重组卷01-2023年高考数学真题重组卷（上海）（解析版）

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冲刺2023年高考数学真题重组卷01

数学（上海地区专用）

考生注意：

1、本试卷共21道试题，满分150分，考试时间120分钟.

2、本试卷分设试卷和答题卡.试卷包括试题与答题要求，作答必须涂（选择题）或写（非选

择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.

3、答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息.

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1一6题每题4分，第7—12题每题5分）

考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.

1、（2021年上海高考真题）已知A={x∣2x<l},B={T,0,l},则AB=.

【答案】{-1,0}

由已知得，Afβ={-l,0}

2、（2014.上海.高考真题）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天

进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结构用最简分数表示）.

【答案】《

【详解】任意选择3天共有Gl=I20种方法，其中3天是连续3天的选法有8种，故所求

概率为P=且=_L.

12015

【考点】古典概型.

3、（2018•上海高考真题）设常数a∈R,函数f（x）=Iog2（x+a）.若f（x）的反函数的

图象经过点（3,1）,则a=.

【考点】4R：反函数

【专题】H:计算题；33:函数思想；40：定义法；51:函数的性质及应用.

【分析】由反函数的性质得函数［（x）=Iog2（x+a）的图象经过点（1,3）,由此能求出a.

【解答】解：常数a∈R,函数f（X）=Iog2（x+a）.

f（x）的反函数的图象经过点（3,1）,

，函数f（x）=Iog2（x+a）的图象经过点（1,3）,

.∙.Iog2（l+a）=3,

解得a=7.

故答案为：7.

【点评】本题考查实数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函

数与方程思想，是基础题.

4、（2021年上海高考真题）若代数式（x+α）5的展开式中，x2的系数为80,则α=

【答案】2

通项公式为：（+I=G（X）AM

因为/的系数为80,所以令5-r=2,即r=3

所有或a，=80,解得α=2

5、（2013•上海高考真题理科）已知AABC的内角A、B、C所对应边分别为“、b、c,若

222

3a+2ah+3b-3c=Ot则角C的大小是（结果用反三角函数值表示）

【答案】zr-areeosɪ

911

【详解】3«2+2Λ⅛÷3⅛2-3C2=0=>c2=a2+⅛2-故COSC=-1C=%-arccoS].

【考点定位】考查余弦定理及运算，属容易题.

6、（2015•上海・统考高考真题）在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献

血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）.

【答案】120

【详解】①1男4女，C£：=45种；

②2男3女，C；C：=60种；

③3男2女,Gc=I5种；

.•.一共有45+60+15=12（）种.

故答案为120.

点睛：解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、”分

类”、“分步”的角度入手；（1）“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，

哪些是“位置”；

(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；(3)“分类”就是

将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题

化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决.

7、(2017,上海・统考高考真题)已知数列｛4｝和他，，｝,其中/="wN*,2“｝的项是互

lg(⅛l⅜4⅛⅛l6)ɪ

不相等的正整数，若对于任意〃eN*,的｝的第项等于｛4｝的第2项，则怆(姑为也)

【答案】2

【详解】由若对于任意“eb,｛2｝的第%项等于血｝的第/项，

222

则ba=ab=依A,则仿=I=(⅛l)2也=(b2),⅛9=(⅛3),⅛,6=(仇)

所以伪以仇仇6=(仇"也也I)?.

所以ig(4⅜A%)=怆(她她)2=2ig(∖⅛d)=2

igS∣∕z24d)ig(⅛∣⅛2⅛3⅛)∣g(⅛lfe2⅛3⅛4)

8、(2021年上海高考真题)已知抛物线：V=2/Zr(P>0),焦点为F,若A、8在抛物

线上且在第一象限，∣AF∣=2,∖BF∖=4,∣AB∣=3,求直线AB的斜率为.

