中考数学几何模型专项复习 模型17 全等三角形-胖瘦模型（SSA）-（原卷版+解析）

全等三角形模型(十七)——胖瘦模型(SSA)模型解密【条件】如图，AB=AC,点P在线段BC上(P不是线段BC的中点)1个角相等2个角互补◎结论1:(变胖)如图，△ABQ≌△ACP,AP=AQ相当于△ABP(加了△APQ)变胖了，◎结论2:(变瘦)如图，△ABP≌△ACQ,AP=AQ思路：取CQ=BP,△ABP≌△ACQ,相当于△ACP(减了△APQ)变瘦了，◎结论3:(找中间状态)如图，△ABM≌△ACM相当于△ACP(减了△APM)变瘦了胖的比瘦的多一个等腰三角形，瘦的加了一个直角三角形，胖的减了一个直角三角形(1)求证：∠ADC+∠B=180°;样的数量关系，并说明理由.垂足分别为B,C,E为AM、AN上，且2AE=AD+AB.问：∠1和∠2有何数量关系?并说明理由.在直线AC的异侧)点D是射线CB'上一动点(不与点C重合),点E在线段BC上，且∠DAE+∠ACD=90°.图1含a的式子表示)(2)如图2,当点E与点C不重合时，连接DE.②用等式表示线段BE,CD,DE之间的数量关系，并证明.(2)线段BF、BC、AB之间有怎样的数量关系?请直接写出你探究的结论； 真题热身 1.如图，△ABC中，AD平分∠BAC,DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.2.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACE的平分线交于点P,PD⊥AC于点D,PH⊥BA交BA的延长线于点H.(1)若点P到直线BA的距离为5cm,求点P到直线BC的距离；(2)求证：点P在∠HAC的平分线上.3.如图，在四边形ABCD中，AD=CD,BD平分∠ABC,DF⊥BC于F,DE⊥BA,交BA的延长线于点E.(2)猜想BF与AB、BC存在的的数量关系并证明；(3)若S△Ap=m,S△pc=n,请用含有m,n的式子直接写出Sprc的值.全等三角形模型(十七)——胖瘦模型(SSA)模型解密2个角互补4、变胖(加等腰)5、变瘦(减等腰)6、找中间(加减后得直角三角形)◎结论1:(变胖)如图，△ABQ≌△ACP,AP=AQ思路：取CQ=BP,△ABP≌△ACO,相当于△ABP(加了△APQ)变胖了，◎结论2:(变瘦)如图，△ABP≌△ACQ,AP=AQ思路：取CQ=BP,△ABP≌△ACQ,相当于△ACP(减了△APQ)变瘦了，相当于△ACP(减了△APM)变瘦了胖的比瘦的多一个等腰三角形，瘦的加了一个直角三角形，胖的减了一个直角三角形变胖加等腰，变瘦减等腰，中间状态加、减直角三角形。(2)过点C作CM⊥AE于点M,先根据全等三角形的性质可得DM=BH,设AH=x,于点M,由(1)已证：Rt₂DMC=Rt₂BHC,设AH=x,则DM=BH=AB-AH=8-x,【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质则线段AE与AF的有怎样的数量关系，并说明理由.分析分点F在C点左侧时和点F在C点右侧时两种情况，根据全等三角形的判定与性质解答即可.理由：∵AD平分∠MAN,DB⊥AM,DC⊥AN,此时，点F可在C点左侧，也可在C点右侧，如图，当点F可在C点左侧时，当点F可在C点右侧时，由(1)知，AC=AB=AE+3,得DB=DC是解题关键，注意分类讨论思想的运用.B、D分别在AM、AN上，且2AE=AD+AB.问：∠1和∠2有何数量关系?并说明理由.分析作CF⊥AN于F,证明RI△ACF≌R△ACE得到AF=AE,再证明△DFC≌△BEC,得到AF=AE,由已知条件从而证得.