2022-2023学年湖南省邵阳市教育学院附属中学高二数学理期末试卷含解析

2022-2023学年湖南省邵阳市教育学院附属中学高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.数列的一个通项公式是

(

)A.

B.

C.

D.参考答案：B略2.在△ABC中，若（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，则A=（）A．90° B．60° C．135° D．150°参考答案：B【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，展开化为：b2+c2﹣a2=bc．再利用余弦定理即可得出．【解答】解：∵（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，∴（b+c）2﹣a2=3bc，化为：b2+c2﹣a2=bc．∴cosA==，∵A∈（0，π），∴A=60°．故选：B．3.如图所示，OA=1，在以O为圆心，以OA为半径的半圆弧上随机取一点B，则△AOB的面积小于的概率为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】几何概型．【分析】利用OA=1，△AOB的面积小于，可得0＜∠AOB＜或＜∠AOB＜π，即可求出△AOB的面积小于的概率．【解答】解：∵OA=1，△AOB的面积小于，∴＜，∴sin∠AOB＜，∴0＜∠AOB＜或＜∠AOB＜π∴△AOB的面积小于的概率为=．故选：A．4.已知正三角形ABC的顶点A（1，1），B（1，3），顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则z=﹣x+y的取值范围是（）A．（1﹣，2） B．（0，2） C．（﹣1，2） D．（0，1+）参考答案：A【考点】简单线性规划的应用．【专题】计算题．【分析】由A，B及△ABC为正三角形可得，可求C的坐标，然后把三角形的各顶点代入可求z的值，进而判断最大与最小值，即可求解范围【解答】解：设C（a，b），（a＞0，b＞0）由A（1，1），B（1，3），及△ABC为正三角形可得，AB=AC=BC=2即（a﹣1）2+（b﹣1）2=（a﹣1）2+（b﹣3）2=4∴b=2，a=1+即C（1+，2）则此时直线AB的方程x=1，AC的方程为y﹣1=（x﹣1），直线BC的方程为y﹣3=﹣（x﹣1）当直线x﹣y+z=0经过点A（1，1）时，z=0，经过点B（1，3）z=2，经过点C（1+，2）时，z=1﹣∴故选A【点评】考查学生线性规划的理解和认识，考查学生的数形结合思想．属于基本题型．5.在△ABC中，已知a2=b2+c2+bc，则角A为（）A． B． C． D．或参考答案：C【考点】余弦定理．【分析】根据余弦定理表示出cosA，然后把已知的等式代入即可求出cosA的值，由A的范围，根据特殊角的三角函数值即可得到A的度数．【解答】解：由a2=b2+c2+bc，则根据余弦定理得：cosA===﹣，因为A∈（0，π），所以A=．故选C6.已知复数z满足?z=3+4i，则z的共轭复数为（）A．4+3i B．﹣4+3i C．﹣4﹣3i D．4﹣3i参考答案：A【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知的等式变形，然后直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．【解答】解：?z=3+4i，∴z====4﹣3i，∴=4+3i，故选：A7.如果点（5，b）在两条平行线6x-8y+1=0,3x-4y+5=0之间,则b应取的整数值为（

）

A.-4

B.4.

C.-5

D.5.参考答案：B略8.已知直线y=kx与曲线y=lnx有交点，则k的最大值是（）A．e B．﹣e C． D．参考答案：C【考点】对数函数的图象与性质．【分析】要使直线y=kx与曲线y=lnx有公共点，只需kx=lnx有解，再利用分离参数法通过函数的导数求解即可．【解答】解：由题意，令kx=lnx，则k=，记f（x）=，∴f'（x）=．f'（x）在（0，e）上为正，在（e，+∞）上为负，可以得到f（x）的取值范围为（﹣∞，]这也就是k的取值范围，∴k的最大值为：．故选：C．9.读两段程序：对甲、乙程序和输出结果判断正确的是（）A．程序不同，结果不同 B．程序不同，结果相同C．程序相同，结果不同 D．程序相同，结果相同参考答案：B【考点】EF：程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并打印S值【解答】解：程序甲是计数变量i从1开始逐步递增直到i=1000时终止，累加变量从0开始，这个程序计算的是：1+2+3+…+1000；程序乙计数变量从1000开始逐步递减到i=1时终止，累加变量从0开始，这个程序计算的是1000+999+…+1．但这两个程序是不同的．两种程序的输出结果都是：S=1+2+3+…+1000=500500．故选B．【点评】考查由框图分析出算法结构的能力，本题考查是循环的结果．10.已知点，则线段AB的中点的坐标为

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若数列的前n项和为，且满足，则数列的通项公式为

参考答案：12.函数的单调递减区间为

.参考答案：略13.已知圆O：x2+y2=4，直线l的方程为x+y=m，若圆O上恰有三个点到直线l的距离为1，则实数m=．参考答案：【考点】直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式．【分析】根据题意可得圆心O到直线l：x+y=m的距离正好等于半径的一半，可得=1，由此求得m的值．【解答】解：由题意可得圆心O到直线l：x+y=m的距离正好等于半径的一半，即=1，解得m=±，故答案为±．14.三对夫妻排成一排照相，仅有一对夫妻相邻的排法种数为

．参考答案：28815.定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足，，则不等式的解集为__________．参考答案：(0,1)设，则.故函数在上单调递增，又，故的解集为，即的解集为(0,1).点睛：由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系.本题中只需构造函数，求导得到单调性，进而将不等式转化为求解即可.16.关于曲线，给出下列四个结论：①曲线是双曲线；②关于轴对称；③关于坐标原点中心对称；④与轴所围成封闭图形面积小于2．则其中正确结论的序号是

