2024年高考数学一轮复习艺体生高频考点专用复习讲义 古典概型

【艺体生专供一选择填空抢分专题】备战2023年高考高频考点题型精讲+精练(新高考通用)

专题06古典概型

一、考向解读

考向：古典概型是以实际问题为背景，构建数学模型，突出考查概率的思想和考生的数据

处理能力及应用意识。

考点：古典概型

导师建议：审题至关重要，优先找到“分母”。

二、知识点汇总

1.古典概型的概念

1.定义：一般地，如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是有限的(简称为有限性)，

而且可以认为每个只包含一个样本点的事件(即基本事件)发生的可能性大小都相等(简称为

等可能性)则称这样的随机试验为古典概率模型，简称为古典概型.

2.古典概型的概率公式

古典概型中，事件发生的概率可以通过下述方式得到：假设样本空间含有n个样本点，由古典

概型的定义可知，每个基本事件发生的可能性大小都相等，又因为必然事件发生的概率为1,

因此由互斥事件的概率加法公式可知每个基本事件发生的概率均为士此时，若事件C

n

777

包含有m个样本点，则再由互斥事件的概率加法公式可知P(C)=一”

n

【常用结论】

,人、事件A包含的样本点的个数mi

1.P

。中包含的样本点的个数n

/A。、AB中包含的样本点的个数m

2.P一。中包含的样本点的个数一小

A+B中包含的样本点的个数—mi+ni2-m

3.P(A+B)=：：=P(A)+P(B)-P(AB)o

。中包含的样本点的个数n

注意：设A,B是Q的两个事件，则P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),这就是概率的

一般加法公式，该公式也适合A,B为互斥事件的情况，因为P(AB)=0o

三、题型专项训练

①计算古典概型问题的概率

一、单选题

I.掷一枚均匀骰子两次，所得点数之和为10的概率是（）

D-6

【答案】B

【详解】掷一枚均匀骰子两次，共有36种情况，

所得点数之和为10,共有（4,6）,（6,4）,（5,5）,

所以点数之和为10的概率是9.故选：B

3612

2.欧几里得大约生活在公元前330~前275年之间，著有《几何原本》《已知数》《圆锥曲线》《曲面轨迹》

等著作.若从上述4部书籍中任意抽取2部，则抽到《几何原本》的概率为（）

A.gB.-C.-D.-

2346

【答案】A

【详解】记4部书籍分别为a、b、c、d,则从从4部书籍中任意抽取2部的基本事件为a。、ac、血、be、

bd、〃共有6个，抽到《几何原本》的基本事件为曲、*、ad共有3个，所以抽到《几何原本》的概率

为：尸=：=：•故选：A.

3.现从2个男生2个女生共4人中任意选出2人参加巴蜀中学高三年级的百日誓师大会，已知选出的2人

中有一个是男生，则另一个是女生的概率为（）

A.；B.-C.-D.-

2356

【答案】C

【分析】列举法求古典概型概率.

【详解】假设两名男生为A,4,两名女生为耳，B2,

从中任选两人有男生的情况有：44，A片，&月，4当，&与共5种情况，

其中一男一女的情况有4种，故所求概率为搭，故选：C

4.某居委会从5名志愿者中随机选出3名参加周末的社区服务工作，则甲被选上，且乙和丙恰有一人被选

上的概率为（）

A.-B.1C.-D.—

52510

【答案】A

【分析】利用古典概型即可求得甲被选上，且乙和丙恰有一人被选上的概率.

【详解】设这5名志愿者为甲，乙，丙，a,b,

从5名志愿者中随机选出3名，共有10种可能的结果：

（甲，乙，丙），（甲，乙，a）,（甲，乙，b）,（甲，丙，a）,（甲，丙，b）,

（甲，a,b）,（乙，丙，a）,（乙，丙，b）,（乙，a,b）,（丙，a,b）,

其中甲被选上，且乙和丙恰有一人被选上包含4种情况

则甲被选上，且乙和丙恰有一人被选上的概率为丘=,故选：A

5.围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载“尧造围棋，丹朱善之”，围棋至今已有四千多年历史，蕴含

着中华文化的丰富内涵.在某次国际比赛中，中国派出包含甲、乙在内的5位棋手参加比赛，他们分成两个

小组，其中一个小组有3位，另外一个小组有2位，则甲和乙在同一个小组的概率为（）

7r3-2

A.—B.—C.—D.—

105510

【答案】C

【分析】这5名棋手分别记为：甲，乙，A,B,C,利用列举法写出基本事件，最后利用古典概型的概率公

式即可求解.

