中考数学一轮复习精讲精练(全国通用)第二讲 图形的对称与折叠-满分之路（解析版）

模块七图形与变换第二讲图形的对称与折叠知识梳理夯实基础知识点1:轴对称与轴对称图形1.轴对称与轴对称图形定义旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫与另一个图形重合，那么就说这两个图线叫做,折叠后重合的点是对应点，叫做图示AACC”性质对应线(2)如果对应线段或其延长线相交，那么交(2)如果两个图形的对应线段或其延长线相对应角对应图形全等对应点(1)点A与点点B与点点D与点(2)非重合对应点的连线被对称轴垂直平(1)点A与点点B与点点C与点(2)非重合对应点的连线被对称轴垂直平区别(1)轴对称图形是指具有特殊形状的一个图(2)对称轴不一定只有一条(1)轴对称是指两个全等图形之间的位置关Z(2)对称轴只有一条.联系把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形.把一分成两个图形，这两个图形关于这条直线成轴对称2.常见的轴对称图形及其对称轴图形对称轴角_条角平分线所在的直线 条的高所在的直线或底边上的中线所在的直线) 条一条边上的高或中线所在的直线)条相邻两边的垂直平分线正方形 条相邻两边的垂直平分线和对角线所在的直线正n边形(n为正整数) 条边的中点所在的直线即为对称轴；所在的直线或一个顶点与图形中心所在的直线是对称轴.圆条任何一条直径所在的直线知识点2:折叠的性质(1)位于折痕两侧的图形关于折痕成轴对称；(2)折叠前后的两部分图形全等，对应边、对应角、对应线段、周长、面积等均相等；(3)折叠前后，非重合对应点的连线均被折痕所在直线垂直平分。直击中考胜券在握1.(2023·陕西中考)下列图形中，是轴对称图形的是()A.【解析】【分析】根据轴对称图形的概念可直接进行排除选项.【详解】解：A、不是轴对称图形，故不符合题意；B、是轴对称图形，故符合题意；C、不是轴对称图形，故不符合题意；D、不是轴对称图形，故不符合题意；【点睛】本题主要考查轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键.2.(2023·宿迁中考)对称美是美的一种重要形式，它能给与人们一种圆满、协调和平的美感，下列图形属于中心对称图形的是()【答案】A【解析】【分析】根据中心对称图形的定义即可作出判断.【详解】解：A、是中心对称图形，故选项正确；B、不是中心对称图形，故选项错误；C、不是中心对称图形，故选项错误；D、不是中心对称图形，故选项错误.【点睛】本题主要考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合，3.(2023·广西梧州中考)下列图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是()【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形以及中心对称图形的定义即可作出判断.【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项正确.【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，熟练掌握是解题的关键.4.(2023·湖南省益阳中考)以下有关勾股定理证明的图形中，不是中心对称图形的是()A.【答案】A【解析】【分析】根据中心对称图形的定义即可得.【详解】A、不是中心对称图形，此项符合题意；B、是中心对称图形，此项不符题意；C、是中心对称图形，此项不符题意；D、是中心对称图形，此项不符题意；【点睛】本题考查了中心对称图形，熟记定义是解题关键.5.(2023·自贡中考)下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是()【解析】【分析】利用轴对称图形的定义逐一判断即可.【详解】解：A是轴对称图形，对称轴有1条；D是轴对称图形，对称轴有2条；【点睛】本题考查识别轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解题的关键.6.(2023·山西中考)为推动世界冰雪运动的发展，我国将于2022年举办北京冬奥会.在此之前进行了冬奥会会标的征集活动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案既A.【答案】B【解析】根据轴对称图形及中心对称图形的概念可直接进行排除选项.B、文字上方的图案既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意；C、文字上方的图案是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意；D、文字上方的图案既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；【点睛】本题主要考查轴对称图形及中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形及中心对称图形的概念是解题的关7.