安徽省合肥市六校联盟2024届高三年级上册期中联考数学试题（解析版）

安徽省合肥市六校联盟2024届高三上学期期中联考

数学试题

一、选择题

1.设集合U={XWN|JC<6},人={。，2,4},8=0,2,5},贝|隔力八8=()

A.{5}B.{0,1,5}C.{1,5}D.{0,1,3,5}

【答案】C

【解析】由题意U={xeN|x<6}={0,l,2,3,4,5},

又4={0,2,4},所以6A={1,3,5},

又8={1,2,5},所以(毛4)<^5={1,5}.

故选：C.

x+2

是“---->0”的()条件.

x-1

A.必要不充分B.充分不必要

C.充要D.既不充分也不必要

【答案】B

丫+2

【解析】由不等式0>0,等价于(x+2)(x—l)>0,解得X<—2或X>1,

x+2

当x>l时，不等式一7>0一定成立，反之不一定.

x—1

故选：B.

x-2,x>lQ,

3.设〃x)='«(x+7)),x<10,则〃*()

A.10B.11C.12D.13

【答案】C

【解析】因为/(9)=/(/(9+7))=/(/(16))=/(16-2)=/(14)=14_2=12.

故选：C.

4.已知a=0.4°$,Z?=0.5°",c=logosO.4,贝!]()

A.a<b<cB.c<a<b

C.c<b<aD.b<a<c

【答案】A

0504

【解析】a=O.4<0.4°=l,b=O.5<0.5°=l,c=log050.4>log050.5=1,排除B,C

又a=O.40-5<O,505<O,504=b

故选：A.

5.已知函数/(x)的部分图象如图所示，则/⑶的解析式可能为()

ln|x|

B.〃x)=

2+sinx

C./(x)=cosx-ln|x|D./(x)=sinx-ln|x|

【答案】D

【解析】由图象可知：/(尤)为奇函数，且定义域为{x|x/0},

/、InIxlln|-x|Inlxl,、zx

对于A，嬴=2+皿)=忘」(立故小)为偶函数，不符合

要求，舍去，

对于C,/(-x)=cos(-x)-ln|-x|=cosx-ln|x|=/(x)为偶函数，不符合要求,

舍去，

对于B,/(-%)=吁闻=帅|丰-f(x\,故f(x)不是奇函数，不符合要求，舍去,

2-sin%2-sin%

故选：D.

6.将甲桶中的。升水缓慢注入空桶乙中，/min后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线

y=aen,.假设过5min后甲桶和乙桶的水量相等，若再等机min甲桶中的水只有巴升，则m

8

的值为()

A.5B.6C.8D.10

【答案】D

ae5n=-

【解析】由题意可得：\2，

(5+m)n_a

[8

e5n=-,5n=ln-,n=--ln2；

225

(5+6)(一32)Jin2-平15+m5+n?

e/=一,e=—，75—9-3-—-=3,解得机=10.

882-2

故选：D.

7.定义域为R的可导函数y=〃九)的导函数为f'(x)，满足/(x)</'(%),且〃0)=3,

则不等式/(x)<3eA'的解集为()

A.(-co,0)B.C.(0,+oo)D.(2,+oo)

【答案】A

【解析…(+则"⑴丁)匚小1>。,

ex(e)e

所以g(%)在R上单调递增.

〃x)<3e=4^<3=S5,即g(x)<g(0),

ee

所以x<0.

故选：A

8.点p,。分别是函数y(x)=3x—4,g(x)=X2_2hu图象上的动点，则|PQ『的最小值为

33

A.-(2+ln2)92B.-(2-ln2)29

22

C.-(l+ln2)92D.-(l-ln2)92

【答案】D

【解析】当函数g(x)=f—2hu在点。处的切线与〃无)=3x—4平行时，IPQI?最小.

?91

g'(x]=2x一一，令g'(x)=2x--=3得x=2或％=-大(舍)，所以切点为Q(2,4—21n2),

xx2

所以IPQI的最小值为切点g(2,4-21n2)到直线/(九)=3九—4的距离

_|6-4+21n2-4|_|21n2-2|

d~VioVio

9

所以IPQ『的最小值为rf2=-(l-ln2)2.

故选：D.

二、多选题

9.下列命题为真命题的是()

什E11

A.右a>b,则一>一

ba

B.若a>b>0,则a?>>>2

C.6ia>b^ac2Ab/，，的必要条件

D.若a>/?>0,c<d<0,贝

a-cb-d

【答案】BCD

【解析】选项A：当a=l/=—1时，不等式不成立，A错；

选项B：a>b>0,两边分别同乘。，瓦

则有a2>ab,ab>b2故有a2>ab>b2选项B正确;

选项C:当c=0时，"a/>儿2»不成立，

然后a，〉》/,可以解得“〃”，，，故是“。，>儿2”的必要条件，选项c正确；

选项D：。>6>0,。<6?<0则一(?>一4>0,〃一。>/?-4>(),

则有」一<」一，选项D正确；

a-cb-d

故选；BCD.

