《24.4 圆锥的侧面积和全面积》教案、导学案、同步练习

《第2课时圆锥的侧面积和全面积》教案【教学目标】1．经历圆锥侧面积的探索过程．2．会求圆锥的侧面积和全面积，并能解决一些简单的实际问题．【教学过程】一、情境导入扇子是引风用品，夏令必备之物．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，与竹文化、道教文化有着密切关系．历来中国有“制扇王国”之称．观察可以发现扇形是圆的一部分，你会求扇形的面积吗？二、合作探究探究点一：圆锥的侧面展开图【类型一】求圆锥的侧面积小红要过生日了，为了筹备生日聚会，准备自己动手用纸板制作一个底面半径为9cm，母线长为30cm的圆锥形生日礼帽，则这个圆锥形礼帽的侧面积为()A．270πcm2B．540πcm2C．135πcm2D．216πcm2解析：圆锥的侧面积＝π×底面半径×母线长，把相关数值代入计算即可．圆锥形礼帽的侧面积＝π×9×30＝270π(cm2)，故选A.方法总结：把圆锥侧面问题转化为扇形问题是解决此类问题的一般步骤，体现了空间图形和平面图形的转化思想．同时还应抓住两个对应关系，即圆锥的底面周长对应着扇形的弧长，圆锥的母线长对应着扇形的半径，结合扇形的面积公式或弧长公式即可解决．【类型二】求圆锥底面的半径用半径为3cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为()A．2πcmB．1.5cmC．πcmD．1cm解析：设底面半径为r，根据底面圆的周长等于扇形的弧长，可得：2πr＝eq\f(120×3π,180)，∴r＝1，故选D.方法总结：用扇形围成圆锥时，扇形的弧长是底面圆的周长．扇形的弧长公式为l＝eq\f(nπr,180).【类型三】求圆锥的高小明用图中所示的扇形纸片作一个圆锥的侧面，已知扇形的半径为5cm，弧长是6πcm，那么这个圆锥的高是()A．4cmB．6cmC．8cmD．2cm解析：如图，∵圆锥的底面圆周长＝扇形的弧长＝6πcm，圆锥的底面圆周长＝2π·OB，∴2π·OB＝6π解得OB＝3.又∵圆锥的母线长AB＝扇形的半径＝5cm，∴圆锥的高OA＝eq\r(AB2－OB2)＝4cm.故答案选A.方法总结：这类题要抓住两个要点：1.圆锥的母线长为扇形的半径；2.圆锥的底面圆周长为扇形的弧长．再结合题意，综合运用勾股定理、方程思想就可解决．【类型四】圆锥的侧面展开图的圆心角一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则此圆锥侧面展开图的圆心角是()A．120°B．180°C．240°D．300°解析：设圆锥的母线长为R，底面半径为r，则由侧面积是底面积的2倍可知侧面积为2πr2，则2πr2＝πRr，解得R＝2r，利用弧长公式可列等式2πr＝eq\f(nπ·2r,180)，解方程得n＝180°.故选B.方法总结：解决关于圆柱和圆锥的侧面展开图的计算问题时，将立体图形和展开后的平面图形的各个量的对应关系联系起来至关重要．三、板书设计【教学反思】教学过程中，强调学生应熟练掌握相关公式并会灵活运用．要充分发挥空间想象力，把立体图形与展开后的平面图形各个量准确对应起来.《第2课时圆锥的侧面积和全面积》教案【教学内容】1．圆锥母线的概念．2．圆锥侧面积的计算方法．3．计算圆锥全面积的计算方法．4．应用它们解决实际问题．【教学目标】了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，并会应用公式解决问题．通过设置情景和复习扇形面积的计算方法探索圆锥侧面积和全面积的计算公式以及应用它解决现实生活中的一些实际问题．【重难点、关键】1．重点：圆锥侧面积和全面积的计算公式．2．难点：探索两个公式的由来．3．关键：你通过剪母线变成面的过程．【教具、学具准备】直尺、圆规、量角器、小黑板．【教学过程】一、复习引入1．什么是n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并请讲讲它们的异同点．2．问题1：一种太空囊的示意图如图所示，太空囊的外表面须作特别处理，以承受重返地球大气层时与空气摩擦后产生的高热，那么该太空囊要接受防高热处理的面积应由几部分组成的．老师点评：（1）n°圆心角所对弧长：L=，S扇形=，公式中没有n°，而是n；弧长公式中是R，分母是180；而扇形面积公式中是R，分母是360，两者要记清，不能混淆．