2023年新高考数学复习：空间向量与立体几何(试题)

05空间向量与立体几何

高考预测

概率预测☆☆☆☆☆

题型预测选择题、填空题、解答题☆☆☆☆☆

考向预测函数性质的综合

应试攻略

简单几何体外接球与内切球问题是立体几何中的难点，也是历年高考重要的考点，重在考查直观想象

和逻辑推理两个数学核心素养.立体儿何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求轨迹长度及动

角的范围及涉及的知识点，多年来是复习的难点.立体几何问题中的多选题、主要集中在平面公理、定理、

性质，涉及位置有关系的判断，特别是平行与垂直的处理，以及体积、表面积、夹角等数量关系的计算.是

每年的必考内容之一，且占有较大的分值比重.

ɪ.从考点频率看，空间向量与立体几何是高频考点、必考点，所以必须完全掌握.

2.从题型角度看，可以是选择题、填空题、解答题，分值20分左右，着实不少！

•知识必备

课程标准命题解读

L认识和理解空间点、直线、平面的位置关系.

考查形式：一般为2个客观题，1个解答题.

2.用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判

考查内容：空间几何体的结构特征、体积与表

定，并对某些结论进行论证.

面积的计算、空间点线面的位置关系，直线、

3.了解一些简单儿何体的表面积与体积的计算

平面的平行、垂直关系，及三种角的计算.

方法.

备考策略：(1)了解儿何体的结构特征，熟练应

4.利用类比的方法理解空间向量的概念、运算、

用体积、表面积公式.

基本定理和应用，体会平面向量和空间向量的

(2)重视对定理的记忆，注意对空间几何体的位

共性和差异.

置关系分析.

5.运用向量的方法研究空间基本图形的位置关

⑶熟练掌握向量法解决立体儿何问题.

系和度量关系，体会向量方法和综合几何方法

核心素养：直观想象、数学运算.

的共性和差异.

1.多面体的结构特征

名称棱柱棱锥棱台

S而

图形E通›C

ARARAR

底面互相平行且一全等多边形互相垩任

相交于一点但不一定相

侧棱平行且相等延长线交于二⅛

等

侧面形

平行四边形三角形梯形

状

2.旋转体的结构特征

名称圆柱圆锥圆台球

意⅛虐

图形

平行、相等且垂工

母线相交于一点延长线交于一点

于底面

全等的等腰=⅞一

轴截面全等的更密全等的等腰梯形圆

侧面展

矩形扇形扇环

开图

3.空间几何体的直观图

空间几何体的直观图常用斜二测画法来画.其规则是：

(1)“斜”：直观图中，X轴、y轴的夹角为45。或135。.

(2)“二测"：图形中平行于X轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线,

在直观图中长度为原来的一半.

4.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱圆锥圆台

侧面展开

图

侧面积公

S圆柱侧=2πr∕S圆锥侧=3S圆台恻=兀(r1+尸2)/

式

5.空间几何体的表面积与体积公式

表面积体积

几何体

柱体(棱柱和圆柱)S表面积=S侧+2S底

P=;S底力

锥体(棱锥和圆锥)S表面积=S偏+S底

台体(棱台

Y(S+S+√S5)A

S表面积=S侧+S上+S下kτhτ

和圆台)

球S=4πβrV=*火3

注意：

(1)求棱柱、棱锥、棱台与球的表面积时，要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决.

(2)一些几何体表面上的最短距离问题，常常利用几何体的展开图解决.

(3)求几何体的体积时，要注意利用分割、补形与等积法.

6.常用结论

(1)斜二测画法中的“三变”与“三不变”

［坐标轴的夹角改变，

“三变”与歹轴平行的线段的长度变为原来的一半,

Iffl形改变.

［平行性不改变，

“三不变”与X轴和2轴平行的线段的长度不改变,

向对位置不改变.

(2)几个与球有关的切、接常用结论

①正方体的棱长为4,球的半径为£

(i)若球为正方体的外接球，则2R=瓜；

(ii)若球为正方体的内切球，则2火=公

(iii)若球与正方体的各棱相切，则2火=也以

②若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R=y∣a2+b2+c2.

③正四面体的外接球与内切球的半径之比为3：1.

7.平面的基本性质

基本事实1：过不在一条直线上的三个点.有且只有一个平面.

基本事实2：如果一条直线2的两个点在一个平面内.那么这条直线在这个平面内.

