2022-2023学年高二下数学：排列、组合及简单计数问题（附答案解析）

2022-2023学年高二下数学：排列、组合及简单计数问题

一.选择题（共8小题）

1.（2020春•龙凤区校级期末）由0,1,2,9这十个数组成无重复数字的四位数中,

个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的个数为（）

A.180B.196C.210D.224

2.（2021春•天山区校级期末）4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修2门，则恰有2

人选修课程甲的不同选法共有（）

A.12种B.24种C.30种D.36种

3.（2019秋•沙坪坝区校级期末）现有5人站成一排照相，其中甲、乙相邻，且丙、丁不相

令K，这样的排法有（）

A.12种B.24种C.36种D.48种

4.（2020•阿拉善盟一模）将4名实习教师分配到高一年级三个班实习，每班至少安排一名

教师，则不同的分配方案有（）种.

A.12C.72D.108

5.（2021春•天山区校级期末）在一个正六边形的六个区域涂色（如图），要求同一区域同

一种颜色，相邻的两块区域（有公共边）涂不同的颜色，现有5种不同的颜色可供选择,

则不同涂色方案有（）

A.720种B.2160种C.4100种D.4400种

6.（2021秋•唐县校级期中）为了弘扬张骞开拓进取精神，传承中华优秀传统文化，第四届

中国古筝日“盛世国乐，筝韵天下”汉中片区大型公益活动在久负盛名的张骞纪念馆盛

大举行，其中有《百人齐奏》《二重奏》《独奏》《小合唱》《伴唱》和《茶艺》六个表演

节目，如果《百人齐奏》必须排第一个，《小合唱》和《伴唱》不能连续出场，那么出场

顺序的排法种数为（）

A.18B.36C.72D.54

7.（2021春•任城区期中）将6本相同的书分给8个同学，每人至多分一本，而且书必须分

完，则不同的分法种数是（）

第1页（共14页）

86

A.B.CC.6D.8

8.（2021春•龙岩期中）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期

开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下

列说法不正确的是（）

A.某学生从中选2门课程学习，共有15种选法

B.课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有240种排法

C.课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，共有144种排法

D.课程“礼”排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有96种排法

二.填空题（共4小题）

9.（2021秋•黄浦区校级期中）甲、乙、丙、丁四人分别去甘肃、内蒙古、北京三个地方旅

游，每个地方至少有一人去，且甲、乙两人不能同去一个地方，则不同分法的种数

有.

10.（2021秋•闵行区校级期中）从4男2女六名航天员中选出三名作为神舟十四号乘组，

则恰好有一名女航天员被选中的选法有种.

11.（2021春•河南期中）为贯彻“科学防疫”，学校实行“佩戴口罩、间隔而坐”的方案.若

一排有10个座位，安排5名同学就坐，则共有种不同的安排方法（用数字作答）.

12.（2021春•徐汇区校级期中）将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的

两个端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法总数为.

三.解答题（共4小题）

13.（2021春•灌云县期中）5个男同学，3个女同学站成一排.

（1）3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？

（2）任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？

14.（2017春•深水区校级期中）10件产品中有3件次品，7件正品，从中抽取5件

（1）没有次品的抽法有多少种？

（2）有2件次品的抽法有多少种？

（3）至少1件次品的抽法有多少种？

15.（2021春•肥东县校级期中）在高三一班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目.

（1）当4个舞蹈节目接在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？

（2）当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺

第2页（共14页）

序？

(3)若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗歌朗诵和快板2个节目，但不能改变原

来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？

16.(2021春•宁德期中)2020年1月29日，宁德市援鄂医疗队首批8名医护人员抵达武汉,

投入疫情防控和治疗工作，其中3人安排到重症科室，其余5人安排到呼吸、感染、检

验三个科室.

(1)从8名医护人员中选出3人到重症科室，共有多少种不同选法；

(2)将5名医护人员安排到呼吸、感染、检验三个科室，要求每个科室至少有1人，共

有多少种不同安排方法；

(3)抗击疫情胜利后，8名医护人员站成一排合影留念，/、8两人要站在相邻位置，且

不站在队伍两端，共有多少种不同的站位方法.

第3页(共14页)

2022-2023学年高二下数学：排列、组合及简单计数问题

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

I.（2020春•龙凤区校级期末）由0,1,2,9这十个数组成无重复数字的四位数中，

个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的个数为（）

A.180B.196C.210D.224

【考点】计数原理的应用.

【专题】计算题.

