第三章点的合成运动

第三章点的合成运动点和刚体相对一个定参考系的运动。点的运动在直角坐标和弧坐标描述；刚体简单运动为：平动和定轴转动。

物体相对于不同参考系的运动是不相同的。运动的分解与合成：

研究物体相对于不同参考系的运动，分析物体相对于不同参考系运动之间的关系，称为复杂运动或合成运动。

本章分析点的合成运动。分析运动中某一瞬时点的速度合成和加速度合成的规律。点的运动对于不同的参考系是不同的1)图示沿直线轨道滚动的车轮，其轮缘上点Ｍ的运动。§3-1相对运动.牵连运动.绝对运动对地面上的观察者：Ｍ点的轨迹是旋轮线对车上的观察者：Ｍ点的轨迹则是一个圆。2)图示桥式吊车，卷扬小车A边垂直起吊重物边行走。重物作曲线运动随小车一起运动的观察者：重物在在垂直方向作直线运动地面观察者：车轮上Ｍ点：对于地面，Ｍ沿旋轮线运动；以车厢为参考体，点Ｍ对于车厢的运动是简单的圆周运动；车厢对于地面的运动是简单平动。Ｍ点的运动就可以看成两个简单运动的合成.即点Ｍ相对于车厢作圆周运动;同时车厢对地面作平动.合成运动：相对某一参考体的运动可由相对于其它参考体的几个运动组合而成，称这种运动为合成运动观察发现：

点在一个参考体中的运动可以由几个运动组合而成。三种运动

（1）动点相对于定参考系的运动称为绝对运动（2）动点相对于动参考系的运动称为相对运动（3）动参考系相对于定参考系的运动称为牵连运动两个参考系：

一般把固定在地球上的坐标系称为定参考系；用Oxyz表示；固定在相对地球运动的参考体上的坐标系称为动参考系；用表示。动点：要研究的点一个动点；两个坐标系；三种运动上例：车轮上点Ｍ为动点，在车厢看到Ｍ点作圆周运动是动点的相对运动，在地面上看到Ｍ点的运动是弧轮线，是动点的绝对运动。车对地面作平动，是牵连运动绝对运动和相对运动是指点的运动。牵连运动是指参考体的运动。刚体的运动：可能是平动，转动或复杂运动动点相对于动参考系运动的轨迹、速度、加速度称为相对轨迹、相对速度和相对加速度动点相对于定参考系运动的轨迹、速度、加速度称为绝对轨迹、绝对速度和绝对加速度动点的牵连速度、牵连加速度指某瞬时动参考系上与动点重合点的速度和加速度符号：

动点的相对速度和相对加速度动点的绝对速度和绝对加速度动点的牵连速度、牵连加速度研究点的相对速度、牵连速度和绝对速度三者之间的关系。设动点Ｍ在相对运动中的相对轨迹，即曲线AB为金属线。§3-2点的速度合成定理曲线AB上与动点M重合点(牵连点）沿弧MM1

运动到点M

1

经Δt

后，动参考系AB到新位置动点沿弧到为动点的绝对轨迹M沿曲线A

'B'运动从M

1

到点Ｍ'在动参考系上观察动点M：动参考系：固定在此线上，将动点看成是沿金属线滑动的小圆环。在瞬时t，动点在曲线AB的点M。弧M1M'是动点的相对轨迹。动点的绝对位移动点的相对位移动点的牵连位移两端除以Δt，并取极限得：方向沿绝对轨迹MM´切线相对速度：方向沿绝对轨迹MM2

的切线；它的方向沿曲线MM1

的切线。绝对速度：牵连速度：注意牵连速度是曲线AB上与动点M重合点在瞬时t

的速度，即动系上与动点相重合点的速度点的速度合成定理：动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。