基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点.那么它们有且只有一条过该点的公共

直线.

基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行.

基本事实1及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法；基本事实2的作用

是判断直线是否在某个平面内；基本事实3的作用是如何寻找两相交平面的交线以及证明“线

共点”的理论依据；基本事实4是对初中平行线的传递性在空间中的推广.

8.直线与直线的位置关系

(1)位置关系的分类

线；在同一平面内，有且只有

共点；

—线：在同一平面内，没有公共点；

异面直线E：不同在任何一个平面内，没有公共点.

(2)异面直线所成的角

①定义：设b是两条异面直线，经过空间任一点。分别作直线a'〃a,b'∕∕b,把直线

优与〃所成的锐角(或宜一角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).

(0-

②范围：l√21

9.空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系

(1)空间中直线与平面的位置关系

位置关系图形表示符号表示公共点

直线在平面内aua无数个

-----a-

直线与平面平行a//a9个

直线

不在

直线与平面斜交aΠa=AL个

平面直线与平

内面相交I£__7

直线与平面垂直aLaL个

17

(2)空间中平面与平面的位置关系

位置关系图形表示符号表示公共点

两平面平行a∕∕βQ个

%/

/^7

两平面相交a∏β=l无数个

10.等角定理

如果空间中两个角的两边分别对应平行.那么这两个角相等或互补.

11.直线与平面平行的判定与性质

判定

性质

定义定理

a•二b—a-------

图形L/ɪzkZJ

条件α∩r=0aUa,a"ball.CIU6,aC8=b

结论a//ab//aa∏a=0a[b

注意：

(1)证明线面平行常用的方法是证明这条线与平面内的某条直线平行.但一定要说明一条

直线在平面外，一■条直线在平面内.

(2)辅助线(面)是解(证)线面平行的关键.为了能利用线面平行的判定定理及性质定理，往

往需要作辅助线(面).

12.两个平面平行的判定与性质

判定

性质

定义定理

7

/B彳W∕βW7

图形2≡

æΞΣ7

au[5,buB,aC∖b=P,alls、a∩ι=4,6∩y

条件aC8=。a∣∣S,acβ

a∣∣a,bIla=b

结论a∕∕βa∕∕βa∕∕ba//a

注意：

判定定理的推论：一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别对应平

行，那么这两个平面平行.

13.常用结论

(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.

(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等.

(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.

(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例.

(5)同一条直线与两个平行平面所成角相等.

(6)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行.

14.直线与平面垂直

(1)定义：一般地，如果直线/与平面ɑ内的任意一条直线都垂直,我们就说直线/与平面ɑ

互相垂直，记作/_La.直线I叫做平面α的垂线,平面α叫做直线/的垂面一直线与平面垂直时，

它们唯一的公共点P叫做垂足.

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形语言符号语言

。，bua

如果一条直线与一个平面内的I

判定α∩b=O

两条相交直线垂直，那么该直线7,_LQ

定理Ila

与此平面垂直

Ilb.

a5

性质垂直于同一个平面的两条直线a_La

0aHb

7bLa

定理平行L

注意：

(1)线面垂直的判定定理的推论：如果在两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，

那么另一条直线也垂直于这个平面.

(2)直线和平面垂直的常用性质：

①若直线垂直于平面，则该直线垂直于平面内的任意直线.

②垂直于同一条直线的两个平面平行.

15.平面与平面垂直

(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面

互相垂直.

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形语言符号语言

判定如果一个平面过另一个平面的l_La

=>alβ

定理垂线，那么这两个平面垂直力O.

两个平面垂直，如果一个平面cβ

性质内有一直线垂直于这两个平面I

luβ.=⅛∕±β

定理的交线，那么这条直线与另一力a∩6=4

个平面垂直/_La

注意：

面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线，通常是

先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可.

16.线面角与二面角

(1)直线与平面所成的角(线面角)

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.若一

条直线垂直于平面，它们所成的角是90。.若一条直线和平面壬行，或在平面内，它们所成的角

是0°∙直线与平面所成的角。的取值范围是o。WeW90。.

(2)二面角

①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.

②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂

直于棱的两条射线.这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.

-^题

(1)线面角的取值范围是［0°,90°］,二面角的取值范围是［0。，180。］.

(2)当线面角为90。时，线面垂直；当二面角为90。时，面面垂直.

17.常用结论

(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线.

(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.

(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.

(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直.

(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面.