【详解】这5名棋手分别记为：甲，乙，A,B,C,分组情况有：

（甲乙A,BC）,（甲乙8,AC）,（甲乙C,AB）,（甲,乙C）,（甲AC,乙B）

（甲8C,乙A）,（乙AB,甲C）,（乙AC,甲5）,（,乙BC,甲A）,{ABC,甲乙）共10种,

其中甲和乙在同一人组的有4种，分别为：（甲乙A,BC），（甲乙8,AC）,（甲乙C,AB）,（ABC,

42

甲乙），所以甲和乙在同一个小组的概率为尸=记=［故选：C.

6.我们的祖先创造了一种十分重要的计算方法：筹算.筹算用的算筹是竹制的小棍，也有骨制的.据《孙子

算经》记载，算筹记数法则是：凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当.即在算

筹计数法中，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，如图所示，

例如：_LII表示62,=丁表示26,现有5根算筹，据此表示方式表示两位数（算筹不剩余且个位不为0）,

则这个两位数大于40的概率为（）

纵式：IIIIIIIIIIIIIIITKI1

横式:—=—=।।——

12345678~9~

【答案】B

【分析】根据5根算筹，分为四类情况：4+1,3+22+3,1+4,然后逐一列举所表示的两位数，再根据古典

概型概率公式即得.

【详解】根据题意可知：一共5根算筹，十位和个位上可用的算筹可以分为4+1,3+2,2+3,1+4共四类情况；

第一类：4+1,即十位用4根算筹，个位用1根算筹，那十位可能是4或者8,个位为1,则两位数为41

或者81；

第二类：3+2,即十位用3根算筹，个位用2根算筹，那十位可能是3或者7,个位可能为2或者6,故两

位数可能32,36,72,76；

第三类：2+3,即十位用2根算筹，个位用3根算筹，那么十位可能是2或者6,个位可能为3或者7,故

两位数可能是23,27,63,67；

第四类：1+4,即十位用1根算筹，个位用4根算筹，那么十位为1,个位可能为4或者8,则该两位数为

14或者18,

综上可知：所有的两位数有14,18,23,27,32,36,41,63,67,72,76,81共计12个,

其中大于40的有41,63,67,72,76,81共计6个，

故这个两位数大于40的概率为故选：B.

②有无放回抽取问题的概率

7.袋中装有标号分别为1,2,3,4的四个大小相同的小球，现从中有放回地取两次（每次只取一个球），

则两次取出的小球的标号数之差的绝对值为2的概率是（）

A.—B.—C.—D.一

2346

【答案】C

【分析】从中有回放地取两次，每次取球有4种结果，所以有16种结果，再利用列举法能求出两次取出的

小球的标号数之差的绝对值为2的结果，从而求出概率.

【详解】从中有回放地取两次，每次取球有4种结果，所以有4x4=16种结果,

其中标号数之差的绝对值为2的有（1,3）,（2,4）,（3,1）,（4,2）共4种结果，

所以两次取出的小球的标号数之差的绝对值为2的概率是P=24=；1.故选：C.

164

8.天河英才秋季运动会三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”，现将三张分别印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”

这三个图案的卡片（卡片的形状、大小和质地完全相同）放入盒子中.若从盒子中依次有放回地取出两张卡片,

则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是（）

【答案】C

【分析】本题为古典概型概率，首先列举所有基本事件数，找出满足条件的事件数，即可解决问题.

【详解】设三张卡片“琮琮”“宸宸”“莲莲”依次记为48,C,若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则基

本事件为：AB,AC,BC,AA,BB,CC,BA,C4,C3共9种，

则其中一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的基本事件为：共2种，所有所求概率为P=；故选：C.

9.现将三张分别印有数字“1”“2”“3”的卡片(卡片的形状、大小和质地完全相同)放入一个盒子中.若从盒

子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“1”，一张为“2”的概率是()

A.-B.-C.-D.-

3399

【答案】C

【分析】由条件列出所有基本事件，再确定事件一张为“1”，一张为“2”中所包含的基本事件数，再利用古

典概型概率公式求其概率.