（2）太空囊要接受热处理的面积应由三部分组成；圆锥上的侧面积，圆柱的侧面积和底圆的面积．这三部分中，第二部分和第三部分我们已经学过，会求出其面积，但圆锥的侧面积，到目前为止，如何求，我们是无能为力，下面我们来探究它．二、探索新知我们学过圆柱的侧面积是沿着它的母线展开成长方形，同理道理，我们也把连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线．（学生分组讨论，提问二三位同学）问题2：与圆柱的侧面积求法一样，沿母锥一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形，设圆锥的母线长为L，底面圆的半径为r，如图24-115所示，那么这个扇形的半径为________，扇形的弧长为________，因此圆锥的侧面积为________，圆锥的全面积为________．老师点评：很显然，扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长．因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积S=，其中n可由2r=求得：n=，∴扇形面积S==rL；全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的，所以全面积=rL+r2．例1．圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽，已知纸帽的底面周长为58cm，高为20cm，要制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸？（结果精确到0.1cm2）分析：要计算制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸，只要计算纸帽的侧面积．解：设纸帽的底面半径为rcm，母线长为Lcm，则r=L=≈22.03S纸帽侧=rL≈×58×22.03=638.87（cm）638.87×20=12777.4（cm2）所以，至少需要12777.4cm2的纸．例2．已知扇形的圆心角为120°，面积为300cm2．（1）求扇形的弧长；（2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少？分析：（1）由S扇形=求出R，再代入L=求得．（2）若将此扇形卷成一个圆锥，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长，就可求圆的半径，其截面是一个以底是直径，圆锥母线为腰的等腰三角形．解：（1）如图所示：∵300=∴R=30∴弧长L==20（cm）（2）如图所示：∵20=20r∴r=10，R=30AD==20∴S轴截面=×BC×AD=×2×10×20=200（cm2）因此，扇形的弧长是20cm卷成圆锥的轴截面是200cm2．三、巩固练习教材P124练习1、2．四、应用拓展例3．如图所示，经过原点O（0，0）和A（1，-3），B（-1，5）两点的曲线是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）.（1）求出图中曲线的解析式；（2）设抛物线与x轴的另外一个交点为C，以OC为直径作⊙M，如果抛物线上一点P作⊙M的切线PD，切点为D，且与y轴的正半轴交点为E，连结MD，已知点E的坐标为（0，m），求四边形EOMD的面积（用含m的代数式表示）．（3）延长DM交⊙M于点N，连结ON、OD，当点P在（2）的条件下运动到什么位置时，能使得S四边形EOMD=S△DON请求出此时点P的坐标．解：（1）∵O（0，0），A（1，-3），B（-1，5）在曲线y=ax2+bx+c（a≠0）上∴解得a=1，b=-4，c=0∴图中曲线的解析式是y=x2-4x（2）抛物线y=x2-4x与x轴的另一个交点坐标为c（4，0）,连结EM，∴⊙M的半径为2，即OM=DM=2∵ED、EO都是⊙M的切线∴EO=ED∴△EOM≌△EDM∴S四边形EOMD=2S△OME=2×OM·OE=2m（3）设点D的坐标为（x0，y0）∵S△DON=2S△DOM=2×OM×y0=2y0∴S四边形ECMD=S△DON时即2m=2y0，m=y0∵m=y0∴ED∥x轴又∵ED为切线∴D（2，2）∵点P在直线ED上，故设P（x，2）∵P在圆中曲线y=x2-4x上∴2=x2-4x解得：x==2±∴P1（2+，0），P2（2-，2）为所求．