18.空间向量的有关概念

名称概念表示

零向量长度(模)为一的向量0

单位向量长度(模)为L的向量

相等向量方向相同且模相等的向量a=b

相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量为-“

表示空间向量的有向线段所在的直线互相壬

共线向量a∕∕b

行或重合的向量

共面向量平行于同一个垩面的向量

18.空间向量中的有关定理

语言描述

共线向

对空间任意两个向量4,风原0),合存在2∈R,使4=劝

量定理

共面向如果两个向量α,。不共线，那么向量P与向量4,万共面=存在唯一

量定理的有序实数对(X,歹)，使P=X4+功

空间向量如果三个向量α,dC不共面，那么对任意一个空间向量P，存在唯

基本定理一的有序实数组(X,y,Z),使得P=Xa+W+ZC

19.空间向量的数量积

⑴两向量的夹角

①已知两个非零向量α,b,在空间任取一点。作可I=α,θk=b,则4/08叫做向量令

〃的夹角，记作〈*b).

②范围：OW〈a,b)≤π.

(2)两个非零向量”,〃的数量积：

ah=㈤向COS〈〃，力〉.

aS

(1)两向量的夹角概念中的两个注意点：①两个向量有相同的起点.②向量的方向.

(2)向量的数量积满足交换律、分配律，但不满足结合律，即a∙b=b∙a,a-(b+c)^a-b+a∙c

成立，(ɑ√>)∙c=4∙S∙c)不一定成立.

20.空间向量的坐标表示

设α=(α∣,。2,。3),b=(bι,历，bi).

向量表ZFC坐标表示

数量积abaibi+4262+4363

a=λb(b≠01Λ∈R)41=Ibl,42='/2,。3=昉3

垂直ah=0(α≠0,⅛≠0)〃仍1+々2历+〃3力3=0

~~S-l«l∖∣a]+ai+al

cos〈a,b)=

夹角(a,b)(a≠0,Z>≠0)a∖b∖÷a2b2+a3b3

∖Q4+-2+a4∖∣b彳+厉+济

注意：

用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一

线段的长度，一般用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面

直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化.

21.常用结论

(1)证明空间任意三点共线的方法

对空间三点P,A,8可通过证明下列结论成立来证明三点共线：

①否=祝α∈R);

②对空间任一点O,办=/+∕¼∈R)；

③对空间任一点O,θP=xθk+yθb(x+y=1).

(2)证明空间四点共面的方法

对空间四点P,M,A,B,除空间向量基本定理外，也可通过证明下列结论成立来证明共

①/=函+y您

②对空间任一点O,分=威+X设+yMb-,

③命〃力(或可〃前或彷/∕AKΓ).

22.直线的方向向量与平面的法向量

直线的直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量.一条直线的

方向向量方向向量有无数个

平面的直线/1.平面ɑ.取直线/的方向向量4我们称向量”为平面ɑ的法向

法向量量.显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量

注意：

(1)若/是空间一条直线，A,8是/上任意两点，则成及与港平行的非零向量均为直线/

的方向向量.

(2)设“，〃是平面ɑ内两个不共线向量，〃为平面。的法向量，则求法向量的方程组为

∕IΛ=O,

nb=0.

23.空间位置关系的向量表示

位置关系向量表示

直线/ɪ,/2的方向向量分别为m,li//hn↑∕/=λ∏2

〃2l∖Lhn1±∕i2θ"ι.2=0

直线/的方向向量为〃，平面α的法IIIanA_fn^mn=0

向量为tnI_Lan//m<^n=λm

平面ɑ,夕的法向量分别为〃，mallBn//m<^n=λm

alβn±nι<^nm-O

注意:

用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理.如要证明线面平行，只需

要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明

直线α〃儿只需证明向量4=劝Q∈R）即可.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明

线面平行，仍需强调直线在平面外.

24.利用空间向量求距离

⑴点到直线的距离

如图所示，

已知直线/的单位方向向量为"，/是直线/上的定点，P是直线/外一点，则点P到直线

/的距离PQ=确2_（力∙"）2.

（2）点到平面的距离

如图所示，

〃为平面渝法向量，则5到平面α的距离为孙智.

已知AB为平面ɑ的一条斜线段,

25.两条异面直线所成角的求法

设力分别是两异面直线八，/2的方向向量，则

/l与/2所成的角。a与b的夹角夕

范围R[0,π]

COSe3

求法COSβ=

∖a∖∖b∖∖a∖∖b∖

注意:

求两异面直线/1,/2的夹角e,须求出它们的方向向量4,b的夹角〈a,b},由于夹角范围

不同，有COSe=ICOS(a,b}∣.

