高等数学（第五版）课件 5.5 定积分在几何上的应用

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第五章定积分第五节

定积分在几何上的应用

什么问题可以用定积分解决?

定积分定义一、定积分的微元法如何应用定积分解决问题?

上述两步解决问题的方法称为微元法。二、平面图形的面积

于是所求平面图形的面积为

故所求的平面图形的面积为

解两曲线的交点

分割为两部分之和

故

由此我们看到，积分变量选取适当，则可使计算简便.三、立体的体积1.

平行截面面积为已知的立体体积如果一空间立体被垂直于某直线的平面所截的截面面积可求，则该立体的体积可用定积分进行计算。

例4求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、h为高的正劈锥体的体积。解

于是，所求正劈锥体的体积为

2.旋转体的体积

于是利用旋转体的体积的计算公式可求得旋转椭球体的体积为

类似地，椭圆绕y轴旋转而得旋转椭球体的体积为

解

故所求平面图形绕x轴旋转所得的旋转体的体积为

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