【答案】堂

2

【法一】由已知得，XA=2-^,XB=4-^,

由弦长公式得：IAβ∣=∖∣l+k。∙∣XΛ—%β∣=3

因为A、B在抛物线上且在第一象限

即左2=；(左>0),k=W

【法二】如图，根据抛物线定义：在RJABH中，

所以k-tanθ-tanABH-—^∙

2

9、（2020年上海高考真题）如图，已知正方形Q48C,其中O4="（a>l）,函数y=3d交

BC于点P,函数y=f5交AB于点0,当∣AQ∣+1CP∣最小时，则α的值为_&_.

当且仅当时，取最小值,

故答案为：√3.

{OX+y=1,

10、（2016•上海统考高考真题）设a>0,b>0.若关于x,y的方程组x+^=1无解,则4+人

的取值范围是.

【答案】（2,+8）

【详解】试题分析：方程组无解等价于直线取+y=ι与直线χ+by=ι平行，所以而=1且

a≠b≠l.又JZ?为正数，所以a+b>=2(ta≠h≠l),即α+Z?取值范围是(2,+Oo).

考点：方程组的思想以及基本不等式的应用.

Ik(2017.上海.统考高考真题)如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点A、p∖p∖

巴以及四个标记为“”的点在正方形的顶点处，设集合C={∕2'G'2},点尸eΩ,过户

作直线∕p,使得不在/，上的“”的点分布在"的两侧.用RaP)和。2(、)分别表示/。一侧

和另一侧的“”的点到/p的距离之和.若过户的直线.中有且只有一条满足

D'(%)=D式1，则。中所有这样的P为

【答案】P,、P3、Pa

【详解】解：建立平面直角坐标系，如图所示;

则记为的四个点是A(0,3),B(1,0),C(7,1),D(4,4)

线段AB,BC1CD,DA的中点分别为E,F,G,H,

易知EFGH为平行四边形，如图所示；

设四边形重心为M(X,y),

贝IJM4+M8+MC+MD=0.

由此求得M(3.2),即为平行四边形EFGH的对角线交于点鸟,

则符合条件的直线LP一定经过点P2,

且过点2的直线有无数条；

由过点4和鸟的直线有且仅有1条，

过点P，和P2的直线有且仅有1条，

过点巴和8的直线有且仅有1条,

所以符合条件的点是<、p3,Pi.

故答案为：A、P3,P-

12、(2016,上海・统考高考真题)在平面直角坐标系中，已知A(1,0),B(0,-1),P

是曲线；=J'”上一个动点，则BPBA的取值范围是.

【答案】［0,l+√2∣

【详解】［方法一］:坐标法

由P是曲线y=Jl-―上一个动点,可设P(COS6,sin6),6>∈［0,Λ^］

BPBP-BA=(cosasin，+1)∙(1,1)

=CoSe+sin。+1

=V∑sin(8+工)+1

4

又由于/HO㈤,得e+fej当

444

从而可得3P∙BA∈［θ,l+√f∣

［方法二］:换元法

由P是曲线y=√i≡/上一个动点，不妨设P(X,y),即y=√i≡P^,-l≤x<l

即βP∙BA=(x,y+l)∙(l,l)

=x+y+1

=X+Jl-x~+1

令X=Sin仇θ∈I-

⅛BP∙BA=cos^+sin0+1

=√2sin(6*+^)+l

4

V7I-r--j∕Z"TC1/日C1冗54

又由于ez∈[r-彳得e+;∈

从而有5P∙BAe[θ,l+0]

[方法三]：向量法

不妨设NPOA=。，由尸是曲线y=√I二了上一个动点，得，e[0,切

由BA∙BP=(80+OP)•(80+04)

=I80F+OP-BO+OPOA

=l+cos(5-e)+cosO

=COSe+sin。+1

=√2sin(<9÷ɪ)+l

4

又由于ego㈤,得e+L,

从而可得BP∙BAe[θ,l+√Σ]