10.函数y=x—Inx—2在下列哪个区间内有零点（）

A.（0,1）B,（1,2）C.（2,3）D,（3,4）

【答案】AD

【解析】令/（x）=y=x-lnx-2,x>0,

则（（力=1」=3,

XX

所以当0<x<l时，f'（x）<0,故函数在（0,1）上单调递减；

当％>1时，/^）>0,故函数在（1,+8）上单调递增；

又/（e-2）=e-2-lne-2-2=e-2>0

/（l）=l-lnl-2=-l<0,

所以/（片2）/（1）<。，所以（0,1）内存在零点，故A正确；

/（2）=2-ln2-2=-ln2<0,

所以7（1）/（2）>。,所以（1,2）内不存在零点,故B错误；

/（3）=3-ln3-2=l-ln3<0,

所以/'（2）/■⑶>0,所以（2,3）内不存在零点，故C错误；

/（4）=4-ln4-2=2-1114>0,

所以/（3）/（4）<。,所以（3,4）内存在零点,故D正确.

故选：AD

11.已知4。+力=。力3>0力>0）,则下列结论正确的是（）

A.的最小值为16B.的最小值为9

21141

C.—十7的最大值为2D.二十二的最小值为一

abab5

【答案】ABD

【解析】因为4>。*>。，所以4a+Z?=ab24ab=4，解得^fab24，即必N16,

4〃=bQ=2

当且仅当17即〈7C时，。。的最小值取到16,故A正确;

4a+b=ab[Z?=8

41

因为4。+〃=/2,所以一+―=1,所以

ba

,7\f41^_4ab_[4a__b.

〃+/?=(〃+b7)—I—=5H----1—25+2J—x—=9,

\ba)ba\ba

41

—I—=1]

ba口口a=3

当且仅当《即《7/时〃+Z?取到最小值为9,故B正确;

4a_bb=6

、ba

,b

由Aa+b=ab^a=----，

b-4-

足2212。—4)12b—707

所以一+—=—----L+-=-----=2—一，

abbbbb

7

因为〃>0,所以2——<2,故C错误;

b

14_14_820

/+源=(b丫+”g+乒,

令工=中>0)所以上式可化为20r—8/+1=20,—+1,

b

所以当/=工时，上式取到最小值

55

141

所以二+丁的最小值为―，故D正确.

a2b25

故选：ABD

12.己知函数〃九),g(%)的定义域为R,g'(x)为g(%)的导函数且/■(》)+g'(x)=3,

〃x)—g'(4—x)=3,若g⑴为偶函数，则下列结论一定成立的是()

A./(-1)=/(-3)B./⑴+/⑶=6

c.g'⑵=3D./（4）=3

【答案】BD

【解析】对于D,g（九）为偶函数，贝!]g（x）=g（-x）,

两边求导可得g'（x）=—g'（T）,则g'（x）为奇函数，

则g'（O）=O,令x=4,则/⑷-g<0）=3**4）=3,D对；

f/（2）+g,（2）=3f/（2）=3

对于C—可得逐1在3,则[g，（2）3。错；

对于B,/（x）+g,（x）=3,可得〃2+x）+g，（2+x）=3,

/（X）—g'（4—x）=3可得/（2—x）—g'（2+x）=3,

两式相加可得/（2+x）+〃2-x）=6,

令x=l,即可得/（1）+/（3）=6,B对；

又，/（x）+g'（x）=3,

pliJ/（x-4）+g,（x-4）=/（x-4）-g,（4-x）=3,

“x）—g'（4—x）=3,可得〃x）=/（x—4）,

所以了（无）是以4为周期的函数，

所以根据以上性质不能推出=A不一定成立.

故选：BD.

三、填空题

13.已知幕函数/（尤）=（根—1）2——+2在（0,+8）上单调递减，则m=

【答案】2

【解析】因为/（力=（机—1）2无毋-4m+2为幕函数，

所以加=0或m=2,

又/（X）=（加—1）2/j“+2在（0,+8）上单调递减，

由幕函数性质，可得：irr-4/n+2<0，解得：2—8v7〃v2+J5,

所以加=2.

故答案为：2.

14.计算廉+24+log23=•

【答案】50

【解析】83+24+g3=2+24.2电3=2+16><3=50.

故答案为：50.

2x

15.设函数〃x)=j,若r(o)=i,则。=.

x+a

【答案】1

、2e2r(x+tz)-e2v..la-1

【解析】由题意可知/(力=—;——9一,且/"(0)=1,则^^=1,

(x+a)<T

整理可得2a+1=0,解得a=L

故答案为：1.

­|4v-2|,x<l

16.己知函数/(%)=g(x)=x2+ax+2,若函数y=g(/(x))有6个零

3-x,x>1

点，则实数。的取值范围为.