五、归纳小结（学生归纳，老师点评）本节课应掌握：1．什么叫圆锥的母线．2．会推导圆锥的侧面积和全面积公式并能灵活应用它们解决问题．六、布置作业1．教材P124复习巩固4P125综合运用8拓广探索9、10．2．选用课时作业设计．第二课时作业设计一、选择题1．圆锥的母线长为13cm，底面半径为5cm，则此圆锥的高线为（）A．6cmB．8cmC．10cmD．12cm2．在半径为50cm的圆形铁皮上剪去一块扇形铁皮，用剩余部分制作成一个底面直径为80cm，母线长为50cm的圆锥形烟囱帽，则剪去的扇形的圆心角度数为（）A．228°B．144°C．72°D．36°3．如图所示，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，从点A出发绕侧面一周，再回到点A的最短的路线长是（）A．6B．C．3D．3二、填空题1．母线长为L，底面半径为r的圆锥的表面积=_______．2．矩形ABCD的边AB=5cm，AD=8cm，以直线AD为轴旋转一周，所得圆柱体的表面积是__________（用含的代数式表示）3．粮仓顶部是一个圆锥形，其底面周长为36m，母线长为8m，为防雨需在粮仓顶部铺上油毡，如果按用料的10%计接头的重合部分，那么这座粮仓实际需用________m2的油毡．三、综合提高题1．一个圆锥形和烟囱帽的底面直径是40cm，母线长是120cm，需要加工这样的一个烟囱帽，请你画一画：（1）至少需要多少厘米铁皮（不计接头）（2）如果用一张圆形铁皮作为材料来制作这个烟囱帽，那么这个圆形铁皮的半径至少应是多少？2．如图所示，已知圆锥的母线长AB=8cm，轴截面的顶角为60°，求圆锥全面积．3．如图所示，一个几何体是从高为4m，底面半径为3cm的圆柱中挖掉一个圆锥后得到的，圆锥的底面就是圆柱的上底面，圆锥的顶点在圆柱下底面的圆心上，求这个几何体的表面积．答案:一、1．D2．C3．C二、1．r2+rL2．130cm23．158.4三、1．（1）2400cm2（2）40cm2．48cm23．S表=S柱侧+S柱底+S锥侧=2×3×4+×32+×3×5=24+9+15=48cm2《24．4．2圆锥的侧面积和全面积》导学案姓名：班级：组别：【自主学习】（一）复习巩固：1.弧长的计算公式：.2．扇形面积的计算公式：.3．已知扇形的面积为4cm2，弧长为4cm，求扇形的半径.（二）新知导学1．圆锥的侧面展开图圆锥的侧面展开图是一个.圆锥的母线就是扇形的.圆锥底面圆的周长就是扇形的.2．如果圆锥的母线长为l，底面的半径为r，那么S侧=，S全=.【合作探究】1．已知圆锥的母线长6cm；底面半径为3cm，求圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角．2．已知：一个圆锥的侧面展开图是圆心角为36°的扇形，扇形面积为10cm2．求这圆锥的表面积．【自我检测】1．已知圆锥的高为，底面半径为2，则该圆锥侧面展开图的面积是（）A．πB．2πC．πD．6π2．圆锥的高为3cm,母线长为5cm,则它的表面积是（）cm2．A．20pB．36pC．16pD．28p3．已知圆锥的底面半径为3,母线长为12,那么圆锥侧面展开图所成扇形的圆角为（）A．180°B．120°C．90°D．135°4．如果圆锥的高与底面直径相等,则底面面积与侧面积之比为（）A．1∶B．2∶C．∶D．2∶35．边长为a的等边三角形,绕它一边上的高所在直线旋转180°,所得几何体的表面积为（）A．B．C．D．π6．若底面直径为6cm的圆锥的侧面展开图的圆心角为216°,则这个圆锥的高是（）cm．A．8B．C．6D．47．在一个边长为4cm正方形里作一个扇形(如图所示),再将这个扇形剪下卷成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的高为（）cm．A．B．C．D．8．用圆心角为120°,半径为6cm的扇形围成圆锥的侧面,则这个圆锥的高为（）A．4B．4C．2D．39．△ABC中,AB=6cm,∠A=30°,∠B=15°,则△ABC绕直线AC旋转一周所得几何体的表面积为（）cm2．A．（18+9）πB．18+9C．（36+18）πD．36+1810．圆锥的母线长为10cm,底面半径为3cm,那么圆锥的侧面积为（）cm2．A．30B．30pC．60pD．15p11．粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面直径是4m，母线长3m，为防雨需在粮仓的顶部铺上油毡，那么这块油毡的面积至少为（）A．