中考数学考点集训分类训练10 二次函数的实际应用(含答案)

分类训练10二次函数的实际应用命题点1抛物线形问题角度1抛物线形运动轨迹问题1(2022河南)小红看到一处喷水景观,喷出的水柱呈抛物线形状,她对此展开研究:测得喷水头P距地面0.7m,水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高,最高点距地面3.2m;建立如图所示的平面直角坐标系,并设抛物线的表达式为y=a(x-h)2+k,其中x(m)是水柱距喷水头的水平距离,y(m)是水柱距地面的高度.(1)求抛物线的表达式.(2)爸爸站在水柱正下方,且距喷水头P水平距离3m.身高1.6m的小红在水柱下方走动,当她的头顶恰好接触到水柱时,求她与爸爸的水平距离.角度2抛物线形建筑物问题2(2022陕西)现要修建一条隧道,其截面为抛物线形,如图所示,线段OE表示水平的路面,以O为坐标原点,以OE所在直线为x轴,以过点O垂直于x轴的直线为y轴,建立平面直角坐标系.根据设计要求:OE=10m,该抛物线的顶点P到OE的距离为9m.(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式.(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯,如图所示,即在该抛物线上的点A,B处分别安装照明灯.已知点A,B到OE的距离均为6m,求点A,B的坐标.命题点2以几何图形为背景的问题3(2022无锡)某农场计划建造一个矩形养殖场,为充分利用现有资源,该矩形养殖场一面靠墙(墙的长度为10m),另外三面用栅栏围成,中间再用栅栏把它分成两个面积为1∶2的矩形,已知栅栏的总长度为24m,设较小矩形的宽为xm(如图).(1)若矩形养殖场的总面积为36m2,求此时x的值.(2)当x为多少时,矩形养殖场的总面积最大?最大值为多少?4(2022扬州)如图是一块铁皮余料,将其放置在平面直角坐标系中,底部边缘AB在x轴上,且AB=8dm,外轮廓线是抛物线的一部分,对称轴为y轴,高度OC=8dm.现计划将此余料进行切割:(1)若切割成正方形,要求一边在底部边缘AB上且面积最大,求此正方形的面积;(2)若切割成矩形,要求一边在底部边缘AB上且周长最大,求此矩形的周长;(3)若切割成圆,判断能否切得半径为3dm的圆,请说明理由.5(2021陕西)问题提出(1)如图(1),在▱ABCD中,∠A=45°,AB=8,AD=6,E是AD的中点,点F在DC上,且DF=5.求四边形ABFE的面积.(结果保留根号)问题解决(2)某市进行河滩治理,优化美化人居生态环境.如图(2)所示,现规划在河畔的一处滩地上建一个五边形河畔公园ABCDE.按设计要求,要在五边形河畔公园ABCDE内挖一个四边形人工湖OPMN,使点O,P,M,N分别在边BC,CD,AE,AB上,且满足BO=2AN=2CP,AM=OC.已知在五边形ABCDE中,∠A=∠B=∠C=90°,AB=800m,BC=1200m,CD=600m,AE=900m.为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要,想让人工湖面积尽可能小.请问,是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖OPMN?若存在,求四边形OPMN面积的最小值及这时点N到点A的距离;若不存在,请说明理由.图(1)图(2)命题点3销售问题6(2022广西北部湾经济区)打油茶是广西少数民族特有的一种民俗.某特产公司近期销售一种盒装油茶,每盒的成本价为50元,经市场调研发现,该种油茶的月销售量y(盒)与销售单价x(元)之间的函数图象如图所示.(1)求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;(2)当销售单价定为多少元时,该种油茶的月销售利润最大?求出最大利润.7(2022荆州)某企业投入60万元(只计入第一年成本)生产某种产品,按网上订单生产并销售(生产量等于销售量).经测算,该产品网上每年的销售量y(万件)与售价x(元/件)之间满足函数关系式y=24-x,第一年除60万元外其他成本为8元/件.(1)求该产品第一年的利润w(万元)与售价x之间的函数关系式.(2)该产品第一年利润为4万元,第二年将它全部作为技改资金再次投入(只计入第二年成本)后,其他成本下降2元/件.①求该产品第一年的售价;②若第二年售价不高于第一年,销售量不超过13万件,则第二年利润最少是多少万元?命题点4其他问题8(2022武汉)如图,在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动,黑球在A处开始减速,此时白球在黑球前面70cm处.小聪测量黑球减速后的运动速度v(单位:cm/s)、运动距离y(单位:cm)随运动时间t(单位:s)变化的数据,整理得下表.运动时间t/s01234运动速度v/(cm/s)109.598.58运动距离y/cm09.751927.7536小聪探究发现,黑球的运动速度v与运动时间t之间成一次函数关系,运动距离y与运动时间t之间成二次函数关系.(1)直接写出v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围);(2)当黑球减速后运动距离为64cm时,求它此时的运动速度;(3)若白球一直以2cm/s的速度匀速运动,问黑球在运动过程中会不会碰到白球,请说明理由.分类训练10二次函数的实际应用1.