【详解】从盒子中依次有放回地取出两张卡片，取出的所有可能情况为(1,1),(1,2),(1,3),

(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共9种.

满足一张为“1”，一张为“2”的的取法为(1,2),(2,1),共2种情况，

所以所求的概率P=?故选：C.

10.一个袋中有个3红球，绿球5个绿球，采用不放回的方式从中依次随机地取出2个球，则取到同色球的

概率为()

3-13-13「3

AA.—B.—C.—D.—

60602828

【答案】C

【分析】列出样本空间，确定事件取到同色球所含的样本点的个数，利用古典概型的概率公式求概率即可.

【详解】记绿球为1,2,3,4,5,红球为A,B,C,则采用不放回的方式从中依次随机地取出2个球的

所有结果有：(A,1),(A,2),(A,3),(A,4),(A,5),(A,B),(A,C),(B,1),(B,2),(B,3),(B,

4),(B,5),(B,C),(C,1),(C,2),(C,3),(C,4),(C,5),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,

3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共计28个基本事件，其中取得同色球的结果有13个，由古

13

典概型概率公式可得事件取到同色球的概率故选：C.

2o

11.盒子中有6个乒乓球，其中4新2旧，从中取2个来用，用完后放回盒中.设此时盒中旧乒乓球的个数

为4,则P(J=3)等于()

【答案】D

【分析】通过用完后，将球放回盒中有3个旧球，可知取出的2个球1新1旧，从而可求解答案.

【详解】盒子中有6个乒乓球，其中4新2旧，从中取2个来用，用完后放回盒中.

设此时盒中旧乒乓球的个数为4=3说明取出的2个球1新1旧，则P（J=3）=]>=R.

故选：D.

12.袋中有1个白球，2个黄球，先从中摸出一球不放回，再从剩下的球中摸出一球，两次都是黄球的概率

为（）

A.—B.—C.7?D.一

6324

【答案】B

【分析】利用古典概型的概率公式求解.

【详解】解：由题得试验的所有基本事件个数为C；C；=6，两次都是黄球的基本事件个数为&=2,

21

由古典概型的概率公式得两次都是黄球的概率为P=2=：.故选：B

13.十二生肖是十二地支的形象化代表，即子（鼠）、丑（牛）、寅（虎）、卯（兔）、辰（龙）、巳（蛇）、

午（马）、未（羊）、申（猴）、酉（鸡）、戌（狗）、亥（猪），每一个人的出生年份对应了十二种动

物中的一种，即自己的属相.现有印着十二生肖图案的毛绒娃娃各一个，小张同学的属相为马，小李同学的

属相为羊，现在这两位同学从这十二个毛绒娃娃中各随机取一个（不放回），则这两位同学都拿到自己属

相的毛绒娃娃的概率是（）

A.—B.—C.—D.—

1441326633

【答案】B

【解析】由题知这两位同学各取一个毛绒娃娃有12x11种取法，而他们都拿到自己属相的毛绒娃娃有1种

取法，故可由古典概率公式计算可得.

【详解】小张、小李同学各取一个毛绒娃娃，共有12x11种取法，这两位同学都拿到自己属相的毛绒娃娃

有1种取法，故所求概率尸=目7=士.故选：B

12x11132

【点睛】本题主要考查古典概型的计算，考查学生的应用意识与数学抽象的核心素养.

③根据古典概型的概率求参数

14.一个袋子中装有形状大小完全相同的6个红球，"个绿球，现采用不放回的方式从中依次随机取出2

个球.若取出的2个球都是红球的概率为g,则〃的值为（）

A.4B.5C.12D.15

【答案】A

【分析】利用古典概型概率计算公式列出方程，能求出”的值.

【详解】一个袋子中有若干个大小质地完全相同的球，其中有6个红球，“个绿球，

从袋中不放回地依次随机取出2个球，取出的2个球都是红球的概率是:，

6x51

则（6+而5+〃厂§，解得"=4（负值舍去）•故选：A.

