江苏省苏州市星湾中学2023-2024学年数学九年级第一学期期末达标测试试题含解析

江苏省苏州市星湾中学2023-2024学年数学九年级第一学期期末达标测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，四边形内接于，为直径，，过点作于点，连接交于点．若，，则的长为（）A．8 B．10 C．12 D．162．一元二次方程3x2﹣x＝0的解是（）A．x＝ B．x1＝0，x2＝3 C．x1＝0，x2＝ D．x＝03．如果用线段a、b、c，求作线段x，使，那么下列作图正确的是（）A． B．C． D．4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若⊙O的半径，AC＝2，则cosB的值是()A．B．C．D．5．若反比例函数y=图象经过点（5，-1），该函数图象在（）A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限6．如图，在中，点D，E分别为AB，AC边上的点，且，CD、BE相较于点O，连接AO并延长交DE于点G，交BC边于点F，则下列结论中一定正确的是A． B． C． D．7．如图，AB为⊙O的弦，AB＝8，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝1，则⊙O的半径为（）A．8.5 B．7.5 C．9.5 D．88．下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A． B． C． D．9．分别写有数字0，﹣1，﹣2，1，3的五张卡片，除数字不同外其他均相同，从中任抽一张，那么抽到负数的概率是（）A． B． C． D．10．定义A*B，B*C，C*D，D*B分别对应图形①、②、③、④：那么下列图形中，可以表示A*D，A*C的分别是（）A．（1），（2） B．（2），（4） C．（2），（3） D．（1），（4）11．正八边形的中心角为（）A．45° B．60° C．80° D．90°12．下列函数中，变量是的反比例函数是（）A． B． C． D．二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若正三角形边长为6cm，则该莱洛三角形的周长为_____cm．14．如图，在中，，，，是上一点，，过点的直线将分成两部分，使其所分成的三角形与相似，若直线与另一边的交点为点，则__________．15．有一个正十二面体，12个面上分别写有1~12这12个整数，投掷这个正十二面体一次，向上一面的数字是3的倍数或4的倍数的概率是．16．如图，矩形ABCD中，AB=3cm，AD=6cm，点E为AB边上的任意一点，四边形EFGB也是矩形，且EF=2BE，则S△AFC=__________cm2.17．我国南宋数学家杨辉曾提出这样一个问题：“直田积（矩形面积），八百六十四（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少12步），问阔及长各几步．”如果设矩形田地的长为x步，那么根据题意列出的方程为_____．18．二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③一元二次方程的解是，；④当时，，其中正确的结论有__________．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，已知是的直径，是的弦，点在外，连接，的平分线交于点.（1）若，求证：是的切线；（2）若，，求弦的长.20．（8分）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，点D在边AC上，且DE⊥AC交BC于点E．（1）求证：△CDE∽△CBA；（2）若AB＝3，AC＝5，E是BC中点，求DE的长．21．（8分）如图，抛物线与轴相交于两点，点在点的右侧，与轴相交于点.求点的坐标；在抛物线的对称轴上有一点，使的值最小，求点的坐标；点为轴上一动点，在抛物线上是否存在一点，使以四点构成的四边形为平行四边形?若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由.22．（10分）如图，学校操场旁立着一杆路灯（线段OP）．小明拿着一根长2m的竹竿去测量路灯的高度，他走到路灯旁的一个地点A竖起竹竿（线段AE），这时他量了一下竹竿的影长AC正好是1m，他沿着影子的方向走了4m到达点B，又竖起竹竿（线段BF），这时竹竿的影长BD正好是2m，请利用上述条件求出路灯的高度．23．（10分）已知关于x的一元二次方程mx2+2mx+m﹣4＝0；（1）若该方程没有实数根，求m的取值范围．（2）怎样平移函数y＝mx2+2mx+m﹣4的图象，可以得到函数y＝mx2的图象？24．（10分）某商品市场销售抢手，其进价为每件80元，售价为每件130元，每个月可卖出500件；据市场调查，若每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件(每件售价不能高于240元)．设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元．(1)求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；(2)每件商品的涨价多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？(3)每件商品的涨价多少元时，每个月的利润恰为40000元？根据以上结论，请你直接写出x在什么范围时，每个月的利润不低于40000元？25．（12分）随着经济的快速发展，环境问题越来越受到人们的关注，某校学生会为了解节能减排、垃圾分类知识的普及情况，随机调查了部分学生，调查结果分为“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类，并将调查结果绘制成下面两个统计图．（1）本次调查的学生共有人，估计该校1200名学生中“不了解”的人数是人；（2）“非常了解”的4人有A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从中随机抽取两人向全校做环保交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．26．如图1，已知直线，线段在直线上，于点，且，是线段上异于两端点的一点，过点的直线分别交、于点、（点、位于点的两侧），满足，连接、．（1）求证：；（2）连结、，与相交于点，如图2，①当时，求证：；②当时，设的面积为，的面积为，的面积为，求的值．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【解析】连接，如图，先利用圆周角定理证明得到，再根据正弦的定义计算出，则，，接着证明，利用相似比得到，所以，然后在中利用正弦定义计算出的长．【详解】连接，如图，∵为直径，∴，∵，∴，而，∴，∵，∴，而，∴，∴，∴，在中，∵，∴，∴，，∵，，∴，∴，即，∴，∴，在中，∵，∴，故选C．【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径”是解题的关键.2、C【解析】根据题意对方程提取公因式x,得到x(

