分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第1课时）（人教A版2019选择性必修第三册）

1第6章《计数原理》人教A版2019选择性必修第三册6.1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第1课时）1.通过实例能归纳总结出分类加法计数原理与分步乘法计数原理;2.正确理解“完成一件事情”的含义，能根据具体问题的特征,选择“分类”或“分步”.3.能利用两个原理解决一些简单的实际问题.4.核心素养:数学建模、数学运算。学习目标

汽车号牌的序号一般是从26个英文字母、10个阿拉伯数字中选出若干个，并按适当顺序排列而成．随着人们生活水平的提高，家庭汽车拥有量迅速增长，汽车号牌序号需要扩容．那么，交通管理部门应如何确定序号的组成方法，才能满足民众的需求呢?这就需要“数(shǔ)出”某种汽车号牌序号的组成方案下所有可能的序号数，这就是计数．

日常生活、生产中类似的问题大量存在．

例如，幼儿会通过一个一个地数的方法，计算自己拥有玩具的数量；

学校要举行班际篮球比赛，在确定赛制后，体育组的老师需要知道共需要举行多少场比赛；用红、黄、绿三面旗帜组成航海信号，颜色的不同排列表示不同的信号，需要知道共可以组成多少种不同的信号……

如果问题中数量很少，一个一个地数也不失为一种计数的好方法．

但如果问题中数量很多，我们还一个一个地去数吗?环节一：创设情境，引入课题

在小学我们学了加法和乘法，这是将若干个“小”的数结合成“较大”的数最基本的方法．

这两种方法经过推广就成了本章将要学习的分类加法计数原理和分步乘法计数原理．

这两个原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，利用两个计算原理还可以得到两类特殊计数问题的计数公式一排列数公式和组合数公式，应用公式就可以方便地解决一些计数问题．

作为计数原理与计数公式的一个应用，本章我们还将学习在数学上有广泛应用的二项式定理．

计数问题是我们从小就经常遇到的，通过列举一个一个地数是计数的基本方法．但当问题中的数量很大时，列举的方法效率不高．

能否设计巧妙的“数法”，以提高效率呢?下面先分析一个简单的问题，并尝试从中得出巧妙的计数计数方法．用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码?探究你能说一说这个问题的特征吗?首先，这里要完成的事情是“给一个座位编号”；其次是“或”字的出现：一个座位编号用一个英文字母或一个阿拉伯数字表示．因为英文字母与阿拉伯数字互不相同，所以用英文字母编出的号码与用阿拉伯数字编出的号码也互不相同．这两类号码数相加就得到号码的总数．上述计数过程的基本环节是：（1）确定分类标准，根据问题条件分为字母号码和数字号码两类；（2）分别计算各类号码的个数；（3）各类号码的个数相加，得出所有号码的个数．你能举一些生活中类似的例子吗？环节二：观察分析，感知概念一般地，有如下分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，两类不同方案中的方法互不相同．例1

在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A，B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如表6.1-1．表6.1-1A大学B大学生物学数学化学会计学医学信息技术学管理学法学工程学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择?分析：要完成的事情是“选一个专业”．因为这名同学在A，B两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又因为这两所大学没有共同的强项专业，所以符合分类加法计数原理的条件．解：这名同学可以选择A，B两所大学中的一所．在A大学中有5种专业选择方法，在B大学中有4种专业选择方法．因为没有一个强项专业是两所大学共有的，所以根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择种数为探究如果完成一件事情有n类不同方案，在每一类中都有若干种不同的方法，那么应当如何计数呢?环节三：抽象概括，形成概念这里要完成的事情仍然是“给一个座位编号”，但与前一问题的要求不同．在前一问题中，用26个英文字母中的任意一个或10个阿拉伯数字中的任意一个，都可以给出一个座位号码．但在这个问题中，号码必须由一个英文字母和一个作为下标的阿拉伯数字组成，即得到一个号码要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这样两个步骤．用图6.1-1所示的方法可以列出所有可能的号码．字母

数字

得到的号码

A123456789A1A2A3A4A5A6A7A8A9树形图我们还可以这样来思考：由于前6个英文字母的任意一个都能和9个数字中的任何一个组成一个号码,而且它们各不相同,因此共有6×9=54个不同的号码.

解决计数问题常用的“树状图”．

你能用树状图列出所有可能的号码吗？探究你能说一说这个问题的特征吗?上述问题要完成的一件事情仍然是“给一个座位编号”，其中最重要的特征是“和”字的出现：一个座位编号由一个英文字母和一个阿拉伯数字构成．因此得到一个座位号要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这两个步骤，每一个英文字母与不同的数字组成的号码是互不相同的．一般地，有如下分步乘法计数原理：无论第1步采用哪种方法，与之对应的第2步都有相同的方法数．环节四：辨析理解，深化概念例2

某班有男生30名、女生24名，从中任选男生和女生各1名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法?分析：要完成的一件事是“选男生和女生各1名”，可以分两个步骤：第1步，选男生；第2步，选女生．解：第1步，从30名男生中选出1人，有30种不同选法；第2步，从24名女生中选出1人，有24种不同选法．探究如果完成一件事需要三个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第3步有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法?如果完成一件事情需要n个步骤，做每一步都有若于种不同的方法，那么应当如何计数呢?例3

书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书．（1）从书架上任取1本书，有多少种不同取法?（2）从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有多少种不同取法?分析：（1）要完成的一件事是“从书架上取1本书”，可以分从第1层、第2层和第3层中取三类方案；（2）要完成的一件事是“从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书”，可以分三个步骤完成．解：（1）从书架上任取1本书，有三类方案：第1类方案是从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2类方案是从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3类方案是从第3层取1本体育书，有2种方法．根据分类加法计数原理，不同取法的种数为环节五：课堂练习，巩固运用例3

书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书．（1）从书架上任取1本书，有多少种不同取法?（2）从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有多少种不同取法?分析：（1）要完成的一件事是“从书架上取1本书”，可以分从第1层、第2层和第3层中取三类方案；（2）要完成的一件事是“从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书”，可以分三个步骤完成．（2）从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，可以分三个步骤完成：第1步，从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2步，从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3步，从第3层取1本体育书，有2种方法．根据分步乘法计数原理，不同取法的种数为相同点:回答的都是有关做一件事的不同方法总数的问题．1.分类计数原理加法与分步乘法计数原理的异同区别在于:分类计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用任何一种方法都可以做完这件事；

分步计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事．

加法计数原理：针对的是“分类”问题.各类方法相互独立.

乘法计数原理：针对的是“分步”问题。

每步相互依存。环节六:归纳总结，反思提升环节七：目标检测，作业布置完成教材：教材第5〜6页练习第1,3题.练习

第5页1．填空题（1）一项工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是

；（2）从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同路线的条数是

．ABC963．书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法?（2）从书架上任取数学书和语文书各1本，有多少种不同的取法?（1）从书架上任取1本书，有两类方法：第1类方法是从上层取1本数学书，有6种取法；第2类方法是从下层取1本语文书，有5种取法．（2）从书架的上、下层各取1本书，可以分成两个步骤完成：第1步，从上层取1本数学书，有6种取法；第