26.直线与平面所成角的求法

设直线/的方向向量为4,平面α的法向量为〃，直线/与平面α所成的角为“。与〃的夹

角为尸，则sinθ=ICoS阴=

Iall川

微提醒■■■1

求直线/与平面α所成的角氏可先求出平面α的法向量〃与直线/的方向向量”的夹角，

则sinθ=∣cos〈〃，a}∣.

27.求二面角的大小

(1)如图①，AB,CD分别是二面角α-"的两个半平面内与棱/垂直的直线，则二面角的大

小6>=(超南.

(2)如图②③，〃i,“2分别是二面角α-//的两个半平面ɑ,4的法向量，则二面角。的大小满

足ICoSeI=ICoS〈〃1,〃2〉I，二面角的平面角的大小是向量〃「与〃2的夹角(或其补角).

-a⅛

利用平面的法向量求二面角的大小时，求出两半平面ɑ,尸的法向量“I,〃2后，要根据向

量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量〃2的夹角是相等，还是互补.

1.空间几何体表面积、体积的求法

(1)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.

(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.

(3)体积可用公式法、转换法、分割法、补形法等求解.

2.共面、共线、共点问题的证明

(1)证明共面的方法：一是先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；二是

证明两平面重合.

(2)证明共线的方法：一是先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；二是

直接证明这些点都在同一条特定直线上.

(3)证明线共点问题的常用方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.

3.用平移法求异面直线所成的角的步骤

(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角.

(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角.

(3)三求：解三角形，求出所作的角.如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如

果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.

4.空间中两直线位置关系的判定方法

空

间

中

两

宜

线

位

置

关

异面直线的判定定理：平面外一点与平面内一点的连线与平面内不经过该点的直线是异面直线.

5.直线、平面平行的判定方法

(1)关注是否符合判定定理与性质定理，并注意定理中易忽视的条件.

(2)结合题意构造图形，结合图形做出判断.

(3)利用实物进行空间想象，比较判断.

(4)熟记一些常见结论，如垂直于同一条直线的两个平面平行等.

6.解决线面平行问题的关键点

(1)利用判定定理判定直线与平面平行，关键是找出平面内与已知直线平行的直线.可先直

观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑作三角形的中位线、平行四边形

的对边或过已知直线作一平面找其交线.

(2)线面平行的性质定理是空间图形中产生线线平行的主要途径，常用于作截面.

7.判定面面平行的方法

(1)利用定义，即两个平面没有公共点(不常用).

(2)利用面面平行的判定定理(主要方法).

(3)利用垂直于同一条直线两平面平行.

(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行.

8.解决面面平行问题的关键点

⑴在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“线线平行''到“线面平行”，再到“面面平行

而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而

定，绝不可过于“模式化

(2)解答探索性问题的基本策略是先假设，再严格证明，先猜想再证明是学习和研究的重要

思想方法.

9.求线面角、二面角的常用方法

(1)线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线、找垂足，要把线面角转化到

一个三角形中求解.

(2)二面角的大小求法：二面角的大小用它的平面角来度量.平面角的作法常见的有①定义

法，②垂面法.注意利用等腰三角形和等边三角形的性质.

10.解决线面垂直问题的关键点

(1)证明直线和平面垂直的常用方法.

①判定定理.

②平行直线的传递性(a4b,alɑ^bɪɑ).

③面面平行的性质(a_La,a//β=>a1β).

④面面垂直的性质(aJLβ,a∏p=a,lj_a,lcp=>l_|_a).

(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，

判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.

IL解决面面垂直问题的关键点

(1)证明平面和平面垂直的方法.

①面面垂直的定义.

②面面垂直的判定定理.

(2)已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为

线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.

12.用已知向量表示未知向量的方法

(1)用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键.

(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和，等于由

起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量.

(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立.

13.证明点共线、点共面的方法

(1)证明点共线的方法

证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题，如证明A,B,C三点共线，即证明届，

At共线，即证明A⅛=λA4(λ≠0).

(2)证明点共面的方法

证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明尸，A,B,C四点共面，只要能证明

用=X或或对空间任一点O,有国=办+x或+y死或办=X次1+歹仍+z3t(x+y

+z=1)即可.共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件.