动点的绝对速度可以由牵连速度与相对速度所构成的平行四边的对角线来确定。这个平行四边形称为速度平行四边形。推导速度合成定理时，并未限制动参考系作什么样的运动，因此这个定理适用于牵连运动是任何运动的情况，即动参考系可作平动、转动或其它任何较复杂的运动点的速度合成分析计算步骤：1.选动点,动坐标系2.分析三种运动（绝对运动，相对运动，牵连运动），速度分析。3.速度合成定理:建立动点速度的关系4.计算速度B例1刨床的急回机构如图所示。曲柄OA的一端A与滑块用铰链连接。当曲柄OA以匀角速度ω绕固定轴O转动时，滑块在摇杆O1B上滑动并带动摇杆绕固定轴O1摆动。设曲柄长OA=r,两轴间距离OO1=l,求当曲柄端在水平位置时摇杆的角速度。解：1）选曲柄端点A为动点，把动系固定在摇杆O1B上。2）分析运动：点A的绝对运动：以点O为圆心的圆周运动；相对运动：（在动系上看动点的运动轨迹）是沿O1B方向的直线运动；牵连运动则是摇杆绕O1

轴的摆动。与摇杆一起绕O1轴摆动。牵连速度：杆上与动点A重合的那一点的速度，方向线己知。相对速度：绝对速度：3）速度合成定理：大小方向√××√√√方向线已知4)计算速度由直角三角形可求牵连速度：摇杆角速度为：大小方向√××√√√在速度平行四边形转向如图是对角线急回机构含义当曲柄和摇杆成直角时在坐标上投影AEC弧是进程CFA弧是回程选题凸轮机构牵连运动：是凸轴的定轴转动例2如图所示，半径为Ｒ偏心距为e的凸轮，以角速度ω绕O轴转动，杆AB能在滑槽中上下平动，杆的端点A始终与凸轮接触，且OAB成一直线。求图示位置杆AB的速度。解：杆AB作平动，各点速度相同，求出其上A的速度即可。1)选取杆AB的端点A为动点。动参考系随凸轮一起绕O轴转动。2)点A的绝对运动：是直线运动相对运动：凸轮中心C为圆心的圆周运动绝对速度：方向沿AB相对速度：方向沿凸轮圆周的切线，牵连速度：凸轮上与杆端A点重合点的速度。3)速度合成定理:大小方向×√×√√√应注意：先画已知量，然后根据速度定理确定其它未知量的方向大小×√×方向√√√4)速度计算

牵连速度A点绝对速度方向如图选题例3圆环半径为R，以角速度ω1

绕垂直轴AB转动，小球M在圆环上运动，角速度为ω2

。求当OM与铅垂方向成ψ时，M点的绝对速度。解：1)取M为动点

动系与圆环固结2）分析Ｍ点运动相对运动是在圆环上作圆周运动

M点的牵连运动为动系上绕AB的定轴转动。相对速度：动系上与动点Ｍ相重合点的速度。速度矢在水平面内牵连速度：3）速度合成定理：大小方向×√√×√√大小方向4)速度计算绝对速度采用矢量计算大小方向选题例4绕轴O转动的盘及直杆OA上均有一导槽，两槽间有一个活动销子M如图所示，b=0.1m。设在图示位置时，圆盘和直杆的角速度分别为ω1=9rad/s,ω2=3rad/s,求此瞬时销子M的速度。解：（1）1)取M为动点