(2023·凉山州中考)如图，·ABC中，∠ACB=90°,AC=8,BC=6,将ADE沿DE翻折，使点A与点【答案】D【解析】【分析】先在RIABC中利用勾股定理计算出AB=10,再利用折叠的性质得到AE=BE,AD=BD=5,设AE=x,则CE=AC-AE=8-x,BE=x,在RQBCE中根据勾股定理可得到x²=6²+(8-x)²,解得x,可得CE.【详解】BBADE沿DE翻折，使点A与点B重@BE²=BC²+CE²,【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图象全等，即对应角相等，对应边相等.也考查了勾股定理.8.(2023·嘉兴中考)将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤,然后剪出图⑤中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是()A.等腰三角形B.直角三角形C.矩形D.菱形【答案】D【解析】【分析】此题是有关剪纸的问题，此类问题应亲自动手折一折，剪一剪.【详解】又作了AD的垂直平分线，即EO垂直平分AD,所以AO=DO,且EOAD;由平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形为平行四边形，所以AEDF为平行四边形；又ADZEF,所以平行四边形AEDF为菱形.【点睛】9.(2023·广西北部湾经济开发区中考)如图，矩形纸片ABCD,AD:AB=√2:1,点E,F分别在AD,的值为()【答案】A【解析】【分析】的对应点分别为A',B',连接AA'并延长交线段CD于点G,则=BD=90°,根据相似三角形判定推出EEFHEEGAD,再利用矩形判定及性质证得FH=【详解】BEA=EA',FB=FB,@EF是AA’的垂直平分线.BZBAD=aB=OD=90°.EZOAE+&AEO=ZOAE+EAGD,【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，掌握折叠的性质、矩形及相似三角形的判10.(2023·通辽中考)如图，已知AD//BC,AB⊥BC,AB=3,点E为射线BC上一个动点，连接AE,将△ABE沿AE折叠，点B落在点B'处，过点B'作AD的垂线，分别交AD,BC于M,N两点，当B'为线【解析】【分析】②,②,因为点B'为线段MN的三等分点，没有指明线段B'M的占比情况，所以需要分两种情况讨论：①;②1,然后由一线三垂直模型可证质求得EN的值，最后由BE=BN-EN即可求得BE的长.【详解】①如图1,当BN=AMBN=AM由折叠的性质可得A'B=AB=3,∠AB'E=∠ABC=90°.在Rt₄AB'M中，AM=√AB²-B'M²=√3²-I²=2√2.∠AB'M+∠EB'N=90°,∠AB'M+∠EB'N=90°,②B'NE@AMB',②如图2,当MN⊥BC,MN⊥BC,BN=AM.,,在Rt₈AB'M中，AM=√AB²-B'M²=√3²-2²=√5.,,【点睛】本题考查了矩形的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，由B'为线段讨论线段B'M的占比情况，以及利用K型相似进行相关计算是解决此题的关键.11.如图，等边ABC的边长为4,AD是BC边上的高，点E是AB边的中点，点F是AD上的动点，则线段EF+CF的最小值为【解析】【分析】为CE的长，根据等边三角形的性质和正弦的性质求解即可.【详解】如图，连接CE,与AD交于点F',当点F与F'重合时，EF+CF=∵AABC为等边三角形，边长为4,点E是AB边的中点，,由勾股定理得,由勾股定理得【点睛】本题考查了三角形的动点问题，掌握等边三角形的性质和正弦的性质是解题的关键.12.(2023·海南中考)如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,将此矩形折叠，使点C与点A重合，点D落在点D处，折痕为EF,则AD的长为,DD'的长为6【答案】6【解析】【分析】过De作DH⊥AF,过D作DMAD设DF=x,则AF=8-x,D'F=x,'于M,根据面积法可得,,,再由勾股定理求出,根据线段的和差求出【详解】解：@四边形ABCD是矩形，设DF=x,则AF=8-x,D'F=x最后由勾股定理求出:,:,,过De作DH⊥AF,过D作DMOAD于M,解得，故答案为：6;【点睛】此题主要考查了矩形的折叠问题，勾股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形运用勾股定理是解答此题的关键.AC上且AN=2,点M在BC上且,P为对角线BD上一点，则PM-PN的最大值为【答案】2【解析】【分析】作以BD为对称轴作N的对称点N',连接PN',MN',依据PM-PN=PM-PN’,MN',可得当P,M,N'三点共线时，取“=”,再根据△N'CM为等边三角形，即可得到CM=MN'=2.