛的是〔〕A. B.C. D.67．下列无穷限积分中,发散的是〔〕A.B.C.D.68．设f<x>=2x,则f″<x>=〔〕A.2x·ln22 B.2x·ln4C.2x·2 D.2x·469．设某商品的需求函数为Q=a-bp,其中p表示商品价格,Q为需求量,a、b为正常数,则需求量对价格的弹性〔〕A.B.C.D.70．正弦曲线的一段y=sinxπ>与x轴所围平面图形的面积为〔〕A.1B.2C.361.B62.D63.C64.C65.A66.D67.B68.A69.D70.B71.设函数的定义域为<1,2>,则的定义域是<>A.B.C.D.72.设f<x>=ln4,则〔〕A．4B．C．0 D．73．设,则<>A.1B.-1C.0D.74．设函数,则f<x>=〔〕A．B．C． D．75．下列极限中不能应用洛必达法则的是<>A.B.C.D.76．设,则〔〕A．16!B．15!C．14! D．077．设f<x>是连续函数,且,则f<x>=<>A.B.C.D.78．〔〕A.B.C. D.79．设某商品的需求函数为Q=a-bp,其中p表示商品价格,Q为需求量,a、b为正常数,则需求量对价格的弹性〔〕A.B.C.D.80．已知生产某商品x个的边际收益为30-2x,则总收益函数为〔〕A．B．C． D．71.B72.C73.C74.B75.B76.D77.A78.B79.D80.D填空题1．=_______。2．=_______。3．设,则_____________。4．曲线在点〔0,1〕处的切线方程是。5．设,则=。6．设函数在[1,e]上满足罗尔定理的条件,则k=_______。7．设,则_________________。8．___________。9．曲线的竖直渐近线为_______________。10．微分方程的通解是______________。1.12.03.4.5.26.1-e7.8.9.x=010.11．_______。12．无穷级数的和为_________。13．设y=cos,则=_____。14．函数y=1+ln<x+2>的反函数是______。15．。16．曲线y=xe-x的拐点是________。17．已知某产品的产量为g时,总成本是C<g>=9+,则生产100件产品时的边际成本MC|g=100=________。18．微分方程y〃+x<y＇>3+siny=0的阶数为_________。19．设f<x>=,则<1>=_____。20．微分方程〔xlnx〕=y的通解是________________。11.012.13.14.15.16.17.0.2518.219.-220.21．函数的定义域是。22．___________。23．___________。24．函数的单调增加区间为。25．若的一个原函数为lnx,则。26．设直线l与x轴平行,且与曲线y=x-lnx相切,则切点是___________。27．已知某工厂生产x个单位产品的总成本函数C<x>=1100+,则生产900个单位产品时的边际成本是___________。28．___________。29．微分方程=2x<1+y>的通解是___________。30．设z=2x2+3xy-y2,则=___________。21.<2,3>∪<3,+∞>22.23.024.<-∞,+∞>25.26.27.28.29.30.331．极限=______________。32．函数y=的定义域是________________。33．极限=__________。34．抛物线y=x2上点<2,4>处的切线方程是___________。35．已知某商品的成本函数为C<q>=20-10q+q2<万元>,则q=15

时的边际成本为_________。36．设z=arctan<xy>,则=_______________。37．不定积分____________。38．定积分=_______________。39．=_______________。40．微分方程=0的通解是_______________。31.32.[-1,1>33.234.35.20<万元>36.37.38.39.40.41．n[ln<n+2>-lnn]=_______________。42．设,g<x>=x2+1,则f[g<x>]=_______________。43．函数在x=1处连续,则k=_______________。44．=_______________。45．曲线的水平渐近线为_______________。46．设函数y=lnsinx,则y″=_______________。47．