3x-1)=0的形式,则这两个相乘的数至少有一个为0,由此可以解出x的值.【详解】∵3x2﹣x=0，∴x（3x﹣1）=0，∴x=0或3x﹣1=0，∴x1=0，x2=，故选C．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接开平方法,配方法,公式法,因式分解法,要根据方程的提点灵活选用合适的方法.3、B【分析】利用比例式a：b=c：x，与已知图形作对比，可以得出结论．【详解】A、a：b=x：c与已知a：b=c：x不符合，故选项A不正确；B、a：b=c：x与已知a：b=c：x符合，故选项B正确；C、a：c=x：b与已知a：b=c：x不符合，故选项C不正确；D、a：x=b：c与已知a：b=c：x不符合，故选项D不正确；故选：B．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理、复杂作图，熟练掌握平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．4、B【解析】要求cosB，必须将∠B放在直角三角形中，由图可知∠D＝∠B，而AD是直径，故∠ACD＝90°，所以可进行等角转换，即求cosD．在Rt△ADC中，AC＝2，AD＝2r＝3，根据勾股定理可求得，所以．5、D【解析】∵反比例函数y=的图象经过点（5，-1），

∴k=5×（-1）=-5＜0，

∴该函数图象在第二、四象限．

故选D．6、C【分析】由可得到∽，依据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质进行判断即可．【详解】解：A.∵，∴,故不正确；B.∵，∴,故不正确；C.∵，∴∽，∽,，．，故正确；D.∵，∴,故不正确；故选C．【点睛】本题主要考查的是相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质和判定定理是解题的关键．7、A【解析】根据垂径定理得到直角三角形，求出的长，连接，得到直角三角形，然后在直角三角形中计算出半径的长.【详解】解：如图所示：连接，则长为半径.∵于点，∴，∵在中，，∴，∴，故答案为A.【点睛】本题主要考查垂径定理和勾股定理.根据垂径定理“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧”得到一直角边，利用勾股定理列出关于半径的等量关系是解题关键.8、A【解析】轴对称图形一个图形沿某一直线对折后图形与自身重合的图形；中心对称图形是指一个图形沿某一点旋转180°后图形能与自身重合，只有A图符合题中条件.故应选A.9、B【解析】试题分析：根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率.因此，从0，﹣1，﹣2，1，3中任抽一张，那么抽到负数的概率是.故选B.考点：概率.10、B【分析】先判断出算式中A、B、C、D表示的图形，然后再求解A*D，A*C．【详解】∵A*B，B*C，C*D，D*B分别对应图形①、②、③、④可得出A对应竖线、B对应大正方形、C对应横线，D对应小正方形∴A*D为竖线和小正方形组合，即（2）A*C为竖线和横线的组合，即（4）故选：B【点睛】本题考查归纳总结，解题关键是根据已知条件，得出A、B、C、D分别代表的图形．11、A【分析】根据中心角是正多边形的外接圆相邻的两个半径的夹角，即可求解.【详解】∵360°÷8＝45°，∴正八边形的中心角为45°，故选：A．【点睛】本题主要考查正八边形的中心角的定义，理解正八边形的外接圆相邻的两个半径的夹角是中心角，是解题的关键.12、B【解析】根据反比例函数的一般形式即可判断．【详解】A.不符合反比例函数的一般形式的形式，选项错误；B.符合反比例函数的一般形式的形式，选项正确；C.不符合反比例函数的一般形式的形式，选项错误；D.不符合反比例函数的一般形式的形式，选项错误．故选B．【点睛】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的一般形式是解题的关键．二、填空题（每题4分，共24分）13、6π【分析】直接利用弧长公式计算即可.【详解】利用弧长公式计算：该莱洛三角形的周长（cm）故答案为6π【点睛】本题考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题关键.14、1，，【分析】根据P的不同位置，分三种情况讨论，即可解答．