【详解】解：∠1与∠2互补，理由是：助线得到三角形全等，并利用已知条件来求解是解题的关键.线交于点D,DE⊥AB于点E,DF⊥AC的延长线于点F.分析(1)连接BD,根据垂直平分线的性质和角平分线的性质可得DE=DF,DC=DB,利用(2)利用HL可证Rt△ADF≌Rt△ADE,利用全等三角形的性质即可求解.在Rr△DCF与Rt△DBE中，∴Rt△DCF≌Ri△DBE(HL),在RI△ADF与RI△ADE中，握角平分线的性质、垂直平分线的性质和全等三角形的判定及性质是解题关键.(点B'与点B在直线AC的异侧)点D是射线CB'上一动点(不与点C重合),点E在线段(1)如图1,当点E与点C重合时，AD与CB'的位置关系是,若BC=a,则CD的长为_;(用含a的式子表示)(2)如图2,当点E与点C不重合时，连接DE.②用等式表示线段BE,CD,DE之间的数量关系，并证明.(2)①∠BAC=2∠DAE,理由见解析；②分析(1)先证明∠ADC=90°,再过点A作AF⊥BC于点F,根据角平分线的性质，证明解：∵点E与点C重合，且∠DAE+∠ACD=90°,过点A作AF⊥BC于点F,于F,PA=PC.(2)线段BF、BC、AB之间有怎样的数量关系?请 分析(1)过作PD⊥AB于点D,由角平分线的性质可得PD=PF,由“HL”可证进而得出BD=BF,再根据边与边之间的关系即可得出2BF=AB+BC.A√D,P>N(1)利用HL证明Rt△ADP≌Rt△CFP;(2)利用HL证明Rt△BPD≌Rt△BPF. 真题热身 求AE、BE的长.分析(1)连接BD、CD,先由垂直平分线性质得BD=CD,再由角平分线性质得DE=CF,(2)证明Rt△AED≌Rt△AFD(HL),得AE=AF,则CF=AF-AC=AE-AC,又因为BE=AB-AE,由(1)知BE=CF,则AB-AE=AE-AC,代入AB、AC值即可∵AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,DF⊥练掌握角平分线的性质定义和线段垂直平分线的性质定理是解题的关键.于点D,PH⊥BA,交BA的延长线于点H.(1)若点P到直线BA的距离为5cm,求点P到直线BC的距离；分析(1)过点分析(1)过点P作PF⊥BE于F,根据角平分线的性质即可解答；(2)根据角平分线的性质得到PF=PD,进而得到PD=PH,根据角平分线的判定定理即可证明.解：过点P作PF⊥BE于F,点P在∠ABC的平分线，PH⊥BA,PF⊥BE,即点P到直线BC的距离为5cm;【点睛】本题考查了角平分线的性质与判定，熟知角平分线的性质定理和判定定理，根据题意添加辅助线是解题关键.3.如图，在四边形ABCD中，AD=CD,BD平分∠ABC,DF⊥BC于F,DE⊥BA,交BA的延长线于点E.(2)猜想BF与AB、BC存在的的数量关系并证明；(3)若SAp=m,SABDc=n,请用含有m,n的式子直接写出Sprc的值.(2)2BF=AB+BC,理由见解析分析(1)利用全等三角形的判定和性质得出Ri△DEA≌Rt△DFC(HL),∠DAE=∠C,由等量代换即可证明；(2)先由全等三角形的判定和性质得出Rt△DEB≌Rt△DFB(HL),BF=BE=BA+AE,(3)设S~prc=s,由全等的性质可得SFc=SpE=S,然后结合图形求解即可.(1)证明：∵BD平分∠ABC,DF⊥BC于F,DE⊥BA∴DE=DF在Rt₂DEA和RIVDFC中∴Rt△DEA≌RI△DFC(HL)∴∠DAE=∠C又∵∠DAB+∠DAE=180(2)2BF=AB+BC在