14.空间向量数量积的应用

∩∙h

设向量4,〃的夹角为区则COSe=黑7,进而可求两异面直线所成的

求夹角同向

角

利用公式∣“∣2=α∙4,可将线段长度的计算问题转化为向量数量积的计

求长度(距离)

算问题

利用“JL504∙b=O(αKθ,/>#0),可将垂直问题转化为向量数量积的

解决垂直问题

计算问题

15.利用空间向量证明线面、面面平行的方法

(1)证明线面平行的常用方法：

①证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量共面；

②证明直线的方向向量与平面内的一个向量平行；

③证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.

(2)证明面面平行常用的方法：

①利用上述方法证明平面内的两个不共线向量都平行于另一个平面;

②证明两个平面的法向量平行；

③证明一个平面的法向量也是另一个平面的法向量.

16.利用空间向量证明线面、面面垂直的方法

(1)证明线面垂直的常见思路

①将线面垂直的判定定理用向量表示.

②证明直线的方向向量与平面的法向量共线.

(2)证明面面垂直的常见思路

①利用面面垂直的判定定理，证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向

量.

②证明两平面的法向量互相垂直.

17.“是否存在”型问题的两种探索方式

(1)根据条件做出判断，再进一步论证.(2)利用空间向量，先设出假设存在点的坐标，再根据

条件求该点的坐标，即找到“存在点”，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在”.

18.用向量法求异面直线所成角的一般步骤

(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系.

(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量.

(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值.

(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值.

19.利用空间向量求线面角的方法

(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或

其补角)；

(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余

能就是斜线和平面所成的角.

20.利用空间向量计算二面角大小的常用方法

(1)找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法

向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小.

(2)找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点

的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.

21.求点面距一般的方法

(1)作点到平面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离.

(2)等体积法.

(3)向量法.

其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便.

典例剖析

一、多选题命题热点之立体几何

立体儿何问题中的多选题、主要集中在平面公理、定理、性质，涉及位置有关系的判断,

特别是平行与垂直的处理，以及体积、表面积、夹角等数量关系的计算.

例1.（多选题）如图，在四棱柱ABCD-AIBlCIDl中，AA1J_平面ABCD,AB//CD,

o

ZDCB=90,AB=AD=AA1=2DC,Q为棱CCl上一动点，过直线AQ的平面

分别与棱BB],DD]交点P,R,则下列结论正确的是（）

A.对于任意的点Q,都有AP//QR

B.对于任意的点Q,四边形APQR不可能为平行四边形

C.存在点Q,使得aARP为等腰直角三角形

D.存在点Q,使得直线BC〃平面APQR

例2、（多选题）如图，在棱长为2的正方体ABCD-A[B]C]D]中，P,Q分

别为棱BC,CC]的中点，则以下四个结论正确的是

A.AD1∕∕PQ

B.A1D1PQ

C.Q到平面ABF的距离为与

D.直线Bg与AD1所成角的余弦值为嘤

例3、（多选题）如图，在空间四边形ABCD中，E,F分别为AB,AD的中点，G,H分别在BC,CD±,

且BG:GC=DHrHC=1:2,则（）

A.BD〃平面EGHFB.FH〃平面ABC

C.AC〃平面EGHFD.直线GE,HF,AC交于一点

例4、（多选题）已知三棱锥S-ABC中，SA平面ABC,SA=AB=BC=VE,AC=2,点E,F分别是线

段AB,BC的中点，直线AF,CE相交于点G,则过点G的平面α与截三棱锥S-ABC的外接球。所得截面

面积可以是（）

2°8

ʌλ-ɜɪɪb-911C.πD∙1Π

二、简单几何体的外接球与内切球问题

简单几何体外接球与内切球问题是立体几何中的难点，也是历年高考重要的考点，重在考

查直观想象和逻辑推理两个数学核心素养.

例1、点P为棱长是2的正方体ABCD-A[B]C]D]的内切球。球面上的动点，点M为B[C]的中点，若满足

DFlBM,则动点P的轨迹的长度为()

ʌVδπB2V5∏C4芯11D8JGu

--5~■5-5,5

例2、(多选题)已知在三棱锥P-ABC中，AP,AB,AC两两互相垂直，AP=5cm,AB=4cm,AC=3cm,

点。为三棱锥P-ABC的外接球的球心，点D为AABC的外接圆的圆心，下列说法正确的是()

A.三棱锥P-ABC的体积为IOCm3

B.直线BC与平面PAC所成角的正切值为g

C.球。的表面积为50πcm2

D.OD1PA

例3、有四个半径为1的小球，球01，球。2,球。3放置在水平桌面上，第四个小球。4放在这三个小球的上

方，且四个小球两两外切.在四个小球之间有一个小球。，与这四个小球均外切.则球心。到水平桌面的

距离为.

