2022-2023学年新疆维吾尔自治区高一年级下册4月期中考试数学模拟试题（含解析）

2022-2023学年新疆维吾尔自治区高一下册4月期中考试数学

模拟试题(含解析)

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.

1.cos300°=()

A.yB.--C.且D.-赵

2222

2.若a与b均为实数，且b-3i=4+ai,则|。+历|=()

A.3B.4C.5D.6

3.关于向量万，b，c,下列命题中正确的是()

A.若同=|可，IjliJa=bB.若b//c>则

c.若i=—5，则万〃月D.若同>忖，则a>加

4.扇面书画在中国传统绘画中由来已久.最早关于扇面书画的文献记载，是《王羲之书六

角扇》.扇面书画发展到明清时期，折扇开始逐渐的成为主流如图，该折扇扇面画的外弧长

为24,内弧长为10,且该扇面所在扇形的圆心角约为120。，则该扇面画的面积约为()

(71«3)

A.185B.180C.119D.120

5.N8C的内角48,C所对应的边分别为a也c,若cos/=*8=；,6=E,则。的值为()

L63

A.>/2B.—C.-D.2

“52

6.如图，平行四边形/BCD中，M为8c中点，/C与相交于点P,若万=x而+y后，

则x+y=()

45

A.1B.—C."D.2

33

7.若复数4=sina+icosa,复数z?=cosa-isina,其中则复数z4所在复平

面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

8.设3，1为单位向量，-e^<42,a=et+e2,b=3ex+e2,设的夹角为<9,则cos的

的可能取值为（）

312—1629

A.-B.—C.—D.—

4131730

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中,

有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0

分.

9.下列说法正确的是（）

A.sinl50sin75°=—

4

B.cos2150-sin215°=—

2

C.sin20cosl100+cosl60sin70o=-l

D.---------!—=46

sinl50cosl5°

10.下列说法正确的是（）

A.在48c中，“sinJvsinb”是“a<6”的充要条件

B.将函数y=sin2x的图象向右平移g个单位长度得到函数y=sin（2x-：）的图象

,、3

C.存在实数了,使得等式sinx-cosx=7成立

D.在中，若sin?4+sin?5<sin?C,则48C是钝角三角形

11.已知。为坐标原点，点6（cosa,sina）,R（cos/?,-sin/）,6（cos（a+/?）,sin（a+/?））,

%Q,0）,则（）

A.国卜阿|B.|同=|福|

C.040P3=OPtO^D.OAOP,=OP2OP,

12.已知/8C的面积等于1且BC=1,内角48,C所对应的边分别为a,6,c,设三条高分别

为〃“，％，%，则下列说法中，正确的命题是（）

...8

A.B.ha'hb-hc=4siiU

Q

C.siM最大值为D.siM=行时，〃“久也.最大

第II卷

三、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分，其中16题第一空2分,

第二空3分.

3-i

13.若复数z=:」，则复数z的虚部为.

1-1

14.若tana=3,则tan（a+：）=.

15.函数/（x）=Zsin（5+o）,（4>0,①>0,0<9<兀）在一个周期内的图象如图所示，则

16.在锐角Z8C中，角A,3,。所对边的分别为。，b,c,已知边长。=2,

sinJsinC-cos5=—sinJcosC,贝UA=；48。周长的取值范围为.

3------------

四.解答题：共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知复数z=加一i（McR）.

（1）当m=1,4=彳坦，求㈤的值;

1-1

⑵若式l+3i）为纯虚数（彳是z的共辗复数），求实数皿的值.

18.平面内给定三个向量。=（3,9）,另=（2,l）,c=（-l,7）

⑴求满足£=〃石+晶的实数加，〃的值；

⑵若（£+"）〃伍+码，求实数上的值；

(3)求向量£在向量B上的投影向量的坐标.

19.设。是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(，,2/).

⑴求tan。,sin。的值；

cos(n-0)+cos|--0J

(2)求-------7——9~1的值.

20.已知向量而=(sinx,l),斤=(Jjcosx,；cos2x),函数/'(x)=比•万.

⑴求/(2)的值以及函数/")的单调增区间；

JTJT

⑵求函数/(X)在区间上的最大值.

21.如图，一个半径为3m的筒车按逆时针方向每分转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高

度为1.5m.设筒车上的某个盛水筒p到水面的距离为d(单位：m)(在水面下则"为负数),

若以盛水筒尸刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间/(单位：s)之间的关系为

⑴求d与/的函数解析式；

(2)此盛水筒P第一次进入水面到离开水面至少经过多长时间？

22.在/8C中，角4氏。所对的边分别是以久c,点。在边5c上且BO=OC.已知边

兀

c=2,Z=-且2csin4cos5=asinA-bsinB+bsinC.