【详解】解：如图所示，作以BD为对称轴作N的对称点N',连接PN',MN',根据轴对称性质可知，PN=PN',即PM-PN的最大值为2,故答案为：2.【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及线段差的最值问题，凡是涉及线段差(和)的最值问题，一般要考虑三角形的三边关系，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点.14.(2023·河南中考)小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1,在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠B=30,AC=1.第一步，在AB边上找一点D,将纸片沿CD折叠，点A落在A'处，如图2,第二步，将纸片沿CA'折叠，点D落在D处，如图3,当点D恰好在原直角三角形纸片的边上时，线段AD的长为【答案】【解析】【分析】因为点D恰好在原直角三角形纸片的边上，所以分为当D落在AB边上和BC边上两种情况求解即可.【详解】解：当D落在AB边上时，如图(1):设DD交AB于点E,AD=A'D=A'D,DD⊥A'E,A'C=AC图(1)15.(2023·湖南省常德中考)如图1,已知四边形ABCD是正方形，将△DAE,△DCF分别沿DE,DF向内折叠得到图2,此时DA与DC重合(A、C都落在G点),若GF=4,EG=6,则DG的长为【解析】【分析】设正方形ABCD的边长为x,由翻折及已知线段的长，可用含x的式子分别表示出BE、BF及EF的长；在Rt△BEF中，由勾股定理得关于x的方程，解得x的值，即为DG的长.【详解】设正方形ABCD的边长为x,则AB=BC=DC=DA=x,∠B=90°由翻折的性质得：DG=DA=DC=x,AE=EG,CF=GFBBE=AB-AE=x-6,BF=BC-CF=x-4如图，在Ri△BEF中，由勾股定理得：BE²+BF²=EF²解得x=12或x=-2(不符题意，舍去)故答案为：12.【点睛】本题考查了正方形的性质、翻折的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握翻折的性质是解题关键.16.(2023·成都中考)如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=8,点E,F分别在边AD,BC上，且AE=3,按以下步骤操作：第一步，沿直线EF翻折，点A的对应点A'恰好落在对角线AC上，点B的对应点为B',则线段BF的长为;第二步，分别在EF,AQB'上取点M,N,沿直线MN继续翻折，使点F与点E重合，则线段MN的长为【解析】【分析】第一步：设EF与AA'交于点O,连接AF,易证明BAOE-@ADC,利用对应边成比例可得到OA=2OE,由勾股定理可求出从而求得OA及OC;由ADOBC,易得RAOERRCOF,由对应边成比例可得AE、FC的关系式，设BF=x,则FC=8-x,由关系式可求得x的值；第二步：连接NE,NF,根据折叠的性质，得到NF=NE,设B'N=m,分别在RBNB'F和RBEA'N中，利用勾股定理及NF=NE建立方程，可求得m,最后得出结果.【详解】如图所示，连接AF,设EF与AA交于点O,由折叠的性质得到AABEF,A'E=AE=3ZRADC=90°,CD=AB=4,ADQBCE,,②BF的长为1.连接NE,NF,如图，则NF²=1²+m²=NE²=3²+(4-m【点睛】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、三角形相似的判定与性质，矩形的性质等知识，熟练运用这些知识是解决本题的关键，本题还涉及到方程的运用.17.(2023·长春中考)实践与探究操作一：如图①,已知正方形纸片ABCD,将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，点B的对应点为点M,折痕为AE,再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF,操作二：如图②,将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为点N.我们发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同.当点E在BC边的某一位置时，点N恰好落