2023-2024学年北师大版选择性必修第一册 二项式定理的综合应用 课件（43张）

假如今天是星期一，7天后是星期几？16天后是星期几？82022天后是星期几？怎样准确快速地得到答案？导语随堂演练课时对点练一、两个多项式乘积的特定项二、系数的最值问题三、整除和余数问题内容索引一、两个多项式乘积的特定项例1

(1)(1＋2x)3(1－x)4的展开式中，含x项的系数为A.10 B.－10C.2 D.－2√解析(1＋2x)3(1－x)4的展开式中含x项的系数是由两个因式相乘而得到的，即第一个因式的常数项和一次项分别乘第二个因式的一次项与常数项，(2)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中，含x2的项的系数为5，则a等于A.－4 B.－3 C.－2 D.－1√所以a＝－1，故选D.反思感悟求多项式积的特定项的方法——“双通法”所谓的“双通法”是根据多项式与多项式的乘法法则得到，(a＋bx)n(s＋tx)m的展开式中一般项为Tk＋1·Tr＋1＝

，再依据题目中对指数的特殊要求，确定r与k所满足的条件，进而求出r，k的取值情况.跟踪训练1

(1)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为A.12 B.16 C.20 D.24√方法二∵(1＋2x2)(1＋x)4＝(1＋2x2)(1＋4x＋6x2＋4x3＋x4)，∴x3的系数为1×4＋2×4＝12.(2)(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为_____.(用数字作答)解析由二项展开式的通项公式可知，－20二、系数的最值问题例2

已知

的展开式中前三项的二项式系数之和等于79，求展开式中系数最大的项.即n2＋n－156＝0.解得n＝－13(舍去)或n＝12.设Tk＋1项的系数最大，解得9.4≤k≤10.4.又∵0≤k≤n，k∈N，∴k＝10.∴展开式中系数最大的项是第11项，反思感悟求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式(组)、解不等式(组)的方法求解.一般地，如果第(k＋1)项的系数最大，则与之相邻两项第k项，第(k＋2)项的系数均不大于第(k＋1)项的系数，由此列不等式组可确定k的范围，再依据k∈N来确定k的值，即可求出最大项.跟踪训练2已知

的展开式中，求该展开式中系数最大的项.解设第Tk＋1项的系数最大，∵0≤k≤10，k∈N，∴k＝7，∴展开式中系数最大的项为.三、整除和余数问题例3

(1)试求201910除以8的余数；解201910＝(8×252＋3)10.∵其展开式中除末项为310外，其余的各项均含有8这个因数，∴201910除以8的余数与310除以8的余数相同.又∵310＝95＝(8＋1)5，其展开式中除末项为1外，其余的各项均含有8这个因数，∴310除以8的余数为1，即201910除以8的余数也为1.(2)求证：32n＋2－8n－9(n∈N＋)能被64整除.证明32n＋2－8n－9＝(8＋1)n＋1－8n－9①式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整除.反思感悟利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系.跟踪训练3

求证：2n＋2·3n＋5n－4(n∈N＋)能被25整除.证明原式＝4·6n＋5n－4＝4·(5＋1)n＋5n－4以上各项均为25的整数倍，故2n＋2·3n＋5n－4能被25整除.1.知识清单：(1)两个多项式乘积的特定项.(2)系数的最值问题.(3)整除与余数问题.2.方法归纳：

双通法.3.常见误区：项、项数、二项式系数、系数等概念的辨析.课堂小结随堂演练1.的展开式的常数项为A.25 B.－25 C.5 D.－51234√令6－2k＝－2，或6－2k＝0，分别解得k＝4或k＝3.12342.(1－2x)5的展开式中系数最大的项是A.第3项 B.第4项C.第5项 D.第6项√即k＝0,2,4，对应的系数分别为1,40,80，故k＝4时，即第5项是展开式中的系数最大的项.12343.(x＋1)4(x－1)的展开式中x3的系数是__.2解析(x＋1)4(x－1)的展开式中含x3的项由以下两部分相加得到：②(x＋1)4中的三次项乘以(x－1)中的常数项－1，所以(x＋1)4(x－1)的展开式中x3的系数是6＋(－4)＝2.12344.230－3除以7的余数为__.解析230－3＝(23)10－3＝810－3＝(7＋1)10－35又∵余数不能为负数(需转化为正数)，∴230－3除以7的余数为5.课时对点练基础巩固123456789101112131415161.的展开式的常数项是A.－3 B.－2 C.2 D.3√令10－2k＝2或10－2k＝0，解得k＝4或k＝5.123456789101112131415162.(1－x)4的展开式中x2的系数是A.－6 B.－3C.0 D.3√∴x2的系数是－12＋6＝－6.123456789101112131415163.1.026的近似值(精确到0.01)为A.1.12 B.1.13C.1.14 D.1.20√解析1.026＝(1＋0.02)6≈1＋0.12＋0.006≈1.13.123456789101112131415164.(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是A.56 B.84 C.112 D.168√所以x2y2的系数为28×6＝168.12345678910111213141516A.0 B.8 C.7 D.2√所以除以9的余数为0.123456789101112131415166.(多选)的展开式中A.x3的系数为40 B.x3的系数为32C.常数项为16 D.常数项为8√√解析(1＋x2)(2＋x)4＝(2＋x)4＋x2(2＋x)4，展开式中x3的系数分为两部分，所以含x3的系数是8＋32＝40，故A正确；展开式中常数项只有(2＋x)4展开式的常数项24＝16，故C正确.123456789101112131415167.在

的展开式中常数项等于___.9123456789101112131415168.的展开式中含x的项为_____.10x123456789101112131415169.用二项式定理证明1110－1能被100整除.证明1110－1＝(10＋1)10－1显然上式括号内的数是正整数，所以1110－1能被100整除.1234567891011121314151610.求

的展开式中系数最大的项.解设展开式中第k＋1项的系数最大，又因为0≤k≤5，k∈N，所以k＝4，所以展开式中第5项系数最大..12345678910111213141516综合运用A.0 B.2 C.7 D.8√除最后两项外，其余各项都是9的倍数.因为n为正奇数，所以(－1)n－1＝－2＝－9＋7，所以余数为7.1234567891011121314151612.若(x2－a)的展开式中x6的系数为30，则a等于√12345678910111213141516解得a＝2.1234567891011121314151613.设a∈Z，且0≤a＜13，若512020＋a能被13整除，则a等于A.0 B.1C.11 D.12√解析512020＋a＝(13×4－1)2020＋a，被13整除余1＋a，结合选项可得当a＝12时，512020＋a能被13整除.1234567891011121314151614.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设a，b，m(m>0)为整数，若a和b被m除所得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a≡b(modm).若a＝

，a≡b(mod10)，则b的值可以是A.2021 B.2022C.2023 D.2024√12345678910111213141