【详解】解：如图：当DP∥AB时∴△DCP∽△BCA∴即，解得DP=1如图：当P在AB上，即DP∥AC∴△DCP∽△BCA∴即，解得DP=如图，当∠CPD=∠B，且∠C=∠C时,∴△DCP∽△ACB∴即，解得DP=故答案为1，，．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握分类讨论思想并全部找到不同位置的P点是解答本题的关键．15、【详解】解：这个正十二面体，12个面上分别写有1～12这12个整数，其中是3的倍数或4的倍数的3，6，9，12，4，8，共6种情况，故向上一面的数字是3的倍数或4的倍数的概率是6/12=故答案为：．16、9【解析】连接BF，过B作BO⊥AC于O，过点F作FM⊥AC于M.Rt△ABC中,AB=3,BC=6,.∵∠CAB=∠BAC,∠AOB=∠ABC,∴△AOB∽△ABC,,.∵EF=BG=2BE=2GF，BC=2AB，∴Rt△BGF和Rt△ABC中,,∴Rt△BGF∽Rt△ABC，∴∠FBG=∠ACB,∴AC∥BF,∴S△AFC=AC×FM=9.【点睛】△ACF中，AC的长度不变，所以以AC为底边求面积．因为两矩形相似，所以易证AC∥BF，从而△ACF的高可用BO表示．在△ABC中求BO的长度，即可计算△ACF的面积．17、x（x﹣12）＝1【分析】如果设矩形田地的长为x步，那么宽就应该是（x﹣12）步，根据面积为1，即可得出方程．【详解】解：设矩形田地的长为x步，那么宽就应该是（x﹣12）步．根据矩形面积＝长×宽，得：x（x﹣12）＝1．故答案为：x（x﹣12）＝1．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，读懂题意根据面积公式列出方程是解题的关键．18、①②④【分析】①由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点在y轴的正半轴上得到c＞0，由对称轴为，得到b＜0，可以①进行分析判断；

②由对称轴为，得到2a=b，b-2a=0，可以②进行分析判断；

③对称轴为x=-1，图象过点（-4，0），得到图象与x轴另一个交点（2，0），可对③进行分析判断；

④抛物线开口向下，图象与x轴的交点为（-4，0），（2，0），即可对④进行判断．【详解】解：①∵抛物线的开口向下，

∴a＜0，

∵与y轴的交点在y轴的正半轴上，

∴c＞0，

∵对称轴为＜0

∴b＜0，

∴abc＞0，故①正确；

②∵对称轴为，∴2a=b，

∴2a-b=0，故②正确；

③∵对称轴为x=-1，图象过点A（-4，0），

∴图象与x轴另一个交点（2，0），

∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解为x=-4或x=2，故③错误；

④∵抛物线开口向下，图象与x轴的交点为（-4，0），（2，0），

∴当y＞0时，-4＜x＜2，故④正确；∴其中正确的结论有：①②④；故答案为：①②④.【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解答此类问题的关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，解题时要注意数形结合思想的运用．三、解答题（共78分）19、（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）连接OC，利用直径所对的圆周角是直角，结合半径相等，利用等边对等角，证得∠OCE=90，即可证得结论；（2）连接DB，证得△ADB为等腰直角三角形，可求得直径的长，再根据勾股定理求出AC即可．【详解】（1）连接OC，∵是的直径，∴∠ACB=90，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵∠BCE=∠BAC，∴∠BCE=∠BAC=∠OCA，∵∠OCA+∠OCB=90，∴∠BCE+∠OCB=90，∴∠OCE=90，

∴CE是⊙O的切线；（2）连接DB，∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90，∵CD平分∠ACB，∴，∴，∴△ADB为等腰直角三角形，