[方法四]：线性规划法

由P是曲线y=√Γ7上一个动点，不妨设尸(X,y),

得BP-SA=(x,y+1)∙(1,1)=x+y+1

令z=x+y+l,得y=-x+z-l

要求z=x+y+1的取值范围，

只要求与圆弧y=√1≡7相交的平行线束y=-x+Z-I的)，轴截距的取值范围即可,

如图可知，(1)当y=-χ+z-l过点£>(-1,0)时，

此时平行线束)，轴的截距最小，即Z最小，Zmin=(X+y+l)mhι=(x+y+l)∣4f产O=O

（2）当y=-χ+z-l与单位上半圆y=JΓ7相切于点C时,

此时平行线束），轴的截距最大，即Z最大

故由圆心O到直线y=T+Z-1的距离d等于半径，

求得Z=&+1或z=-√Σ+l(舍)，

即ZgX=(X+y+ι)mu=(χ+y+ι)∣c=ι+/

综上所得BP∙BAe[θ,1+0]

[方法五]:几何法

由8P∙BA=|8PIlBAIcosNPBA=&IBPICOSZPBA=√2∣BC

得要求BP-BA的取值范围，只要求∣8C∣的取值范围即可

过点P作BA的垂线PC,交BA的延长线于点C

由AB1.PC,得&AB∙M>C=T,即L=T

设PC：y=-χ+b

如图，（1）当直线PC过点Z）时，,4最小

又由直线ARy=χ-ι,联立直线PC的方程,

得此时的即

C(O,-1),IBCImm.=0

(2)当直线PC与圆弧相切于点P(第一象限)时，BC最大

,求得6=√Σ或h=-√Σ(舍)

从而有BP∙8Ae[θ,l+√Γ∣

［方法六］：

由题意设P(CoSC,sin。)，αe[0,π],贝IJBP=(CoSa,1+sina),XBA=(1,1),所以

BP-BA-cosα+sinα+1=√2sin（α+ɪ）+!∈[0,l+√21,所以BP∙BA的取值范围为[0,1+伪.

4

【考点】平面向量的数量积、三角函数的图象和性质、数形结合的思想

【名师点睛】本题解答时利用数形结合思想，将问题转化到单位圆中，从而转化成平面向量

的坐标运算，利用三角函数的图象和性质，得到8P∙8A的取值范围本题主要考查考生的逻

辑推理能力、基本运算求解能力、数形结合思想、转化与化归思想等.

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生

应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

X=3f-4∕r,

13、（2021年上海高考真题）已知参数方程,一Je，则下列曲线方程符

y=2∕∙√l→τ

合该方程的是（）

A.B.C.D.

【答案】B

令y=()=/=-1,0,1,

易得函数恒过定点（0,0卜（1,0》（-1,0）,结合选项易得5

14、（2019年上海高考真题）已知平面α、β、y两两垂直，直线。、6、C满足：α⊂α,

bjβ,yy,则直线。、b、C不可能满足以下哪种关系（）

A.两两垂直B.两两平行C.两两相交D.两两异面

【解答】解：如图1,可得a、b、C,可能两两垂直；

如图2,可得a、b、C可能两两相交;

如图3,可得。、b、C可能两两异面;

15、(2012・上海・高考真题)设叱=台a⅛「轧=遹"闻智…系戈,在蜀汉中，

正数的个数是()

A.25.B.50.C.75.D.100.

