经典弹性力学

教材：普通高等教育“十五”国家级规划教材，《弹性力学简明教程》第三版，徐芝纶，高等教育出版社1第一章绪论主讲：韦未水利与土木工程学院2第一章绪论§1-1弹性力学的基本内容§1-3弹性力学问题的基本假设§*弹性力学的学习方法§1-2弹性力学中的几个基本概念绪论3绪论弹性力学是固体力学的一个分支，研究弹性体由于外力作用或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。弹性力学是学习塑性力学、断裂力学、有限元方法的基础。本课程较为完整的表现了力学问题的数学建模过程，建立了弹性力学的基本方程和边值条件，并对一些问题进行了求解。弹性力学基本方程的建立为进一步的数值方法奠定了基础。4绪论弹性力学是固体力学的一个分支，研究弹性体由于受外力作用或由于温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。§1-1弹性力学的基本内容一、研究任务弹性力学的研究对象为一般及复杂形状的构件、实体结构、板壳等。二、研究对象5绪论三、与其他学科的关系：材料力学：研究杆状构件在拉、压、剪、弯、扭状态下的应力和位移；理论力学：研究刚体的静、动力学（约束力、速度、加速度）。结构力学：研究杆系结构的内力与位移；弹性力学：一般平面问题、板、壳和实体结构等的应力和位移分析。由此可知，弹性力学与材料力学、结构力学的任务都是结构物或在弹性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度和刚度，并寻求或改进它们的计算方法。6绪论弹性力学、材料力学和结构力学的不同：材料力学研究的基本上是杆件构件1)材料力学:

在材料力学的研究中,往往要作出一些关于构件的变形状态或应力分部的假设,

例如在研究直梁在横向荷载作用下的弯曲,就引用了平面截面的假定；又例如在研究有孔的拉伸构件,通常就假定拉应力在净截断面均匀分布；这简化了数学推演,但解往往是近似的。

(1)从研究的对象来看：结构力学研究的基本上是杆件系统弹性力学研究的基本上是非杆状结构(2)从研究方法来看:7

2）弹性力学：

在弹性力学中,一般不作出那些假定,故解比较精确。例如在研究直梁在横向荷载作用下的弯曲,弹性力学就不引用了平面截面的假定；又例如在研究有孔的拉伸构件，弹性力学也不假定拉应力在净截断面均匀分布；这使数学推演复杂,但解往往是比较精确的。

绪论3）结构力学：

结构力学研究方法有位移法、力法或混合法等。

弹性力学一般不研究杆件系统，但很多人致力于弹性力学与结构力学的综合应用，使这两门学科紧密结合。例如弹性力学吸收了结构力学的一些研究方法后，产生了很多好结果。例如有限单元法,就是弹性力学与结构力学结合应用的成果.有限单元法就是一种将连续弹性体划分成有限大小的单元构件，然后用结构力学的方法求解。8绪论§1-2弹性力学中的几个基本概念按照外力作用的不同分布方式，可分为体积力和表面力，分别简称体力和面力。（2）性质：体力随点的位置不同而不同；体力是连续分布的。（一）外力1.体力（1）定义：所谓体力是分布在物体体积内的力，如重力和惯性力。如图1－2所示。图1-2zxy△VOP9绪论（3）集度：（4）体力分量：将

沿三个坐标轴分解，可得到三个正交的分力：

称为物体在P点的体力分量，量纲是

。体力的平均集度为：P点所受体力的集度为：的方向就是的极限方向。（5）正负号规定：体力分量以坐标轴正方向为正，坐标轴负方向为负。10绪论2.面力上面力的平均集度为：（3）面力集度：P点所受面力的集度为：xyzP△S图1-3（2）性质：面力一般是物体表面点的位置坐标的函数。（1）定义：分布在物体表面上的力。如流体压力和接触力。如图1－3所示。（4）面力分量：

P点的面力分量为，量纲是（5）正负号规定：以坐标轴正方向为正，坐标轴负方向为负。11绪论（二）内力、应力3.应力集度：2.应力性质：在物体内的同一点，不同截面上的应力是不同的。1.定义：物体承受外力作用，物体内部各截面之间产生附加内力，为了显示出这些内力，我们用一截面截开物体，并取出其中一部分，其中一部分对另一部分的作用，表现为内力，它们是分布在截面上分布力的合力。当截面面积趋于零时截面上的分布力即为应力。如图1－4所示。xyzAⅡPo△A图1-4上的内力的平均集度为：P点的应力为：---正应力---切应力量纲是。P点的应力分量为12绪论4.应力分量应力不仅和点的位置有关，和截面的方位也有关。

（1）为了分析一点P的应力状态，在这一点从物体内取出一个微小的正平行六面体，各面上的应力沿坐标轴的分量称为应力分量。即每个面上的应力分量可分解为一个正应力和两个切应力，分别与坐标轴平行。xyzo图1-513绪论（2）如何表明正应力与切应力的的作用面与作用方向图示单元体面的法线为y向