∴，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90，∴．【点睛】本题考查了圆的切线的判定方法，圆周角定理，勾股定理的应用，掌握直径所对的圆周角为直角是解题的关键．20、（1）证明见解析；（2）DE=．【分析】（1）由DE⊥AC，∠B＝90°可得出∠CDE＝∠B，再结合公共角相等，即可证出△CDE∽△CBA；（2）在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出BC的长，结合点E为线段BC的中点可求出CE的长，再利用相似三角形的性质，即可求出DE的长．【详解】（1）∵DE⊥AC，∠B＝90°，∴∠CDE＝90°＝∠B．又∵∠C＝∠C，∴△CDE∽△CBA．（2）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，∴BC＝＝1．∵E是BC中点，∴CE＝BC＝2．∵△CDE∽△CBA，∴＝，即＝，∴DE＝＝．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用“两角对应相等两三角形相似”证出两三角形相似；（2）利用相似三角形的性质求出DE的长．21、（1），；（2）；（3）点的坐标为，或.【分析】（1）把y=0代入函数解析式，解方程可求得A、B两点的坐标；把x=0代入函数解析式可求得C点的坐标.

（2）连接BC，交对称轴于P，P即为使PB+PC的值最小，设直线BC的解析式，把B、C的坐标代入即可求得系数，进而求得解析式，令x=2时，即可求得P的坐标；

（3）分两种情况：

①当存在的点N在x轴的上方时，根据对称性可得点N的坐标为（4，）；

②当存在的点N在x轴下方时，作辅助线，构建三角形全等，证明得，即N点的纵坐标为-，列方程可得N的坐标．【详解】（1）当时，当时，，化简，得.解得.连接，交对称轴于点，连接.点和点关于抛物线的对称轴对称，.要使的值最小，则应使的值最小，所以与对称轴的交点使得的值最小.设的解析式为.将代入，可得，解得，抛物线的对称轴为直线当时，，①当在轴上方，此时，且.则四边形是平行四边形.②当在轴下方;作，交于点.如果四边形是平行四边形...又，.当时，，综上所述，点的坐标为，或.【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式．轴对称的性质、平行四边形的判定、三角形全等的性质和判定等知识，难度适中，第2问解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定，采用分类讨论的思想和数形结合的思想解决问题．22、1m高【分析】根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：由于BF＝DB＝2m，即∠D＝45°，∴DP＝OP＝灯高．在△CEA与△COP中，∵AE⊥CP，OP⊥CP，∴AE∥OP．∴△CEA∽△COP，∴．设AP＝xm，OP＝hm，则，①，DP＝OP＝2+4+x＝h，②联立①②两式，解得x＝4，h＝1．∴路灯有1m高．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．23、（1）m＜0；（1）向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度．【分析】（1）根据关于x的一元二次方程mx1+1mx+m﹣4＝0没有实数根，可以得到关于m的不等式组，从而可以求得m的取值范围；（1）先将函数y＝mx1+1mx+m﹣4化为顶点式，再根据平移的性质可以得到函数y＝mx1．【详解】（1）∵关于x的一元二次方程mx1+1mx+m﹣4＝0没有实数根，∴，解得，m＜0，即m的取值范围是m＜0；（1）∵函数y＝mx1+1mx+m﹣4＝m(x+1)1﹣4，∴函数y＝mx1+1mx+m﹣4的图象向右平移一个单位长度，在向上平移4个单位长度即可得到函数y＝mx1的图象．【点睛】本题考查了一元二次方程的问题，掌握根的判别式、一元二次方程的性质以及图象是解题的关键．24、(1)y=﹣2x2+400x+25000，0＜x≤1，且x为正整数；(2)件商品的涨价100元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是45000元；(3)每件商品的涨价为50元时，每个月的利润恰为40000元；当50≤x≤1，且x为正整数时，每个月的利润不低于40000元【分析】（1）设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件，根据月利润=单件利润×数量，则可以得到月销售利润y的函数关系式；（2）由月利润的函数表达式y=﹣2x2+400x+25000，配成顶点式即可；（3）当月利润y=40000时，求出x的值，结合（1）中的取值范围即可得．【详解】解：(1)设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元，由题意得：y=(130﹣80+x)(500﹣2x)=﹣2x2+400x+25000∵每件售价不能高于240元∴130+x≤240∴x≤1∴y与x的函数关系式为y=﹣2x2+400x+25000，自变量x的取值范围为0＜x≤1，且x为正整数；故答案为：y=﹣2x2+400x+25000；0＜x≤1．(2)∵y=﹣2x2+400x+25000=﹣2(x﹣100)2+45000∴当x=100时，y有最大值45000元；∴每件商品的涨价100元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是45000元，故答案为：每件商品的涨价100元时，月利润最大是45000元；(3)令y=40000，得：﹣2x2+400x+25000=40000解得：x1=50，x2=15