【分析】由题意知本题是一个计数原理的应用，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8

的情况有2种，即：①当个位与百位数字为0,8时，②当个位与百位为1,9时，分别

表示出所有的情况，由加法原理计算可得答案.

【解答】解：由题意知本题是一个计数原理的应用

0到9十个数字中之差的绝对值等于8的情况有2种：0与8,1与9；

分2种情况讨论：①当个位与百位数字为0,8时，有人2/22；

②当个位与百位为1,9时，有""a?.

共A82A22+A7,A7lA22=2iO,

故选：C.

【点评】本题考查分类计数原理与分步计数原理，本题解题的关键是看出两个数字相差8

时的所有情况，本题是一个易错题.

2.（2021春•天山区校级期末）4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修2门，则恰有2

人选修课程甲的不同选法共有（）

A.12种B.24种C.30种D.36种

【考点】计数原理的应用.

【专题】排列组合.

【分析】本题是一个分步计数问题，恰有2人选修课程甲，共有C42种结果，余下的两

个人各有两种选法，共有2X2种结果，根据分步计数原理得到结果.

【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，

：恰有2人选修课程甲，共有C42=6种结果，

第4页（共14页）

，选了甲的两人分别有两种选择，共有2X2=4种结果，

根据分步计数原理知共有6X4=24种结果.

故选：B.

【点评】本题考查分步计数问题，解题时注意本题需要分步来解，观察做完这件事一共

有几步，每一步包括几种方法，这样看清楚把结果数相乘得到结果.

3.（2019秋•沙坪坝区校级期末）现有5人站成一排照相，其中甲、乙相邻，且丙、丁不相

邻，这样的排法有（）

A.12种B.24种C.36种D.48种

【考点】计数原理的应用.

【专题】排列组合.

【分析】甲、乙相邻，先甲乙捆绑在一起看做一个元素，丙、丁不相邻，用抽空，插入

到复合元素（甲乙捆绑）和戊形成的3个空中，问题得以解决.

【解答】解：先把甲乙捆绑在一起看做一个元素，再和戊全排，形成3个空，然后插入

丙、丁，故排法有A£・A级A^=24种，

故选：B.

【点评】本题主要考查了排列组合中相邻问题和不相邻问题，相邻用捆绑，不相邻用插

空，属于基础题.

4.（2020•阿拉善盟一模）将4名实习教师分配到高一年级三个班实习，每班至少安排一名

教师，则不同的分配方案有（）种.

A.12B.36C.72D.108

【考点】计数原理的应用.

【专题】排列组合.

【分析】根据分步计数原理，合理的进行分步，把其中的2名教师看做一个元素，然后

进行全排列，问题即可解得.

【解答】解：第一步从4名实习教师中选出2名组成一个复合元素，共有cj=6种，

第二步把3个元素（包含一个复合元素）安排到三个班实习有A9=6种，

根据分步计数原理不同的分配方案有6X6=36种.

故选：B.

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【点评】本题主要考查了分步计数原理，解决排列组合的混合问题，先选后排是基本的

指导思想.

5.（2021春•天山区校级期末）在一个正六边形的六个区域涂色（如图），要求同一区域同

一种颜色，相邻的两块区域（有公共边）涂不同的颜色，现有5种不同的颜色可供选择,

则不同涂色方案有（）

A.720种B.2160种C.4100种D.4400种

【考点】计数原理的应用；排列、组合及简单计数问题.

【专题】转化思想；定义法；概率与统计；逻辑推理.

【分析】分类讨论：A,C,E三个区域用同1种颜色，用2种颜色，用3种颜色，然后

由分步计数原理求解即可.

【解答】解：考虑4C,E三个区域用同一种颜色，共有方法数为5X43=320种；

考虑月,C,E三个区域用2种颜色，共有方法数为（5×4×3）X4X3X3=2160种；

考虑出C,E三个区域用3种颜色，共有方法数为A'X33=1620种.

所以共有方法数为320+2160+1620=4100种.

故选：C.

【点评】本题考查了分类计数原理与分步计数原理的应用，解题的关键是确定完成事件

的方法是分类还是分步，考查了逻辑推理能力与分类讨论思想的运用，属于中档题.

6.（2021秋•唐县校级期中）为了弘扬张骞开拓进取精神，传承中华优秀传统文化，第四届

中国古筝日“盛世国乐，筝韵天下”汉中片区大型公益活动在久负盛名的张骞纪念馆盛

大举行，其中有《百人齐奏》《二重奏》《独奏》《小合唱》《伴唱》和《茶艺》六个表演

节目，如果《百人齐奏》必须排第一个，《小合唱》和《伴唱》不能连续出场，那么出场

顺序的排法种数为（）

A.18B.36C.72D.54

【考点】排列、组合及简单计数问题.

