兴义地区重点高考一轮复习教学案平均值不等式doc高中数学

PAGE://永久免费组卷搜题网://永久免费组卷搜题网6.2算术平均数几何平均数一、明确复习目标1.掌握两个正数的算术平均数不小于几何平均数的定理;2.会用平均值定理求最大或最小值;3.能运用均值定理来揭示数量间或实际问题中的不等关系.二．建构知识网络1．根本不等式〔1〕〔2〕，那么(3),(拓展内容)2均值不等式:两个正数的均值不等式：三个正数的均值不等是：n个正数的均值不等式：——两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系,这是一个非常重要的不等式,许多题目可以从中找到解题途径．3．最值定理:设〔1〕如果x,y是正数,且积,那么xy时,〔2〕如果x,y是正数和,那么x=y时,运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等4．利用均值不等式可以证明不等式，求最值、取值范围，比拟大小等。此外还要掌握如下常用不等式;，假设a>b>0,m>0,那么；假设a,b同号且a>b那么,等。三、双基题目练练手1.〔2006浙江〕“a>b>0”是〞ab<〞的()〔A〕充分而不必要条件 〔B〕必要而不充分条件〔C〕充分必要条件 〔D〕既不充分也不必要条件2．(2005福建)设的最小值是 〔〕A． B． C．－3D．3.〔2006重庆〕假设且，那么的最小值为()〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕4.(2006陕西8)不等式(x+y)(eq\f(1,x)+eq\f(a,y))≥9对任意正实数x,y恒成立,那么正实数a的最小值为()A2B4C6D85.假设a是正实数，2a2+3b2=10，那么的最大值等于________。6.(2006春上海)同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低；反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高.这两个事实可以用数学语言描述为：假设有限数列满足，那么___________________和结论用数学式子表示〕.简答:1-4.ACDB;3.(2a+b+c)2=4a2+b2+c2+4ab+4ac+2bc≥4a2+2bc+4ab+4ac+2bc=4(a2+ab+bc+ac)=4(4-2)∴2a+b+c≥2－1.当且仅当b=c时取等号.4.令5.;6.和四、经典例题做一做【例1】(1)a，b为正常数，x，y为正实数，且，求x+y的最小值。(2)假设a>b>0,求的最小值(3)求的最大值解(1)法一：直接利用根本不等式：≥当且仅当，即时等号成立说明：为了利用均值不等式，此题利用了“1〞的逆代换。法二：消元化为一元函数由得∵x>0，y>0，a>0∴由>0得y-b>0∴x+y≥当且仅当，即时，等号成立法三：三角代换.令，，∈〔0，〕∴，∴x+y=≥当且仅当时，等号成立(2)分析:的分母(a—b)b,而(a—b)+b=a,故问题突破口已显然!也可以逐步进行：先对b求最小值，然后在对a求最小值解法一:=[(a—b)+b]2+≥[2]2+=4(a—b)b+≥16当且仅当b=(a—b)且(a—b)b=2,即a=2b=2时取等号,故的最小值为16解法二:当且仅当b=(a—b)且,即a=2b=2时取等号,故的最小值为16(3)(假设由无解“=〞不成立)令,可以证明y(u)在递减∴u=2,即x=0时,ymax=3提炼方法：1.(1)题法一将“1〞利用回代,充分利用了倒数关系,巧妙灵活;2.法二,三是常用的两种消元方法,即代数消元和三角换元,要熟练掌握.3.在运用均值不等式求最值时,必须保证“一正,二定,三等〞.凑出定值是关键!“=〞成立必须保证,假设有几步放缩,只要每步取等号的条件相同即可.【例2】ab+a+2b=30,(a>0,b>0),求证:ab≤18.证明:法1:由,(a+2)(b+1)=32,ab=30-(a+2b)=34-[(a+2)+2(b+1)]法2:由,∴ab=30-(a+2b)≤18法3:由得∴【例3】:a>b>c>d,求证:.证明:∵a-d=(a-b)+(b-c)+(c-d),题中出现了“和〞与“倒数和〞∴利用调和平均数与算术平均数的关系得:【例4】(2005北京)经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量〔千辆/小时〕与汽车的平均速度v〔千米/小时〕之间的函数关系为：．(1)在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？〔精确到千辆/小时〕〔2〕解：〔Ⅰ〕依题意，〔Ⅱ〕由条件得整理得v2－89v+1600<0,即〔v－25〕〔v－64〕<0,解得25<v<64.答：当v=40千米/小时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/小时.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，那么汽车的平均速度应大于25千米/小时且小于64千米【研讨.欣赏】在△ABC中，∠C=90°，AC+BC=l〔定值〕，将图形沿AB的中垂线折叠，使点A落在点B上，求图形未被遮盖局部面积的最大值.EEABDC解：将图形沿AB的中垂线折叠，使点A落在点B上,未被遮盖局部是Rt设,，那么，Rt的面积当且仅当时,故图形未被遮盖局部面积的最大值是.五．提炼总结以为师1.掌握均值不等式,正确理解它的运用条件和“取最值〞的条件;2.掌握公式形式特征，能正用、逆用和变形运用，会“添拆项〞凑定值和等号成立的条件。3.在用均值定理解决实际问题时,要理解题意,设变量时要把要求最大值或最小值的变量定为函数,建立相应的函数关系式,在定义域内,求出函数的最大值或最小值.同步练习6.2算术平均数几何平均数【选择题】1.(2006安徽)设，命题；命题，那么是成立的〔〕A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．以下结论正确的选项是〔〕A．当 B．C．的最小值为2 D．当无最大值3．(2004湖南)设那么以下不等式中不恒成立的是 〔〕A． B．C． D．4．(2004全国I)的最小值为(〕A．－ B．－ C．－－ D．+【填空题】5.以下不等式中恒成立的是_________①ctgθ＋tgθ≥2②x＋－1≥2③≥2④xyz≤(x＋y＋z=1)6.假设x，y是正数，那么的最小值是_______简答.提示：1-4.BBBB;5.②③;6.原式=【解答题】7.设x≥0,y≥0,x2+=1,求的最大值.解法一:∵x≥0,y≥0,x2+=1∴==≤==当且仅当x=,y=(即x2=)时,取得最大值解法二:令(0≤≤)那么=cos=≤=当=,即=时,x=,y=时，取得最大值8.(1)假设x>0,y>0,x+y=1,求证:(1+)(1+)≥9(2)设实数x，y满足y+x2=0，0<a<1，求证：≤。证明:(1)法一:左边＝(1+)(1+)=1+++=1++=1+≥1+=9＝右边(当且仅当x=y=时取“=〞号)法二：令x=y=,0<<左边＝(1+)(1+)=(1+)(1+)=1+++·=1+=1+≥1+8=9＝右边0<2<=时，x=y=时取等号法三：∵x+y=1∴左边＝(1+)(1+)=(1+)(1+)=(2+)(2+)=5+2(+)≥5+4=9＝右边(当且仅当x=y=时取“=〞号)(2)∵≥，≤，0<a<1∴≥∴≥∴≤9.某种生产设备购置时费用10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依每年2千元的增量逐年递增，问这种生产设备最多使用多少年报废最合算?(即年平均费用最少)解:设使用x年的年平均费用为y(万元)，那么y＝≥1+2＝3，当且仅当x＝10时，等号成立.10.设a、b、c均为实数，求证：++≥++.证明：∵a、b、c均为实数，∴〔＋〕≥≥，当a=b时等号成立；〔＋〕≥≥，当b=c时等号成立；〔＋〕≥≥．三个不等式相加即得++≥++，当且仅当a=b=c时等号成