【答案】D

【详解】由于f(n)=Sin砥的周期T=50

由正弦函数性质可知，aɪ,a2,a2<>0,a25=0,a26,a27,a。。，aw=0

且Sin型生=-sin±,SinZ^=-Sin空…但是f(n)=L单调递减

25252525∏

a26…a50都为负数，但是∣a25∣<a1,∣a26∣<a2,-,|a«|<a24

Sl,S2,-,S25中都为正，而S26,S27,•••,SSO都为正

同理Si,Sz,S75都为正，Si,Sz,…，Szs,SlOo都为正，

故选D

16、(2016•上海・统考高考真题)设了(X)、g(x)、力(X)是定义域为R的三个函数，对于命题：

①若/(x)+g(χ)∖/(x)+∕ι(x)∖g(∙χ)+%(x)均为增函数，则/(幻、以尤)、MX)中至少有一个

增函数；②若/(x)+g*)、八外+心)、g(x)+*x)均是以T为周期的函数，则/⑴、g(x)、

Mx)均是以T为周期的函数，下列判断正确的是

A.①和②均为真命题

B.①和②均为假命题

C.①为真命题，②为假命题

D.①为假命题，②为真命题

【答案】D

【详解】试题分析：

因为/(χ)="(X)+g(x)]+【/(X)+〃(x)J-Ig(X)+A(X)]所以

了(XIT)="(x+7)+g(x+T)]+"(x+T)+//(X+T)]-[g(x+T)+∖(x+T)]又f(χ)+g(χ)、

/(x)+〃(x)、g(x)+∕ι(x)均是以T为周期的函数，所以

/(x+T)="(X)+g(x)]+"(©；"x)]Tg(X)+"J)】与⑶所以f(x)是周期为7的函数，同

理可得g(x)、〃(x)均是以7为周期的函数，2正确；增函数加减函数也可能为增函数，因

此①不正确.选D.

【考点】抽象函数、函数的单调性、函数的周期性

【名师点睛】本题主要考查抽象函数的单调性与周期性，是高考常考内容.本题有一定难度.

解答此类问题时，关键在于灵活选择方法，如结合选项或通过举反例应用“排除法”等.本

题能较好地考查考生分析问题与解决问题的能力、基本计算能力等.

三、解答题(本大题共5小题，满分76分)

17、(2015・上海・统考高考真题)如图，圆锥的顶点为尸，底面的一条直径为C为半

圆弧."的中点，E为劣弧CB的中点,已知P°二；OH=1,求三棱锥P-AOC的体积,

并求异面直线/T与所成角的大小.

ariKQ5-----

【答案】肮

【详解】因为尸°=L。<=1,

所以三棱锥尸一一℃的体积

尸=15」“。尸=IXlXdOXCoX。尸=IXLXIXlx2=J

332323

因为OEλc,所以异面直线尺4与°E所成的角就是尸曾与MC的夹角.

在&4CP中，MC=JΣ,√iP=CP=J^

过尸作*展，则M邛，

gsdΛH=更=叵

在嬴工妞F中，<p10,

aκcθs

所以异面直线尸；与0E所成角的大小胧,

考点：圆锥的性质，异面直线的夹角.

18、(2011•上海・高考真题)已知函数AX)="∙2'+43',其中常数满足而≠0.

(1)若而>0,判断函数/(x)的单调性；

(2)若ab<O,求/(x+l)>∕(x)时X的取值范围.

【答案】(1)当”>0,6>0时，函数F(X)在R上是增函数,当α<O,b<O时，函数f(x)在R上

是减函数；(2)当“<0S>0时，则x>log2Q^)；当α>O,b<O时，B∣Jx<log15(-^).

【详解】(1)当”>0,6>0时，任意占,々€凡王<七，

则/(X1)-/(x2)=。(28-2*)+伙3』一3%)

∙.∙2x∙3,力O=a(2x'-2x-)<0,3'(3巧㈤On⅛(3r'-3Λ2)<O.

/(xl)-∕(⅞)<0,函数/*)在R上是增函数，

当。<0力<0时，同理，函数/(X)在R上是减函数；

(2)/(x+1)-/(x)=a-2'+2⅛∙3r>O

当〃<0力>0时，(⅛>~,5l∣Jx>log15(-⅛；

22b2b

当4>0,b<0时，(⅛<-⅛,则x<10g”(—三).

22b2b

/(x)=cos2x-sin2x+-,X∈(O,Λ∙)

19、(2017•上海统考高考真题)已知函数2.

(1)求/(x)的单调递增区间；

⑵设AfiC为锐角三角形，角A所对边α=J历，角8所对边〃=5,若/(A)=0,⅛ABC

的面积.

【答案】⑴却萨・⑵呼

【分析】(1)利用降次公式化简f(χ),然后利用三角函数单调区间的求法，求得了(χ)的单

调递增区间.

(2)由,f(A)=O求得A,用余弦定理求得c,由此求得三角形ABC的面积.

【详解】⑴依题意/(x)=CoS2χ-si∏2χ+g=cos2x+g(x?(0,π)),由2E-兀≤2x≤2E

得E-W≤x≤E,令Z=I得5≤x≤π.所以/(χ)的单调递增区间S,p±.