【参考答案】(1)由题意知,点(5,3.2)是抛物线y=a(x-h)2+k的顶点,∴y=a(x-5)2+3.2.又∵抛物线经过点(0,0.7),∴0.7=a(0-5)2+3.2,解得a=-0.1,∴抛物线的表达式为y=-0.1(x-5)2+3.2(或y=-0.1x2+x+0.7).(2)当y=1.6时,1.6=-0.1(x-5)2+3.2,解得x1=1,x2=9,∴3-1=2,9-3=6.答:小红与爸爸的水平距离为2m或6m.2.【参考答案】(1)依题意可知,顶点P(5,9),设抛物线的函数表达式为y=a(x-5)2+9,将(0,0)代入,得0=a(0-5)2+9,解得a=-925∴抛物线的函数表达式为y=-925(x-5)2+9(2)令y=6,得-925(x-5)2+9=6,解得x1=533+5,x2=-5∴A(5-533,6),B(5+53.【参考答案】(1)如图,∵BC=x,矩形CDEF的面积是矩形BCFA面积的2倍,∴CD=2x,∴BD=3x,∴AB=CF=DE=13(24-BD)=8依题意,得3x(8-x)=36,解得x1=2,x2=6(不合题意,舍去),答:此时x的值为2.(2)∵0<BD≤10,∴0<3x≤10,∴0<x≤103设矩形养殖场的总面积为Sm2,由(1)得S=3x(8-x)=-3(x-4)2+48,∵-3<0,0<x≤103∴当x=103时,S最大,最大值为140答:当x为103时,矩形养殖场的总面积最大,最大值为1403m4.【参考答案】(1)由题意,得A(-4,0),B(4,0),C(0,8).可设抛物线的解析式为y=ax2+8,把B(4,0)代入,得0=16a+8,∴a=-12∴抛物线的解析式为y=-12x2+8易知当正方形的面积最大时,它有两个顶点在抛物线上,设此正方形为正方形EFGH,如图(1),则GH=FG=2OG.图(1)设H(t,-12t2+8)(t>∴-12t2+8=2t解得t1=-2+25,t2=-2-25(舍去),∴正方形EFGH的面积=FG2=(2t)2=4t2=4(-2+25)2=(96-325)(dm2).(2)易知当矩形的周长最大时,它有两个顶点在抛物线上.如图(2),设矩形EFGH的顶点H(k,-12k2+8)(k>图(2)则矩形EFGH的周长=2FG+2HG=4k+2×(-12k2+8)=-k2+4k+16=-(k-2)2+∴当k=2时,矩形EFGH的周长最大,最大值是20dm.(3)能切得半径为3dm的圆.理由:设抛物线上一点M的坐标为(m,-12m2+8),N则MN2=(m-0)2+(-12m2+8-3)2=14m4-4m2+记n=m2,则MN2=14n2-4n+25=14(n-8)2∴当n=8,即m=±22时,MN的值最小,最小值为3,∴抛物线上任意一点到点N的距离都大于等于3,故能切得半径为3dm的圆.5.【参考答案】(1)在▱ABCD中,设AB边上的高为h.∵AD=6,∠A=45°,∴h=ADsin45°=32.∵E是AD的中点,∴点E到DC的距离为h2∵DC=AB=8,DF=5,∴FC=3.∴S四边形ABFE=S▱ABCD-(S△DEF+S△BCF)=AB·h-(12·DF·h2+12·FC·h)=242-(1524+(2)存在.如图,分别延长AE与CD,交于点F,则四边形ABCF是矩形,∴AF=BC,AB=FC.∵AM=OC,AN=CP,∴MF=BO,BN=FP.设AN=xm,则PC=x,MF=BO=2x,BN=FP=800-x,AM=OC=1200-2x,∴S四边形OPMN=S矩形ABCF-S△ANM-S△BON-S△CPO-S△FMP=800×1200-12×x(1200-2x)-12×2x(800-x)-12×x(1200-2x)-12×2x(800-x)=4x2-2800x+960000=4(x-350)∴当x=350时,S四边形OPMN取最小值,为470000.当x=350时,AM=1200-2x=500<900,CP=350<600,∴符合设计要求的四边形OPMN面积的最小值为470000m2,这时点N到点A的距离为350m.6.【参考答案】(1)设y关于x的解析式为y=kx+b,把(60,200),(80,100)分别代入,得60k+∴y=-5x+500.当y=0时,-5x+500=0,解得x=100,结合题图,可知自变量x的取值范围是50<x<100.(2)设月销售利润为w元,根据题意,得w=(x-50)(-5x+500)=-5(x-75)2+3125.∵-5<0,∴当x=75时,w取最大值,为3125.答:当销售单价定为75元时,该种油茶的月销售利润最大,最大利润是3125元.7.【参考答案】(1)根据题意,得w=(x-8)(24-x)-60=-x2+32x-252.(2)①令-x2+32x-252=4,解得x1=x2=16.答:该产品第一年的售价是16元/件.②∵第二年售价不高于第一年,销售量不超过13万件,∴x解得11≤x≤16.第二年除4万元外其他成本下降2元/件,为6元/件,设第二年的利润是w'万元,则w'=(x-6)(24-x)-4=-x2+30x-148=-(x-15)2+77,∵-1<0,对称轴为直线x=15,且11≤x≤16,∴当x=11时,w'取最小值,最小值为-(11-15)2+77=61(万元).答:第二年的利润最少为61万元.8.【参考答案】(1)v=-12t+10,y=-14t2+(2)依题意,得-14t2+10t=∴t2-40t+256=0,解得t1=8,t2=32.当t1=8时,v=6;当t2=32时,v=-6(舍去).答:黑球减速后运动距离为64cm时的速度为6cm/s.(3)不