3

(1)求边6的长度;

(2)若点改/分别为线段AB、线段AC上的动点，且线段EF交/。于G且A4EF的面积为

/8C面积的一半，求就.而的最小值.

答案解析

1.A

【分析】利用诱导公式和特殊角的三角函数值即可求出结果.

【详解】因为cos300°=cos(360°-60°)=cos(-60°)=cos60°=；.

故选：A.

2.C

【分析】由复数相等确定参数值，进而求复数的模.

【详解】因为b-3i=4+ai,所以。=-3,6=4,

所以|a+6i|=V9+16=5.

故选：C

3.C

【分析】利用向量相等、向量共线的条件、向量模的定义，逐一对各个选项分析判断即可得

出结果.

【详解】选项A,因为同=|可，只说明两向量的模长相等，但方向不一定相同，故选项A

错误；

选项B,当役=。时，有a〃彼，b//c，但"可以和己不平行，故选项B错误；

选项C,若G=-B，由向量相等的条件知：a//b>故选项C正确；

选项D,因向量不能比较大小，只有模长才能比较大小，故选项D错误.

故选：C

4.C

【分析】首先由弧长和圆心角求出外弧半径与内弧半径，再根据扇形面积公式$=：/，•，用

大扇形面积减去小扇形面积，即可求得答案.

【详解】设外弧长为4,外弧半径为心内弧长为加内弧半径为弓，该扇面所在扇形的圆

心角为a,

,扇形的弧长为/=ar,

・.♦A.J_=L_=36,=_£_=15，

ana7i

•.•扇形的面积为s=1>,

2

该扇面画的面积为S=A/1-!s=:x24x史—110乂”=里"119,

2227：27171

故选：C.

5.B

【分析】根据已知条件，先求出sin/,再结合正弦定理，即可求解.

【详解】・・・力£（0,兀），

/.sinA=-\/l-cos2A=—,

B=3,b=5/3,

».j>/3x—6

则由正弦定理可得，

SinD73D

T

故选：B.

6.B

【分析1由题可得等=喘=2,进而可得万=京在+而），结合条件即得.

【详解】因为平行四边形488中，M为8C中点，4C与相交于点P,

u-、］ADAP_

所以——=—=2,

CMPC

所以方=|就=|（而+珂，5LJp^xAB+yAD,

24

所以工二尸一，x+y=-.

33

故选：B.

7.D

【分析】计算得到z\z2=2sinacosa+icos2a,由a）判断出2sinacosa>0,cos2a<0,

得到答案.

2

［详解］ZjZ2=(sina+icosa)(cosa-isina)=sinacosa-isin2a+icosa-,sinacosa

二(sinacosa+sinacosa)+i(cos~a-sin2a)=2sintzcosa+icos2a,

因为所以sina〉0,cosa〉0,2sinacosa>0,

又2a£仁,兀），所以cos2a<0,

所以Z|Z?所在复平面内对应的点(2sinacosa,cos2<z)位于第四象限.

故选：D

8.D

【分析】由题意可得裾用，利用向量夹角公式可得太。=牛-中

即可求得

可能的取值.

【详解】由„为单位向量可得同=厘卜1,

根据监-可4应可得4-%W+l42,所以

228

「、3

5+3x-29

47

易知四个选项中只有系>|^,即只有D符合题意.

故选：D

9.ABC

【分析】利用正弦二倍角和余弦二倍角公式可得AB正确，由诱导公式和两角和的正弦公式

可知C正确；通过通分计算并逆用和差角公式可计算出2-----1—=40,可知D错误.

sinl5°cosl50

【详解】对于A,由诱导公式可得5亩15飞皿75°=或1115飞0515。=』5m30。=1,即A正确：

24

对于B,由二倍角公式可得cos350-sin's。=cos3(T=巫，所以B正确;

2

对于C,利用诱导公式可得

sin20°cosl10°+cosl60°sin70°=-(sin20°cos700+cos20°sir?0)=-sin(20*70)=T

对于D,化简可得

lr-2—cosl5ft--sinl50

V31_Scosl50-sinl5°_1222sin（60°-15°）「

—f-------472

sinl50cosl5°sinl5°cosl5°1sin30。

2sin-sin300

2

所以D错误;

故选：ABC

10.AD

【分析】利用正弦定理可判断A正确；由三角函数图像平移变换规则可知B错误；利用辅

助角公式可知sin%-cosxKg"，即不存在满足条件的％,C错误；由正弦定理和余弦定理可

知为钝角，D正确.