【答案】(-3,-272)

/、14x-2|,x<l

【解析】画出/(x)=l1的图象如下:

3-x,x>1

因为g(x)=%?+◎+2最多两个零点，

即当△=〃—8>0,。>2&或a<—2加时,8(九)=f+依+2有两个不等零点32,

要想>=g(/(%))有六个零点，结合函数图象,要/(%)=4和/(%)=t2分别有3个零点，

则。,/2C(。,2)且4A，

即g(x)=f+砒+2的两个不等零点小才2e(0,2),

A=tz2—8>0

0<--<2「

则要满足j2,解得—3<。<一2直，

g⑵〉0

g(0)>0

故实数”的取值范围为卜3,-2四)

故答案为：卜3,-2夜).

四、解答题

17.设函数y=lg(-尤？+5%-4)的定义域为集合A,函数y=-^—X£(0,间的值域为集

X+1

合庆

(1)当根=1时，求

(2)若“xeA”是的必要不充分条件，求实数加的取值范围.

⑴解：对于函数y=lg(—V+5无一4),有—f+sx—4>0，^x2-5x+4<0,

解得l<x<4,得A=(l,4),

3333

当“2=1时，因为函数丫=­j■在(0,1)上递减，则^~-<y<-―即彳<y<3,

所以B=[T'3]'所以AU3=(1,4).

(2)解：因为“xeA”是的必要不充分条件，

函数y=在(0,加)上递减，所以8=[冽：],3],且m>0,

,

所以，《m+1,解得0＜加＜2.

m＞0

因此，实数机的取值范围是(0,2].

18.已知二次函数/⑺满足〃x+l)—/(4=2尤,且/⑼=—1.

(1)求〃尤)的解析式;

(2)求g(x)=_^(x),%e[—1,2]的值域

解：⑴设〃%)=改2+—+0,(〃W0)

则/(X+1)-/(%)=2依+〃+/?=2x

〃o)=c=-lc=-l

所以《2a=2n4=1,,

a+b=Ob=­l

故/(x)=x2

(2)g(X)=X3-X2-X,XG[-1,2]

gr(x)=3x2-2x-l=(3x+l)(x-l),g'(x)=(3x+l)(x-l)=0,x=-^,l,

令g'(%)>0,解得：一l<x<-g或1cx<2,

令g'(x)<0,解得：-g<x<l,

列表如下：

_1

X-110,2)2

RT)~319

g'(x)+0-0+

g(x)-1单调递增极大值二单调递减极小值-1单调递增2

27

所以g(x)的值域为卜1,2]

19.设函数/(%)=</+W(a>0且"1)为奇函数，且/⑴=；.

(1)求。，左的值；

(2)3xe1,2，使得不等式/(2/)+/(1—如)<。成立，求用的取值范围.

解：（1）/（无）是R上的奇函数，

/（0）=0,即1+左=0,

k=-l,经检验左=—1符合题意.

3

又/（1）=。一。7=5，即2a2—3a—2=0，

解得4=—（舍去），4=2.

2

故〃=2,k=—L.

（2）3xeg,2，使得了（2%2）＜-/（1-烟），即/Qd）＜〃-1+阻），

Q〃x）=2x—*在R上单调递增，

e—,2,使得2%2＜一1+如，

即3xe—,2,使得m＞2.xH—，

［2Jx

所以加〉［2x+，］,

I"min

又因+=当且仅当x时取"=”，

xVx2

所以机＞2板.

20.如图所示，一座小岛距离海岸线上的点P的距离是2km，从点P沿海岸正东12km处

有一个城镇.一个人驾驶的小船的平均速度为3km/h,步行的速度是5km/h,t（单位：h）

表示他从小岛到城镇所用的时间，x（单位：km）表示小船停靠点距点P的距离.

城鹊

\2-x--

(1)将f表示为％的函数，并注明定义域;

(2)此人将船停海岸线上何处时，所用时间最少？

解：(1)由题意可得:

J/+412-x

t=---------+--1--x-|-0-<x<12}.

35

,%1,%1八3

⑵'由'解得.万.

X111

3&+45311+±~5[0,12]上递增，列表如下:

2

X12

K)2(r)

t'—0+

t单调递减最小值单调递增

3

所以此人将船停在点尸沿海岸正东3km处，所用时间最少.

2

21.已知/(%)=:%2—4%—111¥,(420)

(1)当。=1时，求函数〃尤)在％=1处的切线方程;

(2)设/是函数/(无)的极值点，证明：/(x0)<1.

(1)解：当Q=1时，/'(X)=%—1,

X

r(i)=—1，切点为I,一；

所以在X=1处的切线方程为y-(x-1),BPy=—x+—;

(2)证明：/(龙)的定义域为{Nx>0},

=,令/'(%)=%一〃一!=0,

贝!J%2—四―1=0，记此方程的实数根为王，龙2，且不<12,

记9(x)-ax-\,由o(0)=-1<0,o(l)=-a<Q,

则知<0<1<x2.

r

当工时，/4x)>0;当0<元<九2时，/(x)<0,

所以了(%)在(0,x2)上递减，在(42，口)上递增，

则巧是函数/(X)唯一的极值点，无2=九0.

-axQ