【专题】转化思想；综合法；排列组合；数学运算.

【分析】根据题意，分3步进行分析：①将《二重奏》《独奏》《茶艺》三个节目全排列,

第6页（共14页）

②三个节目排好后，有4个空位，将《小合唱》和《伴唱》安排在4个空位中，③将《百

人齐奏》排第一个，由分步计数原理计算可得答案.

【解答】解：根据题意，分3步进行分析：

①将《二重奏》《独奏》《茶艺》三个节目全排列，有433=6种情况，

②三个节目排好后，有4个空位，将《小合唱》和《伴唱》安排在4个空位中，有/4?

=12种情况，

③将《百人齐奏》排第一个，有1种情况，

则有6×12=72种不同的排法，

故选：C.

【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题.

7.（2021春•任城区期中）将6本相同的书分给8个同学，每人至多分一本，而且书必须分

完，则不同的分法种数是（）

A.ʌθB.ɑθC.68D.86

【考点】排列、组合及简单计数问题.

【专题】对应思想；定义法；排列组合；数学运算.

【分析】从8人中选6人进行组合即可.

【解答】解：从8人中选6人进行组合即可，则有Cw种选法，

故选：B.

【点评】本题主要考查组合的应用，利用定义直接进行求解是解决本题的关键，是基础

题.

8∙（2021春•龙岩期中）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期

开设“礼”“乐”“射”“御I”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下

列说法不正确的是（）

A.某学生从中选2门课程学习，共有15种选法

B.课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有240种排法

C.课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，共有144种排法

D.课程“礼”排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有96种排法

【考点】排列、组合及简单计数问题.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；排列组合；数学运算.

第7页（共14页）

【分析】根据题意，依次分析选项，综合可得答案.

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于儿某学生从中选2门课程学习，共有C2=15种选法，/正确；

6

对于8,先排好其他的4门课程，再将“乐”“射”排在其空位中，有4〜2=480种排

45

法，8错误；

对于C,将“御”“书”“数”看成一个整体，与其他三门课程全排列，有“3/4=144种

34

排法，C正确；

对于£>,课程“礼”排在第一周，课程“数”不排在最后一周，课程“数”有4种排法,

剩下4门课程全排列，有/4=24种排法，则有4X24=96种排法，。正确；

4

故选：B.

【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题.

二.填空题（共4小题）

9.（2021秋•黄浦区校级期中）甲、乙、丙、丁四人分别去甘肃、内蒙古、北京三个地方旅

游，每个地方至少有一人去，且甲、乙两人不能同去一个地方，则不同分法的种数有

30.

【考点】排列、组合及简单计数问题.

【专题】计算题；转化思想；转化法；排列组合；数学运算.

【分析】由题意知本题可以先做出所有情况再减去不合题意的结果，用间接法先计算4

人中有两名分在一个地方的种数是C42,顺序有为3种，而甲乙被分在同一地方的有433

种，两个相减得到结果.

【解答】解：先计算4人中有两名分在一个地方的种数，可从4个中选2个，和其余的2

3

个看作3个元素的全排列共有C4⅛=36种，

再排除甲乙被分在同一地方的情况共有“33=6种，

所以不同的安排方法种数是：36-6=30.

故答案为：30.

【点评】本题考查排列组合的实际应用，考查利用排列组合解决实际问题，是一个基础

题.

10.（2021秋•闵行区校级期中）从4男2女六名航天员中选出三名作为神舟十四号乘组，

第8页（共14页）

则恰好有一名女航天员被选中的选法有12种.

【考点】排列、组合及简单计数问题：计数原理的应用.

【专题】计算题；对应思想；分析法；排列组合；数学运算.

【分析】利用组合数来计算出选法数.

【解答】解：依题意可知，

选法有C%1=12种，

42

故答案为：12.

【点评】本题考查组合数的计算，属于容易题.

11.（2021春•河南期中）为贯彻“科学防疫”，学校实行“佩戴口罩、间隔而坐”的方案.若

一排有10个座位，安排5名同学就坐，则共有720种不同的安排方法（用数字作答）.

【考点】排列、组合及简单计数问题.

【专题】转化思想；转化法；排列组合；逻辑推理.

【分析】利用不相邻问题插空法进行求解即可.

【解答】解：先安排5个空位不坐学生，5个空位之间有6个空位，然后从6个空位选5

个坐学生即可，

则有庵=720种，

故答案为：720.