例4、如图所示，球。的表面积为16n,球心。为空间直角坐标系O-XyZ的原点，且球O分别与x,y,z

轴的正交半轴交于A,B,C三点，已知球面上一点D(0,-√5,t)(t>0).

(1)求口，C两点在球。上的球面距离；

(2)过点A作平面DCB的垂线，垂足H,求H的坐标，并计算四面体A-BCD的体积；

(3)求平面ADC与平面AOB所成锐二面角的余弦值.

三、立体几何中的动态问题

立体儿何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求轨迹长度及动角的范围及涉及

的知识点，多年来是复习的难点.

例1、如图，在棱柱的侧棱AIA和B]B上各有一动点P,Q满足AlP=BQ,过P,Q,C

三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为（）

A.3：1

B.2：1

C.4:1

D.√3：1

例2、（多选题）如图，大摆锤是一种大型游乐设备，常见于各大游乐园.游客坐在圆形的座舱中，面向外.

通常大摆锤以压肩作为安全束缚，配以安全带作为二次保险.座舱旋转的同时，悬挂座舱的主轴在电机的驱

动下做单摆运动.今年五一，小明去某游乐园玩“大摆锤”，他坐在点A处，“大摆锤”启动后，主轴OB

在平面α内绕点。左右摆动，平面a与水平地面垂直，OB摆动的过程中，点A在平面B内绕点B作圆周运

动，并且始终保持OBJ.B,B∈国已知OB=6AB,在“大摆锤”启动后，下列结论中正确的是（）

A.点A在某个定球面上运动

B.线段AB在水平地面上的正投影的长度为定值

C.直线。A与平面a所成角的正弦值的最大值为场

37

D.B与水平地面所成角记为。，直线OB与水平地面所成角记为6,当o<e<1时，e+6为定值

例3、正方体IA（D-IAa〃的棱长为1,/,为次的中点，。为线段（。的动点，过M./'.。的平面

截该正方体所得的截面记为S,则下列命题正确的是0

D∖Cl

COI吐S为四边形；②⅛C0=1时，S为等腰梯形;

③当(0-,时，S与G〃的交点;？满足(凡1；

43

④当[v(∙0∙I时，S为六边形；

⑤当《工)工1时，S的面积为中.

例4、如图，圆柱OOi内有一个直三棱柱ABC-A[Big,三棱柱的底面为圆柱

底面的内接三角形，且AB是圆0直径，AC=CB=2.E,F分别为AC,BC±

的动点,且CE=BF.

(I)若该圆柱有一个内切球，求圆柱的侧面积和内切球的体积.

(∏)在(I)的条件下，当CE=1时，求异面直线BIE与CIF所成角的余弦值.

四、利用空间向量求角的问题

~直线与直线.直线与平面、平面与平面的夹角计算

设直线/,小的方向向量分别为4=(αι,b∖,ci),b=(a2,bi,C2).平面α,4的法向量分别

为μ=3,岳,C3),V-(a4,⅛4,C4)(以下相同).

(1)线线夹角

设/,m的夹角为加收3

∖a∙b∖Iala2+b1b2+cιC2∣

则cosθ-

∖a∖∖b∖^∖∣a^+⅛?+cj∖Ja^+bi+ci

（2）线面夹角

θ

设直线/与平面α的夹角为^4

则sin。=冷卜∣cos<«,μ>|.

同同

（3）二面角

设α-α∕的平面角为e(0w8Wτr),

则ICOSel=J^=ICOS〈"，v>|.

例1、在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=√2,AB=AC=BC=√5,点Q为4ABC所在平面内的动点,

若PQ与PA所成角为定值30。，则动点Q的轨迹是（）

A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

例2、（多选题）若将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则下列结论正确的有（）

A.AD与BC所成的角为45。

B.AC与BD所成的角为90。

C.BC与平面ACD所成角的正弦值为女

3

D.平面ABC与平面BCD所成角的正切值是√2

例3、在正三角形ABC中，过其中心G作边BC的平行线，分别交AB,AC与B1，C1,将4AB[C]沿B£i

折起到△A]B]C]的位置，使点Al在平面BB1C1C上的射影恰是线段BC的中点M,则二面角Al-B1C1-M

的平面角的大小是.