15.在一个不透明的袋子中，装有若干个大小相同颜色不同的小球，若袋中有2个红球，且从袋中任取一球，

取到红球的概率为g,则袋中球的总个数为（）

A.5B.8C.10D.12

【答案】C

【解析】设袋中球的总个数为"，根据已知条件可得出关于”的等式，由此可求得〃的值.

【详解】设袋中球的总个数为"，由题意可得42=21,解得"=10.故选：C.

16.中国古典戏曲四大名著是《牡丹亭》《西厢记》《桃花扇》和《长生殿》，它们是中国古典文化艺术

的瑰宝.某戏曲学院图书馆藏有上述四部戏曲名著各10本，由于该戏曲学院的部分学生对《牡丹亭》这部戏

曲产生了浓厚的兴趣，该戏曲学院图书馆决定购买一批《牡丹亭》戏曲书籍（其他三部数量保持不变）若干本.

若要保证购买后在该戏曲学院图书馆所藏有的这四大戏曲名著中任取一本，使得能取到一本《牡丹亭》戏

曲书籍的概率不小于0.6,则该戏曲学院图书馆需至少购买《牡丹亭》戏曲书籍（）

A.25本B.30本C.35本D.40本

【答案】C

【分析】设需购买《牡丹亭》戏曲书籍x本，由古典概率的计算公式可得答案.

【详解】设需购买《牡丹亭》戏曲书籍x本，则购买后

该戏曲学院图书馆所藏有的这四大戏曲名著共40+x,从中任取1本有40+x种取法.

《牡丹亭》戏曲书籍共10+x,从中任取1本有10+x种取法.

从该戏曲学院图书馆所藏有的这四大戏曲名著中任取一本，使得能取到一本《牡丹亭》戏曲书籍的概率为

40+x

根据题意可得解得xZ35,

40+x

即该戏曲学院图书馆需至少购买《社丹亭》戏曲书籍35本.故选：C

17.《镜花缘》是清代李汝珍的长篇小说，书中有这样一个情节：一座阁楼到处挂满了五彩缤纷的大小灯

球，灯球有两种，一种是大灯下缀2个小灯，另种是大灯下缀4个小灯，大灯共360个，小灯共1200个.若

在这座楼阁的灯球中，随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为()

119958

10771077

【答案】C

【分析】设有x个大灯球下缀有2个小灯，V个大灯球下缀有4个小灯，列方程组求解，再由排列组合知识

可得结果.

【详解】设有x个大灯球下缀有2个小灯，,个大灯球下缀有4个小灯，

x+y=360%=120

2x+4y=12007=240

设随机抽取2个灯球,至少有一个是下缀有4个小灯的大灯球为事件A

故选：C

④利用概率的加法公式计算古典概型的概率

18.甲和乙两个箱子中各有质地均匀的9个球(两个箱子中球的大小和形状完全相同)，其中甲箱中有4

个红球，2个白球，3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球，2个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入到

乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，记事件A表示“从乙箱中取出的球是红球”，则P(A)=()

।2414

A.-B.—C.-D.—

29945

【答案】C

［分析］根据互斥事件的加法公式和古典概型的概率公式可求出结果.

45544

［详解］P(A)=-x—+-x—=-.^：C

9109109

19.2021年12月9日，中国空间站太空课堂以天地互动的方式，与设在北京、南宁、汶川、香港、澳门的

地面课堂同步进行.假设香港、澳门参加互动的学生人数之比为5：3,其中香港课堂女生占：，澳门课堂女

生占g,若主持人向这两个分课堂中的一名学生提问，则该学生恰好为女生的概率是()

【答案】C

【分析】利用互斥事件概率加法公式计算古典概型的概率即可得答案.

【详解】解：因为香港、澳门参加互动的学生人数之比为5：3,其中香港课堂女生占三3，澳门课堂女生占1"

所以香港女生数为总数的15x：3=39,澳门女生数为总数的311

o5oo3o

所以提问的学生恰好为女生的概率是3+51=1：.故选：C.

oo2

20.将一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成27个同样大小的小正方体，从这些小正方体中任取一个，其

中至少两面涂有颜色的概率是（）

8「12-20

A.—B.—C.—D.—

27272727

【答案】C

【分析】先计算基本事件的总数有27个，然后计算出满足条件的基本事件个数，代入古典概型概率公式即

可得到答案.