6m2B．6πm2C．12m2D．12πm212．若圆锥的侧面展开图是一个半径为a的半圆，则圆锥的高为（）A．aB．C．D．13．一个圆锥的高为cm，侧面展开图是一个半圆，则圆锥的全面积是（）A．200πcm2B．300πcm2C．400πcm2D．360πcm214．一个圆锥形的烟囱帽的侧面积为2000πcm2，母线长为50cm，那么这个烟囱帽的底面直径为（）A．80cm B．100cm C．40cm D．5cm15．已知圆锥的母线长是10cm，侧面展开图的面积是60πcm2，则这个圆锥的底面半径是cm．16．已知圆锥的底面半径是2cm，母线长是5cm，则它的侧面积是．17．圆锥的轴截面是一个等边三角形，则这个圆锥的底面积、侧面积《第2课时圆锥的侧面积和全面积》练习一、课前预习1.圆锥的底面积为25π，母线长为13cm，这个圆锥的底面圆的半径为________cm，高为________cm，侧面积为________cm2.2.圆锥的轴截面是一个边长为10cm的正三角形，则这个圆锥的侧面积为________cm2，锥角为_________，高为________cm.3.已知Rt△ABC的两直角边AC=5cm，BC=12cm，则以BC为轴旋转所得的圆锥的侧面积为_________cm2，这个圆锥的侧面展开图的弧长为_________cm，面积为_________cm2.4.如图24-4-2-1，已知圆锥的底面直径为4，母线长为6，则它的全面积为__________.图24-4-2-1图24-4-2-2二、课中强化(10分钟训练)1.粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面直径是4m，母线长为3m，为防雨需在粮仓的顶部铺上油毡，那么这块油毡的面积至少为()A.6m2B.6πm2C.12m2D.12πm22.若圆锥的侧面展开图是一个半径为a的半圆，则圆锥的高为()A.aB.aC.3aD.a3.用一张半径为9cm、圆心角为120°的扇形纸片，做成一个圆锥形冰淇淋的侧面(不计接缝)，那么这个圆锥形冰淇淋的底面半径是_________cm.4.如图24-4-2-2，已知圆锥的母线长OA=8，地面圆的半径r=2.若一只小虫从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则小虫爬行的最短路线的长是______(结果保留根式).5.一个圆锥的高为3cm，侧面展开图是半圆，求：(1)圆锥母线与底面半径的比；(2)锥角的大小；(3)圆锥的全面积.三、课后巩固(30分钟训练)1.已知圆锥的母线与高的夹角为30°，母线长为4cm，则它的侧面积为_________cm2(结果保留π).2.如图24-4-2-3，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为6m的正三角形ABC，母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从B处沿圆锥表面去偷袭老鼠，则小猫经过的最短路程是___________m.(结果不取近似数)图24-4-2-3图24-4-2-43.若圆锥的底面直径为6cm，母线长为5cm，则它的侧面积为___________.(结果保留π)4.在Rt△ABC中，已知AB=6，AC=8，∠A=90°.如果把Rt△ABC绕直线AC旋转一周得到一个圆锥，其全面积为S1；把Rt△ABC绕直线AB旋转一周得到另一个圆锥，其全面积为S2.那么S1∶S2等于()A.2∶3B.3∶4C.4∶9D.5∶125.如图24-4-2-4是小芳学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，则围成这个灯罩的铁皮的面积为______cm2(不考虑接缝等因素，计算结果用π表示).6.制作一个底面直径为30cm、高为40cm的圆柱形无盖铁桶,所需铁皮至少为()A.1425πcm2B.1650πcm2C.2100πcm2D.2625πcm27.在半径为27m的广场中央，点O的上空安装了一个照明光源S，S射向地面的光束呈圆锥形，其轴截面SAB的顶角为120°(如图24-4-2-5)，求光源离地面的垂直高度SO.(精确到0.1m；=1.414，=1.732，=2.236，以上数据供参考)参考答案一、课前预习(5分钟训练)1.