例4如图,在斜三棱柱ABC-AIBICI中,侧面AA1B1B，底面ABC,侧棱AAl与底面ABC成60。的角,AA〕=2.

底面ABC是边长为2的正三角形，其重心为G点，E是线段BC]上一点，且

（1）求证:GE〃侧面AAIBIB;

（2）求平面B]GE与底面ABC所成锐二面角的正切值；

（3）在直线AG上是否存在点T,使得B]T，AG?若存在，指出点T的位置;若不存在，说明理由.

五、

六、

七、

八、

九、利用空间向■解决探索性问题轨迹问题

与空间向量有关的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置关系；另一类是探究线面角

或二面角满足特定要求时的存在性问题.处理原则是：先建立空间直角坐标系，引入参数（有

些是题中已给出），设出关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满足要求，

从而作出判断.

例1、如图，在棱长为1的正方体ABCD-AIB[C]D]中，点M是左侧面ADD[A]

上的一个动点，满足元ι∙WM=L则ECl与目M的夹角的最大值为（）

A.30°

B.45°

C.60°

D.75°

例2、（多选题）已知三棱锥P-ABC中，。为AB中点，PO_L平面ABC,NAPB=90。，PA=PB=2,

则下列说法中正确的是（）

A.若O为AABC的外心，贝IJPC=2

B.若AABC为等边三角形，则AP1BC

C.当NACB=90。时,PC与平面PAB所成角的范围为（0,守

D.当PC=4时，M为平面PBC内动点，若OM〃平面PAC,则M在三角形PBC内的轨迹长度为2

例3、如图，在三棱柱ABC-AIB]g中，AB,AC,AAl两两互相垂直，AA】=2AB=2AC,M,N是线段BB1,

CCl上的点，平面AMN与平面ABC所成(锐)二面角为・当B]M最小时，

ZAMB=.

例4、如图，在三棱柱ABC-A[B[C]中，AA]_L平面ABC,AC=BC=AA1=1,AC1BC,且D,E,F分

别为棱AB,BC,Ae的中点.

(I)证明：直线AF与BR共面；并求其所成角的余弦值;

(∏)在棱JC上是否存在点M,使得DM_L平面A]B]EF,若存在，求黑的值；若不存在，请说明理由.

误区点拨

一、忽视异面直线夹角范围导致错误

典例1在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，4PAB为等边三角形,

二面角P-AB-C的平面角的余弦值为四，点E,F分别为PA,PB的中点.

3

(I)求证：DE±PA；

(∏)求异面直线DE与AF的夹角的余弦值.

典例2已知四棱锥S-ABCD中，^SAB,ΔABC,4ACD均为等边三角形，二面角S-AB-C的大小为

90o,E为线段AB的中点，点F在线段SD上.

(I)若SF=DF,在平面AFC中绘制出一条直线与直线SB平行，并保留作图轨迹;

(∏)若二面角F-EC-D的大小为60°,求直线FC与直线SA夹角的余弦值.

二、角的关系没找准

典例1如图，五边形ABSCD中，四边形ABCD为长方形，三角形SBC为边长为2的正三角形，将三角形

SBC沿BC折起，使得点S在平面ABCD上的射影恰好在AD上.

(I)当AB=VE时，证明:SA1SD；

(II)若AB=1,求平面SCD与平面SBC所成二面角的余弦值的绝对值.

典例2如图，在四棱柱ABCD-AIBICIDl中，底面ABCD为平行四边形，AB=AA1=4,AD=2,ZABC=

60°,且Cl在底面上的射影E恰为CD的中点.

(I)过gE作与AD垂直的平面α,交棱AD于点F,试确定点F的位置，并说明理由;

(∏)求直线C]E与平面BCCIBl所成角的正弦值.

名校模拟

单选题

l.（2022∙广东省•模拟题）下列命题正确的个数是（）

①两两相交的三条直线可确定一个平面

②两个平面与第三个平面所成的角都相等，则这两个平面一定平行

③过平面外一点的直线与这个平面只能相交或平行

④和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线

A.4B.3C.2D.1

2.（2022•广东省•模拟题）已知正三棱锥P-ABC,AB=2,PA=√3.D为PC中点，则三棱锥D