【详解】一块各面均涂有颜色的正方体被锯成27个同样大小的小正方体，

其中满足两面有颜色的小正方体有12个，三面涂有颜色的小正方体有8个，

19_i_270

故从中随机地取出一个小正方体，至少两面涂有颜色的概率「=争^=叫故选：C.

四、高考真题及模拟题精选

一、单选题

1.（2022・全国•统考高考真题）从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到

的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（）

A.-B.-C.-D.-

5353

【答案】C

【分析】方法一：先列举出所有情况，再从中挑出数字之积是4的倍数的情况，由古典概型求概率即可.

【详解】［方法一］:【最优解】无序

从6张卡片中无放回抽取2张，共有

（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,（3,4）,（3,5）,（3,6）,（4,5）,（4,6）,（5,6）15种情况,其中数字

之积为4的倍数的有（1,4）,（2,4）,（2,6）,（3,4）,（4,5）,（4,6）6种情况，故概率为2=|.

［方法二］:有序

从6张卡片中无放回抽取2张，共有

（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,（3,4）,（3,5）,（3,6）,（4,5）,（4,6）,（5,6）,（2,1）,（3,1）,（4,1）,（5,1）,

(6,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(5,4),(6,4),(6,5)30种情况，

其中数字之积为4的倍数有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,4),(6,2),(6,4)12种情况,故概率

为篙12=2/故选：C.

【整体点评】方法一：将抽出的卡片看成一个组合，再利用古典概型的概率公式解出，是该题的最优解；

方法二：将抽出的卡片看成一个排列，再利用古典概型的概率公式解出；

2.(2022.全国•统考高考真题)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为()

A.-B.-C.；D.-

6323

【答案】D

【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.

【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C；=21种不同的取法，

若两数不互质，不同的取法有：(2,4),(2,6),(2,8),(3⑹,(4,6),(4,8),(6,8),共7种，

故所求概率P="21-7=]2.故选：D.

3.(2022・全国•统考高考真题)分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长(单位：h),

得如下茎叶图：

甲乙

615.

85306.3

75327.46

64218.12256666

429.0238

10.1

则下列结论中错误的是()

A.甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4

B.乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8

C.甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4

D.乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6

【答案】C

【分析】结合茎叶图、中位数、平均数、古典概型等知识确定正确答案.

【详解】对于A选项，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为上73+产75=7.4,A选项结论正确.

对于B选项，乙同学课外体育运动时长的样本平均数为：

6.3+7.4+7.6+8.1+8.2+8.2+8.5+8.6+8.6+8.6+8.6+9.0+9.2+9.3+9.8+10.1

=8.50625>8,

16

B选项结论正确.

对于C选项，甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值提=0.375<0.4,

C选项结论错误.

对于D选项，乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值廿13=0.8125>0.6,

D选项结论正确.故选：C

4.（2022・四川成都•统考模拟预测）纸箱里有编号为1到9的9个大小相同的球，从中不放回地随机取9

次，每次取1个球，则编号为偶数的球被连续抽取出来的概率为（）

A.—B.—C.—D.—

4122116

【答案】C

【分析】利用相邻元素捆绑法和古典概型公式求解即可.

【详解】从纸箱中不放回地随机取9次，共有瑞种情况，

偶数的球被连续抽取出来，共有4星，

则偶数的球被连续抽取出来的概率「=早=3.故选：C

5.（2021.全国.高考真题）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）

A.0.3B.0.5C.0.6D.0.8

【答案】C

【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.

【详解】解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：

00111,01011,01101,01110,10011,10101,10110,11001,11010,11100,

共10种排法，

其中2个0不相邻的排列方法为：

01011,01101,01110,10101,10110,11010,共6种方法，

故2个0不相邻的概率为搐=0.6,故选：C.

6.（202。山东•统考高考真题）现有5位老师，若每人随机进入两间教室中的任意一间听课，则恰好全都

进入同一间教室的概率是（）

A.—B.—C.—D.—

25162532

【答案】B

【分析】利用古典概型概率公式，结合分步计数原理，计算结果.

【详解】5位老师，每人随机进入两间教室中的任意一间听课，共有25=32种方法，

其中恰好全都进入同一间教室，共有2种方法，所以P=S=2.故选：B

32lo

7.（2020•全国•统考高考真题）设。为正方形A8CD的中心，在O,A,B,C,。中任取3点，则取到的3

点共线的概率为（）

【答案】A

【分析】列出从5个点选3个点的所有情况，再列出3点共线的情况，用古典概型的概率计算公式运算即

可.