【点评】本题主要考查简单的计数问题，利用不相邻问题插空法是解决本题的关键，是

中档题.

12.（2021春•徐汇区校级期中）将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的

两个端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法总数为

【考点】排列、组合及简单计数问题.

【专题】计算题；数形结合；分类法；排列组合；数学运算.

【分析】依次对四棱锥的五个顶点上色，注意分类讨论即可.

【解答】解：第一步：点力上色，5种方法，

第二步：点8上色，4种方法，

第三步：点C上色，3种方法，

第四步：点。上色，

若与点8相同，则有1种方法，

第9页（共14页）

若与点8不同，则有2种方法，

第五步：点E上色，

若点。与点8相同，则有3种方法,

若点。与点B不同，则有2种方法,

故不同的染色方法总数为

5X4X3X1X3+5X4X3X2X2=420,

故答案为：420.

【点评】本题考查了分步乘法计数原理与分类加法计数原理的应用，是中档题.

Ξ.解答题（共4小题）

13.（2021春•灌云县期中）5个男同学，3个女同学站成一排.

（1）3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？

（2）任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？

【考点】排列、组合及简单计数问题.

【专题】对应思想；转化法；排列组合；数学运算.

【分析】（1）利用相邻问题捆绑法进行求解.

（2）利用不相邻问题插空法进行求解.

【解答】解：（1）3个女同学必须排在一起，把3个女生看出一个元素，则有A>'=4320

种不同的排法.

（2）任何两个女同学彼此不相邻，先排男生，然后在男生留出的6个空里排女生，

则有AKAg=I4400种不同的排法.

【点评】本题主要考查简单的计数问题，利用相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法是解

决本题的关键，是基础题.

14.（2017春•深水区校级期中）10件产品中有3件次品，7件正品，从中抽取5件

第10页（共14页）

(1)没有次品的抽法有多少种？

(2)有2件次品的抽法有多少种？

(3)至少1件次品的抽法有多少种？

【考点】组合及组合数公式.

【专题】应用题；排列组合；数学运算.

【分析】⑴没有次品的抽法为C那.

(2)有2件次品的抽法有c§c*

(3)至少1件次品的抽法有c；CrG种.

【解答】解：(I)没有次品的抽法为c；=21种.

(2)有2件次品的抽法有=CgC注=105种.

(3)至少1件次品的抽法有=「5_「5=252-21=231.

LIov7

【点评】本题考查了组合数的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

15.(2021春•肥东县校级期中)在高三一班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目.

(1)当4个舞蹈节目接在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？

(2)当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺

序？

(3)若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗歌朗诵和快板2个节目，但不能改变原

来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？

【考点】排列、组合及简单计数问题.

【专题】计算题；对应思想；转化法；排列组合；数学运算.

【分析】(1)相邻问题用捆绑法，根据分步乘法计数原理可得，

(2)不相邻问题用插空，先排6个演唱节目，再4个舞蹈节目插空，根据分步乘法原理

可得，

(3)所有节目没有顺序要求，全部排列，则有A净巾排法，再除以顺序数即可求出.

【解答】解：(1)第一步先将4个舞蹈节目捆绑起来，看成1个节目，与6个演唱节目

一起排，有后=5040种方法，

第11页(共14页)

第二步再松绑，给4个节目排序，有A：=24种方法•根据分步乘法计数原理，一共有5040

X24=120960种.

（2）第一步将6个演唱节目排成一列（如图中的“口”），一共有烧=720种方法，

×□×□×□x□×□×□×

第二步，再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间（即图中“X”的位置），这样

相当于7个"X”选4个来排，一共有A,=7X6X5X4=84C种，

根据分步乘法计数原理，一共有720X840=604800种.

（3）若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有A卷种排法，但原来的节目已定好顺序，

A12

需要消除，所以节目演出的方式有-⅛=A^=132种排法.

ΛIO

【点评】本题考查排列、组合的应用，要掌握常见问题的处理方法，如相邻问题用捆绑

法，不相邻用插空，定序法，属于中档题.

16.（2021春•宁德期中）2020年1月29日，宁德市援鄂医疗队首批8名医护人员抵达武汉,

投入疫情防控和治疗工作，其中3人安排到重症科室，其余5人安排到呼吸、感染、检

验三个科室.

（1）从8名医护人员中选出3人到重症科室，共有多少种不同选法；

（2）将5名医护人员安排到呼吸、感染、检验三个科室，要求每个科室至少有1人，共

有多少种不同安排方法；

（3）