【详解】对于A,由正弦定理可得三=刍，因为siM<sin8,所以a<b,即充分性成

sinJsinn

立；

同理若则有siM<sin8,即必要性成立，所以A正确；

对于B,将函数y=sin2x的图象向右平移1个单位长度得到y=sinQ(x-扑sin(2x-詈

所以B错误；

对于C,sinx-cosx=V2sinf</2<.|,所以不存在x,使得等式sinx-cosx=|■成立，

即C错误；

对于D,若si/z+si/BvsinNc，由正弦定理可得/+从<02,

所以85。="+"一、<。即可得兀)为钝角，即D正确.

2ab(2)

故选：AD

11.AC

uumuuu

【分析】A、B写出诙，丽、AP]f的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、

D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.

【详解】A：OP}=(cosa,sina),OP2=(cos-sin/?),所以|O川ujcos：a+sin2a=1,

2

\OP21=才(cosJ3y+(—sin/?)=1,故|。月|二|OP2\,正确；

B：APX=(cosa-1,sina),4g=(cos户一1,-sin尸)，所以

22222

|APX|=-y/(cosa-l)+sina=Vcosa-2cosa+l+sina=J2(l-cosa)=^4siny=2|siny|

，同理|四|=J(cos夕-lA+sin?夕=2|sinj,故|亚正|不一定相等，错误；

C：由题意得：=1xcos(a+^)+0xsin(a+/?)=cos(a+/3),

OP}OP2=cosa-cos/?+sina•(-sinp)=cos(a+p)，正确；

D：由题意得：=lxcosa+Oxsina=cosa,

OP2OP3=cospxcos(a+)0)+(-sin夕)xsin(a+(5)

=cos(p+(a+p))=cos(a+20),故一般来说方.西片丽.砒故错误；

故选：AC

12.ABD

(分析］根据题意得到4=?也=2%=2,,可判定A正确；由Jbcsin/=1,得到sin4==，

bac乙be

21

可判定B正确；由余弦定理和bc=—二，结合基本不等式，求得cosZNl-：sin4,利用三

sinA4

Q

角函数的基本关系式，列出不等式求得OWsinZW自，可判定c错误，D正确.

【详解】由48c的面积等于1且8c=1,所以;6%=1,；。也=l,；c也=1,

97?22

则队=3也=4也所以4%4=--=白，所以A正确；

bacabcbe

又由乞csin/=l,所以sin/=1，所以％力也=4sin/,所以B正确.

由余弦定理可得cos/=忙上^二，又由儿=，，

2bcsinA

22

所以cosZx2x------=b2+c2-\2>2bc-1=2-----------1,

sinAsinA

因为/w(0,兀)，可得sin/>0,所以4cosZN4—sin4,

所以cos4>1--sinJ>0,可得cos?A>(1--sinA)2,

44

1Q

又因为cos?Z+sin?Z=1,所以(1一二sin+sin24W1,解得OWsin/4丁7,

417

Q

所以sin/的最大值为卷，且此时//八取最大值，所以C错误，D正确.

故选：ABD.

13.1

【分析】根据题意，由复数的运算将其化简，即可得到结果.

3-i(3-i)(l+i)4+2i

【详解】因为ZM7—nWrYuF—nZ+i,所以复数z的虚部为1.

故1

14.-2

【分析】由两角和的正切公式直接求解即可.

【详解】若tana=3,

n

tana+tan一

则tan[a+；43+1

l-tana.tan711-3x,

4

故答案为.-2

15.6

【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A,由周期求出。，由五点法作图求出。的值，可得

函数的解析式，从而求出/卜看)的值.

【详解】根据函数/(x)=Nsin(0X+e),(4>0,。>0,0<夕(兀)在一个周期内的图象，

一3,127r5兀兀

可得4=2,—x—=—+—,co=2.

2co1212

再根据最高点的坐标，可得2乂卜曰+*带+如，keZ,

结合夕的范围，可得笈=0,0=g,.•J(x)=2sin(2x+胡，

故如.

6.y(2石+2,6].

【分析】(1)利用三角函数恒等变形得到tan/=宕，即可求出力=?;

(2)利用正弦定理把周长转化为4+6+c=2+4sin,+^J,利用三角函数求出范围.

【详解】因为/+8+。=万，所以cos3=-cos（4+C）,所以cos8=-cosAcosC+sinJsinC.