【详解】如图，从。ABGO5个点中任取3个有

{O,A,B},{O,A,C},{O,A,D},{O,B,C}

{O,B,D},{O,C,D},{A,B,C},{A,B,D]

{AC,D},{3,C,D}共10种不同取法，

3点共线只有{AO,C}与{民。,£>}共2种情况，由古典概型的概率计算公式知，

取到3点共线的概率为言/故选：A

【点晴】本题主要考查古典概型的概率计算问题，采用列举法，考查学生数学运算能力，是一道容易题.

二、填空题

8.（2022.全国•统考高考真题）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的

概率为.

3

【答案】

【分析】根据古典概型计算即可

【详解】解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3,从5名同学中随机选3名，

有：（甲，乙，1）,（甲,乙，2）,（甲,乙，3）,（甲，1,2）,（甲,1,3）,（甲，2,3）,（乙,1,2）,（乙，1,

3）,（乙，2,3）,（1,2,3）,共10种选法；

33

其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率尸=历.故答案为：］（）.

解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为C；=10

甲、乙都入选的方法数为C；=3,所以甲、乙都入选的概率P=A故答案为：-

9.（2020•江苏・统考高考真题）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和

为5的概率是.

【答案】|

【分析】分别求出基本事件总数，点数和为5的种数，再根据概率公式解答即可.

【详解】根据题意可得基本事件数总为6x6=36个.

点数和为5的基本事件有（1,4）,（4,1）,（2,3）,（3,2）共4个.

411

...出现向上的点数和为5的概率为P=O=K故答案为：

3699

【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

10.（2022•全国•统考高考真题）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为.

【答案】—.

【分析】根据古典概型的概率公式即可求出.

【详解】从正方体的8个顶点中任取4个，有几=C；=70个结果，这4个点在同一个平面的有根=6+6=12个,

故所求概率P='==3故答案为：

n703535

五、题型精练，巩固基础

一、单选题

1.（2022・上海•高二专题练习）从集合｛2,4,6,8｝中任取两个不同元素，则这两个元素相差2的概率为（）.

112

A.B.C.D.

3243

【答案】B

【分析】一一列出所有基本事件，然后数出基本事件数”和有利事件数加，代入古典概型的概率计算公式

P=~,即可得解.

n

【详解】解：从集合｛2,4,6,8｝中任取两个不同元素的取法有（2,4）、（2,6）、（2,8）、（4,6）、（4,8）、（6,8）共

6种，其中满足两个元素相差2的取法有（2,4）、（4,6）、（6,8）共3种.故这两个元素相差2的概率为3.

故选：B.

2.（2022秋.北京.高二北京二中校考阶段练习）袋中有2个白球，2个黑球，若从中任意摸出2个，则至少

摸出1个黑球的概率是（）

A.-B.-C.-D.-

6346

【答案】D

【分析】直接利用古典概型的概率公式求解即可.

【详解】设2个白球为A、B,2个黑球为b,

则有A3、Aa.Ab.Ba、Bb、而共6种等可能的结果，

事件“至少摸出1个黑球”所含有的基本事件为4/、Ab、Ba、Bb、而共5种，

根据古典概型的概率公式可知，事件“至少摸出1个黑球”的概率是故选:D.

3.（2022•高一单元测试）在新冠疫情的冲击下，全球经济受到重创，右图是各国公布的2020年第二季度

国内生产值（GDP）同比增长率，现从这5个国家中任取2个国家，则这2个国家中第二季度GDP同比增

长率至少有1个低于—15%的概率为（）

二季度GDP同比增长

【答案】D

【分析】利用列举法求解即可

【详解】解：令中国、澳大利亚、印度、英国、美国的2020年第二季度国内生产值(GDP)同比增长率分

别为A,B,C,D,E,其中C,D都低于-15%,则从这5个国家中任取2个国家有：

AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE共10种，

7

其中至少有1个低于-15%有AC,AD,BC,BD,CD,CE,DE共7种，所以所求概率为5.

故选：D.