动系1与圆盘固结相对速度：沿BC直线，方向假设牵连速度：2）分析Ｍ点运动相对运动：沿BC直线牵连运动：绕O点定轴转动。3）速度合成定理：大小方向

×√×

×√√（2）1)取M为动点相对速度：牵连速度：2）分析Ｍ点运动相对运动：沿OA直线牵连运动：绕O点定轴转动。动系2与OA杆固结3）速度合成定理：大小方向

×√×

×√√3）速度合成定理：大小方向√×√×√√√√4)速度计算采用矢量投影法投影投影大小方向返回选题§3-3牵连动运动是平动时点的加速度合成定理崐为动坐标轴单位矢量在点的合成运动中，加速度之间的关系比较复杂，先分析动参考系作平动的简单情况。设为平动参考系各轴方向不变，与定坐标轴x，y，z分别平行动点Ｍ相对于动系的相对坐标则点Ｍ的相对速度和相对加速度：崐为动坐标轴单位常矢量由点的速度合成定理两端对时间一次导数：上式左端项为动点Ｍ对定系的绝对加速度。动系为平动，动系上各点的速度和加速度在某瞬刻都是相同牵连运动为平动时点的加速度合成定理：当牵连运动为平动时，动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度与相对加速度的矢量和。当三种运动轨迹为曲线时，加速度合成定理可以表示多项形式加速度求解步骤

1.取动点，动系

2.分析三种运动

3.速度分析

4.加速度分析曲柄滑块导杆机构例5图示曲柄OA绕轴O转动，丁字形杆BC沿水平方向往复平动，铰接在曲柄端A的滑块，可在丁字形杆的铅直槽DE内滑动。设曲柄以角速度ω作匀速转动。OA=r，试求杆BC的加速度。解：1）选取曲柄端A为研究的动点动参考系固定在丁字形杆BC上2)运动分析：动点A的绝对运动：匀速圆周运动动点A相对运动：沿槽DE的直线运动；ar的方向沿铅直槽DE牵连运动：动系作平动，各点轨迹水平直线方向；

ae沿水平方向动参系作平动。作加速度平行四边形。√√√杆BC的加速度。3）加速度合成定理大小方向√××4）计算加速度由三角关系求得:选题例6凸轮在水平面上向右作减速运动，如图所示。设凸轮半径为R,图示瞬时的速度和加速度分别为v

和a

。求杆AB在图示位置时的加速度。2）运动分析：点A的绝对运动轨迹为直线，相对运动轨迹为凸轮轮廓曲线。牵连运动为平动。解：

1）以杆AB上的点A为动点，凸轮为动系3）速度分析：点A的绝对速度：方向沿直线AB点A的相对速度：圆周切线方向点A的牵连速度：水平直线由速度合成定理大小√√×方向×√√速度大小为：方向如图3）加速度分析点A的相对轨迹为曲线；相对加速度分为两个分量：切线分量arτ

的大小是未知的法向分量arn

的方向如图所示点A绝对加速度：方向沿直线AB，指向和大小未知点A的牵连加速度：为凸轮上与动点重合点的加速度。3）加速度合成定理加速度合成定理在法线n方向上投影：解得大小×√×√方向√√√√选题例7图示平面机构中，曲柄OA＝r，以匀角速度ωo转动。套筒A可沿BC滑动BC＝BD，BC=DE,BD=CE=l。求：图示位置时，杆BD的角速度和角加速度。解：

1）套筒A为动点，以杆BC为动系2）运动分析：DBCE为平行四边形，杆BC作平动。绝对运动：圆周运动相对运动：直线运动牵连运动：平动绝对速度：相对速度：牵连速度：3）速度分析速度合成定理大小√××方向√√√计算

速度杆BD的角速度4）加速度分析动点的绝对加速度动点的牵连加速度同B点加速度相同两项加速度合成定理动点的相对加速度加速度向y轴投影：大小√×√×方向√√√√返回选题一个动点：两个参考系：三种运动：

（1）动点相对于定参考系的运动称为绝对运动（2）动点相对于动参考系的运动称为相对运动（3）动参考系相对于定参考系的运动称为牵连运动绝对运动和相对运动是指点的运动；牵连运动是指动参考体的运动；§3-4牵连运动是转动时点的加速度合成定理.科氏加速度