所以sinXsinC-cos5=^-sinJcosC可化为sinJsinC+cosAcosC-sinAsinC=^-sinJcosC,即

33

cosAcosC=——sinAcosC・

3

因为4BC为锐角三角形,所以cosC>0,所以cos%=避^出力，即tan力=S\

3

因为北(。，3，所以

0<B<-

因为Z8C为锐角三角形，所以.2,解得

C2汽n冗62

2_b_c

由正弦定理得：Yj=/^=-7,即sin4Sin5sinC,所以

sm4sin5sinCsin—

3

,473.„4%46.（2TTA）

333UJ

所以48C周长：a+b+c=a++^^-sin

33<3）

=2+2百sin3+2cosB

=2+4sin（8+

因为£<5<g,所以+所以<sin（8+m）41，

623632I6J

所以2百<4sin（8+^）44,所以2道+2<2+4sin（8+高46.

即周长的范围为（2百+2,6].

故土（273+2,6]

17.（1）1

（2）3

【分析】(1)将机=1代入计算可得3=i,即可计算出㈤=1；

(2)由共轨复数定义可知~(1+3i)=m-3+(3机+l)i,再由纯虚数定义可知"?=3.

【详解】(1)当m=l时，可得4=与叶二=*^—；===「

1-1(1-1)(1+1)2

则㈤=1.

(2)易知z=加-i的共飘复数5=加+i,

所以＞(1+3。=(5+1)(1+3。=根-3+(37«+1》为纯虚数，

所以实数用的值为3.

18.⑴阳=2,，?=1

(2)1

(3)(6,3)

【分析】(1)由3=加彼+应，根据向量的坐标表示列出方程组，即可求解；

(2)由«+")//0+无)，根据共线向量的坐标表示，列出方程，即可求解；

(3)分别求得|=且同cos(词=36，进而求得量°在向量上的投影向量的

坐标.

【详解】⑴解：由向量£=(3,9)F=(2,1)R=(T,7),

因为2=〃石+〃方，可得(3⑼=阳(2,1)+〃(-1,7)=(2/«,»?)+(-〃,7")=(2%-"加+7"),

~I2m一〃=3

所以〃，+7〃=9'解得仅=2,〃=1.

(2)解：由题意可得万+万=(3,9)+(7,7)=(2,16),很+1=(2,1)+左(-1,7)=(2,1+7左)

因为(Z+4//0+无)，可得2(1+7%)-16(2-笈)=0,解得左=1.

则向量"在向量B上的投影向量的坐标为3石岛U=(6,3).

19.(I)tan0=2；当，〉0时,sin。=2',当f<0时，sin®=—2近

55

喈

【分析】(1)利用三角函数定义代入计算即可得出结果；

(2)利用诱导公式和两角和的正弦公式化简后代入计算即可得结果.

八2/C-八2/2/

【详解】(1)由三角函数定义得tand=]■=2,sin，=+=商，

当/>0时，sin*撞，

5

当，＜0时，sin9=-还

5

（2）易得

coss_R+cos^_"j_-cose+sine_tan"l_tanj_,(tan"l)

sin(6+力f(sin6+cos®)f(tan®+1)f(tan®+l)佃皿+1)

由(1)得tan。=2代入计算可得，原式=收(2-1)=1.

2+13

20.(1)-三+伍聿+女兀,(/reZ)

(2)1

【分析】（1）由已知利用平面向量数量积的坐标运算写出/（x）,再由辅助角公式化简，即

可求解/（5）的值以及函数/（X）的单调增区间；

（2）由x的范围求得2x+£的范围，即可求得Ax）的最大值.

6

《2代）

【详解】(1)f^x)=ih-n=VJsinACOSXcos2x=si

sinf3x-^=sin—=1

2

令一]+24兀<2x+^<^+2kn,(^kGZ)

/.——+ku<x^—+kn人k£Z)

rr-rr

则/（X）的单调递增区间为++E，伏eZ）

3o

71兀，1C兀71571

(2)VXG—2xH---£

6'36

・•・函数Lsinr在一：、单调递增，值存单调递减,

62）k26

...当2X+£=5,即x=g时，函数/(x)有最大值1

626

21.(l)d=3sin]—/—|+1.5

v1206J

40

(2)ys

【分析】（1）根据"的最值即可求得4=3,K=1.5,再利用转速和即可求得

,r•(兀兀、、广

d—3sin—t—+1.5；

1206J

(2)利用正弦函数单调性即可解得dWO时，的取值范围，进而求得经过的时间.

[详解】(1)由题意知4陋=/+犬=4.5,"向„=_>1+长=_1.5;

可得K=1.5,A=3

由于每分钟转1.5圈，所以周期T=40s,o=^=^

贝!|/1)=3$诒(4£+，+1.5.

当f=0时,刚浮出水面，即/(O)=3sin*+1.5=O

又可得0=J

226

则d与/的函数解析式为"=3sin+1.5

\20O

(2)盛水筒进入水面时.40,令3sin9/-