22g20

(2)由于“<b,所以A为锐角，即0<4<],0<24<限由/(A)=0,得

II2兀Jt

cos2Λ+—=0,cos2A=—,所以24=—,A=-.

2233

由余弦定理得/=〃+/一2A∙cosA.c2-5c+6=0,解得C=2或C=3.

当c∙=2时，CoSB=上±Q=-叵<0,则8为钝角，与已知三角形43C为锐角三角形

Iac38

矛盾.所以c=3.

所以三角形ABC的面积为IbcSinA=ɪ×5×3×—=.

2224

【点睛】本小题主要考查二倍角公式,考查三角函数单调性的求法,考查余弦定理解三角形，

考查三角形的面积公式，属于基础题.

Γ:----Fy-=IZrZr

20、(20221年上海高考真题)已知椭圆2■,小鸟是其左右交点，直线/f过点

p(〃刈(，-⑹交『于A,8两点,且A在线段族上,且A,8都在轴上方

(1)若B为椭圆「的上顶点，且画卜IP川，求〃?的值；

(2)若耳A∙EK=；,且原点。到直线/的距离为誓,求直线/的方程；

(3)对任意点，是否存在唯一直线，使得FtA∕/F2B成立？若存在，求出直线的斜率；若

不存在，请说明理由.

【解析】(1)因为B是上顶点则IBGl=α=&厕∣Pξ∣=-l-m=√2=-1-42

...,..2.2

(2)FiAF2A=(AO+OFl)(AO-OF,)=AO'-OF,'

=χj+yj-ι=∕+ι-^-―1=券=；,得XA=一生力=9

、√6√6∣V^+D∣4√15

设=)一丁=左(工+丁)，则d=—I——=——,解得火=3

33√1÷J1215

,:y=3%+-ʌ/ð

∙^AB3

(3)设A(Xl,必),3(乙,%)，直线/：x=/z)'+m

-W-rɔΛ/∕j-ŋn∣∣y?∖-mm-∖m-∖

右耳A〃■,则rR=Q-F=QM

X=hy+m

22

联立直线与椭圆得x2=>(∕z+2)y2+2相/∕y+m2-2=o.

.^2^+γ一

2

ππ2mhm一2

即必+以=-EM%=κ

12mhm-∖1_m

≡÷≡τy'~~h2+2'm+↑y'~A2+2

λu、—∕I(2H÷1)tn—1/("+I)"m"-2

代入'=E

2222222

所以-1)〃-=(∕τr一2)(〃一+2),ιnh-∕ι^mh-2h+2m—4

,Λ>O

,222

..∕2=2m-4=>h=∖∣2m-4=>k=.-ι艮p证

√2m2-4'

即对于任意加<-&,使得EA//&8的直线有且仅有一条

21、(2014.上海高考真题)本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第

3小题满分9分.

已知数歹IJ伍“｝满足≤α,,+∣<3an,neN*,a,=1.

(1)若%=2,。3=%，。4=9,求1的取值范围；

(2)若｛&｝是公比为9等比数列，S,,=q+%++«„,gs,,≤S,,+∣≤3S,,,"∈N*,求夕的取值

范围；

(3)若q,,,,%成等差数列，且4+/++¾=1000,求正整数Z的最大值，以及Z取

最大值时相应数列4，%，，4的公差.

【答案】⑴[3,6];(2)4,21；(3)Z的最大值为1999,此时公差为4=-焉.

【分析】(1)依题意：^a2≤a3≤3a2,又g%≤出≤3%将已知代入求出X的范围；

(2)先求出通项：a-由g4≤∕≤3ol求出g≤g43,对g分类讨论求出S”分别代

入不等式gw≤S"+∕W3S",得到关于q的不等式组，解不等式组求出q的范围.

(3)依题意得到关于人的不等式，得出上的最大值，并得出k取最大值时卬，。2,…心的

公差.

【详解】(I)依题意：^a2<a3≤3a2,

21

-≤ɪ≤6；又]”3≤α4≤3<¾

Λ3≤x≤27,

综上可得：3WxW