动点在相对运动中的轨迹、速度、加速度称为相对轨迹、相对速度和相对加速度动点在绝对运动中的轨迹、速度、加速度称为绝对轨迹、绝对速度和绝对加速度动点的牵连速度、牵连加速度指动参考系上与动点重合点的速度和加速度简例：半径为r的圆盘绕中心O以匀角速度逆时针转动。圆盘边缘有一动点M以相对速度vr作匀速圆周运动，确定M点的加速度。点的绝对加速度指向圆心O，大小为：表明当牵连运动是转动时：牵连运动为平动时加速度合成定理为：取M为动点，圆盘为动系。动点M的牵连速度ve=ωr

，方向如图。点的速度合成定理：牵连运动为转动时点的加速度合成定理当动系为定轴转动时，动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和。牵连加速度相对加速度

科氏加速度。科氏加速度

1)杆以角速度ω绕A轴匀速转动t+Δt时刻，杆转到位置AB´取M点为动点，动系固结在杆AB上。2)M点沿直杆AB运动。简单证明。（以特例）t时刻，动点在Ｍ处，它的相对速度和牵连速度分别为

vr

和

ve动点移动到M´它的相对速度为

vr´，牵连速度为ve´由于相对运动，使t+Δt

时刻动点由Ｍ1移到Ｍ´设相对运动时，

t+Δt

时刻点Ｍ移到Ｍ1牵连运动相对运动牵连速度牵连速度第一项第四项从M指向A点沿方向方向垂直vr第二项大小称为科氏加速度第三项方向垂直vr大小方向垂直vr科氏加速度

ac一般形式北西地球绕地轴转动，地球上物体相对于地球运动，这都是牵连运动为转动的合成运动。科氏加速度存在实例根据作用与反作用定律，河水必对右岸有作用力。北半球的江河，其右岸有反作用力。北半球的江河，其右岸都受有较明显的冲刷，这是地理学中的一项规律北半球，河水向北流动时，河水的科氏加速度向西，即指向左侧，图示。由动力学可知，有向左的加速度，河水必受有右岸对水的向左的作用力北西牵连运动为转动时加速度求解步骤

1.取动点，动系

2.分析三种运动

3.速度分析

4.加速度分析例8空气压缩机的工作轮以角速度ω绕垂直于O轴匀速度转动，空气以相对速度vr

沿弯曲的叶片匀速流动，如图示。如曲线AB在点Ｃ的曲率半径为ρ，通过点Ｃ的法线与半径间所夹为ψ，CO＝r

，求气体微团在点C的绝对加速度。解：1）取气体微团为动点，定参考固定于地面。动参考系固定在工作轮上2）分析三种运动：牵连加速度：相对加速度：三项加速度：科氏加速度：3）加速度合成定理:4）计算加速度根据矢量投影方法大小×√√√方向×√√√绝对加速度大小：方向：选题例9刨床的急回机构。曲柄OA的一端A与滑块用铰链连接。当曲柄OA以匀角速度ω绕固定轴O转动时，滑块在摇杆O1B上滑动并带动摇杆绕固定轴O1摆动。设曲柄长OA=r,两轴间距离OO1=l,求当曲柄端在水平位置时摇杆的角加速度。解：1）选曲柄端点A为动点，动系固定在摇杆O1B上2）分析运动：点A的绝对运动：圆周运动；相对运动：沿OB方向的直线运动；牵连运动则是摇杆绕O1

轴的摆动。3)速度合成定理求摇杆的角加速度α，需求出aτ

分析各项：4)加速度合成定理绝对加速度an

：相对加速度ar

：牵连加速度ae

：科氏加速度ac

：√√××√√√√√√大小方向将加速度合成定理向x´轴投影：负号表示真实方向与图中的假设指向相反。摇杆的角加速度负号表示与图示方向相反,真实转向应为逆时针转向。选题例10绕轴O转动的盘及直杆OA上均有一导槽，两槽间有一个活动销子M如图所示，b=0.1m。设图示位置时，圆盘和直杆的角速度分别为ω1=9rad/s,ω2=3rad/s,求此瞬时销子M的加速度