,称为y面，应力分量垂直于单元体面的应力称为正应力。正应力记为

,沿

轴的正向为正,其下标表示所沿坐标轴的方向。

平行于单元体面的应力称为切应力，用

表示，其第一下标

表示所在的平面，第二下标

分别表示沿坐标轴的方向。如图1－6所示的。σyxyzo图1-614绪论其它x、z正面上的应力分量的表示如图1－7所示。正面：外法线是沿着坐标轴的正方向的截面就称为正面。负面：外法线是沿着坐标轴的负方向的截面就称为负面。应力方向：正面正向为正，负面负向为正，负面正向为负，正面负向为负。图1-7（3）应力符号规定15绪论图1-8

平行于单元体面的应力如图示的

，沿x轴、z轴的负向为正。图1－8所示单元体面的法线为y的负向，正应力记为

,沿y轴负向为正。16

六个切应力之间具有一定的互等关系，即切应力互等性：作用在两个相互垂直的面上并且垂直于该两面交线的切应力是互等的（大小相等，正负号也相同。）绪论17绪论（4）注意弹性力学切应力符号和材料力学是有区别的，图1－9中，弹性力学里，切应力都为正，而材料力学中相邻两面的的符号是不同的。正应力与材料力学的正负号规定相同（即拉为正压为负）。

在画应力圆时，应按材料力学的符号规定。弹性力学材料力学图1-918绪论

2.切应变：图1-10中线段PA、PB、PC之间的直角的改变，用弧度表示，称为切应变。分别用表示。切应变以直角变小时为正，变大时为负。（三）形变（应变）形变就是形状的改变。物体的形变可以归结为长度的改变和角度的改变。图1-10

1.线应变：图1-10中线段PA、PB、PC每单位长度的伸缩，即单位伸缩或相对伸缩，称为线应变，也可称正应变。分别用表示。线应变以伸长时为正，以缩短为负。表示y之间z两方向的线段直角的改变表示x方向线段的应变19绪论（2）物体的各点间有相对位移，因而物体产生了变形。弹性力学中主要研究物体由变形而引起的位移。（1）整个物体象一个刚体一样进行的运动所引起的位移，一般包括平移和转动。这样位移并不使物体的形状、质点间的相对距离发生变化。（物体只有外效应而无内效应）。

1.当物体各点发生位置改变时，一般认为是由两种性质的位移组成：（四）位移位移：物体变形时，各点位置的改变量称为位移。2.位移的表示方法物体内任意一点的位移，用它在、、轴上的投影、、来表示，以沿坐标轴正向为正，沿坐标轴负向为负。这三个投影称为该点的位移分量。20绪论位移形变应力体力面力几何方程物理方程平衡方程边界条件图1-10（五）各物理量之间的关系21绪论§1-3弹性力学的基本假设在弹性力学中，在满足实用所需精度的前提下做一些必要的假设，使问题得以求解。（1）连续性假设：这样物体内的一些物理量，例如应力、应变和位移等可用坐标的连续函数表示它们的变化规律。（2）完全弹性假设：假定物体为完全弹性体，则服从虎克定律---应力和相应的形变成正比，弹性常数不随应力或形变的大小而变化。（3）均匀性假设：假定物体由同一材料组成，这样物体的弹性不随位置坐标而变化。弹性力学的基本假设为：22绪论

（4）各向同性假设：物体内一点的弹性性质在所有各个方向都相同。（5）小变形假设：假定位移和形变是微小的。这样，可以用变形前的尺寸代替变形后的尺寸，在考察物体的应变和位移时，可以略去高阶小量，这对于方程的线性化十分重要。以上的假设对于工程中不少问题是适用的，但对于一些问题的误差太大，就必须用另外的简化方案，但许多概念基本理论仍然是共同的，弹性力学是学习塑性力学、断裂力学、有限元方法等学科的基础。凡是符合以上四个假定的物体，就称为理想弹性体。23基本量符号正负号规定应力正应力正面正向为正，负面负向为正切应力正面负向为负，负面正向为负应变线应变线段伸长为正切应变直角变小时为正，变大时为负位移沿坐标轴正向为正，负向为负外力体力面力绪论弹性力学所涉及到的基本量的定义、符号及正负号规定24绪论

弹性力学的公式推导比较繁复，公式的意义不明确，不便记忆，因此初学者会感到困难。在学习中，不要过分拘泥于细节，应着眼于推导的主要过程，公式的推导和记忆，最好通过矩阵形式和张量。§*弹性力学的学习方法由于基本方程是偏微分方程组，接触较少，理解有困难。偏微分方程组的直接求解是十分困难的，只有在边界条件比较简单时，可以解出，大多需要通过数值方法求解，因此基本方程的意义很大程度上是为将来的学习打基础。在推导过程中，善于利用小变形略去高阶小量，在边界条件中，要分清主要边界和次要边界，在次要边界上根据圣维南原理，用等效力系的条件进行替代。在每章的最后，附有一些习题，通过练习，加深对概念和方法的理解。25《绪论》习题课[练习1]弹性力学的研究对象、内容是什么？与材料力学比较有何异同？答：弹性力学研究物体在外界因素影响下处于弹性阶段的应力、应变和位移，其研究对象为一般及复杂形状的构件、实体结构、板壳等。而材料力学是研究杆件在拉、压、剪、弯、扭状态下的应力和位移。[练习2]弹性力学中基本假设是什么？答：为了简化计算，弹性力学中采用如下基本假设：（1）连续