设函数y=x2e-x,则其弹性函数=_______________。48．设z=,则=_______________。49．不定积分=_______________。50．微分方程〔1+x2〕dy-<1+y2>dx=0的通解是_______________。41.242.143.144.045.46.47.48.49.50.51．极限=________________。52．设函数f<x>的定义域是[-2,2],则函数f<x+1>+f<x-1>的定义域是___________。53．函数f<x>=间断点的个数为_______________。54．不定积分=__________________。55．函数f<x>在点x0处左、右导数存在且相等是函数f<x>在x0可导的___________条件。56．设f<x>连续且,则f<x>=________________。57．函数y=lnx在[1,2]上满足拉格朗日中值定理的点ξ是___________。58．微分方程xdy-ydx=2dy的通解为____________________。59．曲线y=x+lnx在点〔1,1〕处的切线方程为________________。60．设z=xexy,则=______________________。51.52.[-1,1]53.154.55.充要56.57.58.59.60.61．____________。62．设z=。63．若f<x+1>=x+cosx则f<1>=__________。64．曲线y=x3-5x2+3x+5的拐点是__________。65．若f<x>在x=x0处可导,且。66．曲线的水平渐近线为___________。67．。68．。69．。70．微分方程的通解是______________。61.-162.63.164.65.66.67.68.69.570.71．微分方程的通解是y=______________。72．已知极限存在且有限,则a=______________。73．设______________。74．不定积分______________。75．设y=,则<0>=。76．极限=______________。77．设,则______________。78．设某商品的供给函数为,则供给价格弹性函数______________。79．设f<x>=,则。80．______________。71.72.473.74.75.276.77.78.79.380.6计算题〔每小题5分,共40分〕1.求极限解：原式2.设解：3.求曲线y=x-2arctanx的凹凸区间解：令得0-+<为凸区间,为凹区间。4.计算定积分解：原式5.已知函数f<x>满足,求解：得：6.方程xyz-ln<xyz>=1确定了隐函数z=z<x,y>,求解：设,,所以：7.计算定积分I=解：8.计算二重积分I=,其中D是由y=,x=1,x=2与x轴所围成的闭区域.解：9.求极限解：原式===210.求a的值,使得函数f<x>=在x=1处连续解：=311.计算定积分I=解：12.求曲线y=x4-6x3+12x2+4x-1的凹凸区间解：令=0,得：<-∞,1><1,2><2,+∞>+_+凹凸凹所以<-∞,1>,<2,+∞>为凹区间,<1,2>为凸区间。13.设z=z<x,y>是由方程x2-z2+ln=0确定的函数,求dz解：设,,所以：所以14.求不定积分解：15.设y=x2x,求解：设16.计算二重积分I=,其中D是由直线x=2,y=x和双曲线xy=1围城的区域。解：17.求极限解：原式18.设解：19.设z=f<解：设,则故20.设y=〔〕求解：等式两端取对数得：两端求导得故21.计算不定积分解：原式22.计算定积分解：原式23.设y=x2<lnx-1>-<1-x2>lnx,求解：则24.设D是由x轴,y=x-4和y=解：平面如右图原式〔1分〕〔2分〕25.求极限解：原式====26.计算定积分解：27.设y=,求解：28.设z=z<x,y>是由方程xyz=a3所确定的隐函数,求dz解：设,则故29.求不定积分解：原式30.计算定积分解：31.设,求解：32.计算定积分解：33.求极限解：原式=34.设y=y<x>是由方程ex-ey=sin<xy>所确定的隐函数,求微分dy解：方程两边对求导得：35.设y=arctanex-ln解：原式36.计算无穷限反常积分解：37.设z=x2arctan解：38.设f<x>的一个原函数为,求不定积分xf＇<x>dx解：令39.计算定积分解：40.设D是xoy平面上由曲线y=x2,直线y=x和x=所围成的区域,求解：原式41.求极限解：原式====42.