．（注：把你认为正确结论的序号都填上）参考答案：（2）（4）17.设A是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）在第一象限内的点，F为其右焦点，点A关于原点O的对称点为B，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且α∈[，]，则双曲线离心率的取值范围是．参考答案：[，+1]【考点】双曲线的简单性质．【分析】先求出e2=，再根据α∈[，]，即可求出双曲线离心率的取值范围．【解答】解：设左焦点为F'，令|AF|=r1，|AF'|=r2，则|BF|=|F'A|=r2，∴r2﹣r1=2a，∵点A关于原点O的对称点为B，AF⊥BF，∴|OA|=|OB|=|OF|=c，∴=4c2，∴r1r2=2（c2﹣a2）∵S△ABF=2S△AOF，∴r1r2═2?c2sin2α，∴r1r2═2c2sin2α∴c2sin2α=c2﹣a2∴e2=，∵α∈[，]，∴sin2α∈[，]，∴e2=∈[2，（+1）2]∴e∈[，+1]．故答案为：[，+1]．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=lnx﹣．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：x＞0，x＜（x+l）ln（x+1），（Ⅲ）比较：（）100，e的大小关系，（e为自然对数的底数）．参考答案：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题等价于ln（x+1）＞，令t=x+1，则x=t﹣1，由x＞0得t＞1，问题等价于：lnt＞，根据函数的单调性证明即可；（Ⅲ）根据＜1，令x=，得到（1+）ln（x+1）＞1，判断大小即可．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），因为f′（x）=，当a≤0时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞0时，由f'（x）＜0得0＜x＜a，由f'（x）＞0得x＞a，所以函数f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．（Ⅱ）证明：①因为x＞0，x＜（x+l）ln（x+1）等价于ln（x+1）＞，令t=x+1，则x=t﹣1，由x＞0得t＞1，所以不等式ln（x+1）＞（x＞0）等价于：lnt＞，即：lnt﹣＞0（t＞1），由（Ⅰ）得：函数g（t）=lnt﹣在（1，+∞）上单调递增，所以g（t）＞g（1）=0，即：ln（x+1）＞；②因为x＞0，不等式x＜（x+l）ln（x+1）等价于ln（x+1）＜x，令h（x）=ln（x+1）﹣x，则h′（x）=﹣1=，所以h'（x）＜0，所以函数h（x）=ln（x+1）﹣x在（0，+∞）上为减函数，所以h（x）＜h（0）=0，即ln（x+1）＜x．由①②得：x＞0时，x＜（x+l）ln（x+1）；（Ⅲ）由（Ⅱ）得：x＞0时，＜1，所以令x=，得100×ln（+1）＜1，即ln（）100＜1，所以（）100＜e；又因为＞（x＞0），所以（1+）ln（x+1）＞1，令x=得：100×ln＞1，所以ln（）100＞1，从而得（）100＞e．所以（）100＜（）100．19.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an≠0，anan+1=4Sn﹣1．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）证明：++…+＜2．参考答案：【考点】数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）由已知数列递推式可得an+1an+2=4Sn+1﹣1，与原递推式作差可得an+2﹣an=4，说明{a2n﹣1}是首项为1，公差为4的等差数列，{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，分别求出通项公式后可得{an}的通项公式；（Ⅱ）由等差数列的前n项和求得Sn，取其倒数后利用放缩法证明++…+＜2．【解答】（I）解：由题设，anan+1=4Sn﹣1，得an+1an+2=4Sn+1﹣1．两式相减得an+1（an+2﹣a）=4an+1．由于an+1≠0，∴an+2﹣an=4．由题设，a1=1，a1a2=4S1﹣1，可得a2=3．故可得{a2n﹣1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n﹣1=4n﹣3=2（2n﹣1）﹣1；{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n=4n﹣1=2?2n﹣1．∴；（Ⅱ）证明：，当n＞1时，由，得，∴．20.在各项为正的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足Sn＝.(1)求a1，a2，a3；(2)由(1)猜想数列{an}的通项公式；(3)求Sn.参考答案：（1）a1＝1；a2＝－1，a3＝－（2）an＝－（3）(1)当n＝1时，S1＝，即a21－1＝0，解得a1＝±1.∵a1>0，∴a1＝1；当n＝2时，S2＝，即＋2a2－1＝0.∵a2>0,∴a2＝－1.同理可得，a3＝－.(2)由(1)猜想an＝－.(3)Sn＝1＋(－1)＋(－)＋…＋(－)＝.21.已知四棱锥S﹣ABCD，底面为正方形，SA⊥底面ABCD，AB=AS=a，M、N分别为AB、SC中点．（Ⅰ）求四棱锥S﹣ABCD的表面积；（Ⅱ）求证：MN∥平面SAD．参考答案：【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（Ⅰ）由条件可得△SAB≌△SAD，△SBC≌△SCD，再根据S表面积=2S△SAB+2S△SBC+SABCD运算求得结果．（Ⅱ）取SD中点P，利用三角形的中位线的性质证得AMNP是平行四边形，可得MN∥AP．再根据直线和平面平行的判定的定理证得MN∥平面SAD．【解答】解：（Ⅰ）∵SA⊥底面ABCD，∴SA⊥AB，SA⊥AD，SA⊥BC．又BC⊥AB，∴BC⊥平面SAB，∴BC⊥S