圆锥的底面积为25π，母线长为13cm，这个圆锥的底面圆的半径为________cm，高为________cm，侧面积为________cm2.思路解析：圆的面积为S=πr2，所以r==5(cm)；圆锥的高为=12(cm)；侧面积为×10π·13=65π(cm2).答案：51265π2.圆锥的轴截面是一个边长为10cm的正三角形，则这个圆锥的侧面积为________cm2，锥角为_________，高为________cm.思路解析：S侧面积=×10π×10=50π(cm2)；锥角为正三角形的内角，高为正三角形的高.答案：50π60°53.已知Rt△ABC的两直角边AC=5cm，BC=12cm，则以BC为轴旋转所得的圆锥的侧面积为__________cm2，这个圆锥的侧面展开图的弧长为__________cm，面积为___________cm2.思路解析：以BC为轴旋转所得圆锥的底面半径为5cm，高为12cm，母线长为13cm.利用公式计算.答案：65π10π65π4.如图24-4-2-1，已知圆锥的底面直径为4，母线长为6，则它的全面积为__________.图24-4-2-1思路解析：圆锥的全面积为侧面积加底面积.答案：16π二、课中强化(10分钟训练)1.粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面直径是4m，母线长为3m，为防雨需在粮仓的顶部铺上油毡，那么这块油毡的面积至少为()A.6m2B.6πm2C.12m2D.12πm2思路解析：侧面积=底面直径·π·母线长=×4×π×3=6π(m2).答案：B2.若圆锥的侧面展开图是一个半径为a的半圆，则圆锥的高为()A.aB.aC.3aD.a思路解析：展开图的弧长是aπ，故底面半径是，这时母线长、底面半径和高构成直角三角形.答案：D3.用一张半径为9cm、圆心角为120°的扇形纸片，做成一个圆锥形冰淇淋的侧面(不计接缝)，那么这个圆锥形冰淇淋的底面半径是_________cm.思路解析：扇形的弧长为=6π(cm)，所以圆锥底面圆的半径为=3(cm).答案：34.如图24-4-2-2，已知圆锥的母线长OA=8，地面圆的半径r=2.若一只小虫从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则小虫爬行的最短路线的长是_________(结果保留根式).图24-4-2-2思路解析：如图，圆锥的侧面展开图是扇形，它的圆心角是=90°，连结AB，则△AOB是等腰直角三角形，OA=OB=8，所以AB==8.答案：85.一个圆锥的高为3cm，侧面展开图是半圆，求：(1)圆锥母线与底面半径的比；(2)锥角的大小；(3)圆锥的全面积.思路分析：圆锥的母线在侧面展开图中是扇形的半径，底面周长是展开扇形的弧长.锥角是轴截面的等腰三角形的顶角.知道圆锥母线和底面半径，就可由扇形面积公式求侧面积，底面积加侧面积就得圆锥全面积.解：如图，AO为圆锥的高，经过AO的截面是等腰△ABC，则AB为圆锥母线l，BO为底面半径r.(1)因圆锥的侧面展开图是半圆，所以2πr=πl，则=2.(2)因=2，则有AB=2OB，∠BAO=30°，所以∠BAC=60°，即锥角为60°.(3)因圆锥的母线l，高h和底面半径r构成直角三角形，所以l2=h2＋r2；又l=2r，h=3cm，则r=3cm，l=6cm.所以S表=S侧＋S底=πrl＋πr2=3·6π＋32π=27π(cm2).三、课后巩固(30分钟训练)1.已知圆锥的母线与高的夹角为30°，母线长为4cm，则它的侧面积为_________cm2(结果保留π).思路解析：S圆锥侧=×2×π××4×4=8π.答案：8π2.如图24-4-2-3，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为6m的正三角形ABC，母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从B处沿圆锥表面去偷袭老鼠，则小猫经过的最短路程是___________m.(结果不取近似数)图24-4-2-3思路解析：小猫经过的最短路程是圆锥侧面展开图中的PB(如图).则扇形的圆心角为=180°,因为P在AC的中点上，所以∠PAB=90°.在Rt△PAB中，PA=3，AB=6，则PB==3.答案：33.若圆锥的底面直径为6cm，母线长为5cm，则它的侧面积为___________.(结果保留π)思路解析：已知底面直径和母线长直接代入圆锥侧面积