求函数f<x>=+xarctan的导数解：43.设y=x5x,求dy解：两端微分故44.求不定积分dx解：原式45.设函数f<x>=在x=0处连续,试求常数k解：因为又在处连续,所以故,即46.设方程x2+y2+z2=yez确定隐函数z=z<x,y>,求z′,zy′解：令47.计算定积分解：原式48.计算二重积分,其中D是由直线y=x,x=1以与x轴所围的区域解：原式<3分>49.求极限解：原式=50.设z=arctan,求dz解：51.设,求y′解：52.设,求y′解：53.求不定积分解：54.求的值原式=55.计算二重积分,其中D是由x=0,y=1与y=x所围成的区域解：原式=====56.设D是xoy平面上由曲线xy=1,直线y=2,x=1和x=2所围成的区域,试求解：原式57.求极限解：原式=58.设函数,试确定常数a和b的值,使得在x=0处连续解：从而：即：59.设求解：60.设,求解：61.求不定积分解：原式=62.设函数z=z<x,y>是由方程x+y+z=ez所确定的隐函数,求解：方程两边分别对x求导得：63.计算二重积分,其中D是由直线y=x,y=5x,x=1所围成的平面区域解：64.求定积分。解：原式应用题〔每小题5分,共10分〕1.已知某产品的产量为件时总成本为：〔百元〕。求件时的边际成本。解：故即,当从900件变化1件时成本要变化150元。2.设D为xoy平面上由x=0,所围成的平面区域,试求解：3.某石油公司所经营的一块油田的边际收益为R′<t>=<百万元/年>,边际成本为〔百万元/年〕,且固定成本为4百万元,求该油田的最佳经营时间？解：设为总利润函数,则令,解得〔年〕,又因,故该油田的最佳经营时间为8年。4.将一长为l的铁丝截成两段,并将其中一段围成正方形,另一段围成圆形,为使正方形与圆形面积之和最小,问这两段铁丝的长应各为多少？解：设正方形边长为x,圆形半径为r；则令正方形与圆形面积和为S<2分>则令得,且时获得极小值。所以两端铁丝分别长和〔注：先消去x,用圆形半径r带入同样得分〕5.设生产某种产品x〔百台〕时的边际成本〔万元/百台〕,边际收益〔万元/百台〕,试求：产量为多大时,利润最大？解：边际利润令,解得；又因,故产量为3.2百台〔320台〕时利润最大。6.将边长为a的一块正方形铁皮的四角各截去一个大小相同的小正方形,然后将四边折起做成一个无盖的方盒,问截去的小正方形边长为多大时所得方盒的容积最大？解：设小正方形边长为x,则方盒的容积为<1分>,令<2分>即解得<3分>因为只有点在内,切实际问题必有最大值,所以在处取最大值,故截掉的小正方向边长为时容积最大。7.欲做一个容积100的无盖圆柱形容器,问此圆柱形的底面半径r和高h解：设所用材料面积为A,则,得唯一实驻点故当〔米〕,〔米〕时所用材料最省。此时〔米2〕8.求曲线y=ex,y=e-x和直线x=1所围成平面图形的面积A以与其绕x轴旋转而成的旋转体的体积Vx。解：平面图形如右图故<1分><2分>9.欲做一个底面为长方形的带盖长方体盒子,其底边长成1∶2的关系且体积为72cm3,问其长、宽、高各为多少时,才能使此长方体盒子的表面积最小？解：设底边长分别为x和2x则方盒的表面积为：令得驻点：因为实际问题必有最小值,且驻点唯一,故当是取得最小值。此时方盒长、宽、高分别为10.设某产品总产量的变化率是t的函数〔件/天〕,求从第3天到第7天的产量。解：11.设某产品的需求函数为,求时的边际收入。解：收益函数所以当Q=10时的边际收益为12.由与所围成的图形绕x轴旋转,计算该旋转体的体积。解：13.求由抛物线和所围成图形的面积。解：29.求由抛物线和所围成图形的面积。14.欲做一个容积100的无盖圆柱形容器,问此圆柱形的底面半径r和高h分别为多少时,所用材料最省？并求此时所用材料的面积解：因为,所以,设所用材料面积为A,则得唯一实驻点,故〔米〕,〔米〕时所用材料最省。此时〔米2〕15.设区域D由曲线y=ex,y=x2与直线x=0,x=1围成.求D的面积A；解：16.求内接于半径为R的半圆且周长最大的矩形的各边边长解：设A点位内接矩形的顶点,坐标为〔x,y〕,则周长令：得驻点实际问题必有最大值,且驻点唯一,所以在处取最大值,此时矩形的各边长均为。综合题1.经过坐标原点作曲线y=lnx的切线,该切线与曲线y=lnx与x轴围成平面图形D；求：D的面积。解：设切点为由题意知：解得：2.设f<x>在[0,1]上连续,且当x[0,1]时,恒有f<x><1.证明方程在〔0,1〕内至少存在一个根。证：设,又,由介值定理在〔0,1〕内至少存在一个根3.设函数在上连