4.(2022・高一课时练习)在一个不透明的袋子中，装有若干个大小相同颜色不同的小球，若袋中有2个红

球，且从袋中任取一球，取到红球的概率为：，则袋中球的总个数为()

A.5B.8C.10D.12

【答案】C

【解析】设袋中球的总个数为〃，根据已知条件可得出关于”的等式，由此可求得〃的值.

21

【详解】设袋中球的总个数为〃，由题意可得*=解得〃=10.故选：C.

n5

5.(2022・高一单元测试)连续掷两次骰子，设先后得到的点数为相，n,则根〉〃的概率是()

A"B.-C.—D.—

231812

【答案】D

【分析】利用古典概型的概率求解.

【详解】依题意知基本事件的种数为6x6=36,

其中机>”的事件为⑵1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),

(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),共15种，

根据古典概型的概率公式可得所求概率为P=¥故选：D

3612

6.(2022・高一课时练习)将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为a,b,设事件”为“方程

法+i=o有实数解，，，则事件M中含有样本点的个数为()

A.6B.17C.19D.21

【答案】C

【分析】根据6224a可得随机事件中含有的基本事件的个数.

【详解】•••方程62+次+1=0(。工0)有实数解，一4420,

则M含有的样本点为:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6).

（3,4）,（3,5）,（3,6）,（4,4）,（4,5）,（4,6）,（5,5）,（5,6）,（6,5）,（6,6）,共19个，故选：C.

7.（2023•全国•高一专题练习）为防控新冠疫情，很多公共场所要求进入的人必须佩戴口罩.现有人在一

次外出时需要从蓝、白、红、黑、绿5种颜色各1只的口罩中随机选3只不同颜色的口罩，则蓝、白口罩

同时被选中的概率为（）

A.—B.-C.-D.-

10753

【答案】A

【分析】先列举基本事件，再利用古典概型的概率公式求解.

【详解】从蓝、白、红、黑、绿5种颜色的口罩中选3只不同颜色的口罩，基本事件列举如下：

（蓝白红），（蓝白黑），（蓝白绿），（蓝红黑），（蓝红绿），（蓝黑绿），（白红黑），（白红绿），

（白黑绿），（红黑绿），共有10个基本事件，

其中蓝、白口罩同时被选中的基本事件有（蓝白红），（蓝白黑），（蓝白绿），共含3个基本事件，

所以蓝、白口罩同时被选中的概率为A.故选：A.

8.（2023・全国•高三专题练习）某高校组织大学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，分别是“中华古诗词”“社

会主义核心价值观”“科学实践观”“中国近代史”及“创新发展能力”.某参赛队从中任选2个版块作答，贝广创新

发展能力”版块被该队选中的概率为（）

A.1B.-C.-D.|

2543

【答案】B

【分析】将五个版块依次记为A,B,C,D,E,利用列举法写出样本空间，结合古典概型的计算公式计算

即可求解.

【详解】将五个版块依次记为A,B,C,D,E,

则有（AB）,（AC）,（A。）,（氏E）,（C,。）,（C,E）,（D,E）共10种结果.

某参赛队从中任选2个版块作答，贝！创新发展能力”版块被该队选中的结果

有（A,E）,（民E）,（C,£）,（£）,£）,共4种，

贝!1“创新发展能力”版块被选中的概率为P=*4=2故选：B.

9.（2022秋•广东惠州•高三统考阶段练习）从2,4,6,8中任取2个不同的数。,6,贝4=4的概率是（）

A.—B.—C.—D.一

2346

【答案】B

【分析】列举从2,4,6,8中任取2个不同的数的所有结果，共6个基本事件，符合条件的共2个基本事

件，结合古典概型计算结果.

【详解】从2,4,6,8中任取2个不同的数。力，共有（2,4）,（2,6）,（2,8）,（4,6）,（4,8）,（6,8）6个基本事件，取出

的2个数之差的绝对值为4有（2,6）,（4,8）2个基本事件，所以所求概率为尸=高=故选：B.

10.（2022.全国•高三专题练习）两枚相同的正方体骰子，六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6,同时掷两枚骰

子，则两枚骰子朝上面的数字之积能被6整除的概率为（）

11r5-5

A.—B.—C.—D.—

3618312

【答案】D

【分析】根据题意，列举出所有的可能性，从而得到数字之积能被6