人教版八年级下册数学解题技巧

核心素养专题：古代问题中的勾股定理eq\a\vs4\al(◆)类型一勾股定理应用中的实际问题1．【“引葭赴岸”问题】如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，则这根芦苇的长度是()A．10尺B．11尺C．12尺D．13尺第1题图第2题图2．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何．注：横放，竿比门宽长出四尺；竖放，竿比门高长出二尺，斜放恰好能出去．解决下列问题：(1)示意图中，线段CE的长为________尺，线段DF的长为________尺；(2)设户斜长x，则可列方程为________________．3．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”根据题意，可得秋千的绳索长为________尺．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度为________尺．eq\a\vs4\al(◆)类型二勾股定理的证明问题5．我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图①所示．在图②中，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为________．6．中国古代对勾股定理有深刻的认识．(1)三国时代吴国数学家赵爽第一次对勾股定理加以证明：用四个全等的图①所示的直角三角形拼成一个如图②所示的大正方形，中间空白部分是一个小正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a，b，求(a＋b)2的值；(2)清朝的康熙皇帝对勾股定理也很有研究，他著有《积求勾股法》，用现代的数学语言描述就是：若直角三角形的三边长分别为3，4，5的整数倍，设其面积为S，则求其边长的方法：第一步eq\f(S,6)＝m；第二步：eq\r(,m)＝k；第三步：分别用3，4，5乘以k，得三边长．当面积S＝150时，请用“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长．参考答案与解析1．D2.(1)42(2)(x－4)2＋(x－2)2＝x23.14.54．25解析：将圆柱侧面展开，如图，AC＝3尺，CD＝eq\f(20,5)＝4(尺)，∴AD＝eq\r(,32＋42)＝5(尺)，∴葛藤的最短长度为5×5＝25(尺)．5．106．解：(1)根据勾股定理可得a2＋b2＝13，四个直角三角形的面积是eq\f(1,2)ab×4＝13－1＝12，即2ab＝12，则(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝13＋12＝25，即(a＋b)2＝25.(2)当S＝150时，k＝eq\r(m)＝eq\r(\f(S,6))＝eq\r(\f(150,6))＝eq\r(25)＝5，所以三边长分别为：3×5＝15，4×5＝20，5×5＝25，所以这个直角三角形的三边长为15，20，25.解题技巧专题：勾股定理与面积问题——全方位求面积，一网搜罗eq\a\vs4\al(◆)类型一三角形中利用面积法求高1．直角三角形的两条直角边的长分别为5cm，12cm，则斜边上的高线的长为()A.eq\f(80,13)cmB．13cmC.eq\f(13,2)cmD.eq\f(60,13)cm2．点A、B、C在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C到线段AB所在直线的距离是________．eq\a\vs4\al(◆)类型二结合乘法公式巧求面积或长度3．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＋b＝12cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积是()A．48cm2B．24cm2C．16cm2D．11cm24．若一个直角三角形的面积为6cm2，斜边长为5cm，则该直角三角形的周长是()A．7cmB．10cmC．(5＋eq\r(37))cmD．12cm5．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a＋b)2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为()A．3B．4C．5D．6eq\a\vs4\al(◆)类型三巧妙利用割补法求面积6．如图，已知AB＝5，BC＝12，CD＝13，DA＝10，AB⊥BC，求四边形ABCD的面积．7．如图，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，AB＝4，CD＝2，求四边形ABCD的面积．【方法6】eq\a\vs4\al(◆)类型四利用“勾股树”或“勾股弦图”求面积如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为9cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为________cm2.9．在我国古算书《周髀算经》中记载周公与商高的谈话，其中就有勾股定理的最早文字记录，即“勾三股四弦五”，亦被称作商高定理．如图①是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图②是将图①放入长方形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，则D，E，F，G，H，I都在长方形KLMJ的边上，那么长方形KLMJ的面积为________．参考答案与解析1．Deq\f(3,5)eq\r(,5)解析：如图，连接AC，BC，设点C到线段AB所在直线的距离是h.∵S△ABC＝3×3－eq\f(1,2)×2×1－eq\f(1,2)×2×1－eq\f(1,2)×3×3－1＝9－1－1－eq\f(9,2)－1＝eq\f(3,2)，AB＝eq\r(,12＋22)＝eq\r(,5)，∴eq\f(1,2)×eq\r(,5)h＝eq\f(3,2)，∴h＝eq\f(3\r(,5),5).故答案为eq\f(3\r(,5),5).3．D4.D5.C6．解：连接AC，过点C作CE⊥AD交AD于点E.∵AB⊥BC，∴∠CBA＝90°.在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(52＋122)＝13.∵CD＝13，∴AC＝CD.∵CE⊥AD，∴AE＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)×10＝5.在Rt△ACE中，由勾股定理得CE＝eq\r(AC2－AE2)＝eq\r(132－52)＝12.∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△CAD＝eq\f(1,2)AB·BC＋eq\f(1,2)AD·CE＝eq\f(1,2)×5×12＋eq\f(1,2)×10×12＝90.7．解：延长AD，BC交于点E.∵∠B＝90°，∠A＝60°，∴∠E＝30°.∴AE＝2AB＝8.在Rt△ABE中，由勾股定理得BE＝eq\r(AE2－AB2)＝eq\r(82－42)＝4eq\r(3).∵∠ADC＝90°，∴∠CDE＝90°，∴CE＝2CD＝4.在Rt△CDE中，由勾股定理得DE＝eq\r(CE2－DC2)＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3).∴S四边形ABCD＝S△ABE－S△CDE＝eq\f(1,2)AB·BE－eq\f(1,2)CD·DE＝eq\f(1,2)×4×4eq\r(3)－eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝6eq\r(3).8．819．110解析：如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，易证四边形AOLP是矩形，OK＝BE＝3.∵∠CBF＝90°，∴∠ABC＋∠OBF＝90°.又∵∠ABC＋∠ACB＝90°，∴∠OBF＝∠ACB.在△ACB和△OBF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BAC＝∠FOB，,∠ACB＝∠OBF，,BC＝FB，))∴△ACB≌△OBF(AAS)．同理：△ACB≌△PGC≌△LFG≌△OBF，∴KO＝OF＝LG＝3，FL＝PG＝PM＝4，∴KL＝3＋3＋4＝10，LM＝3＋4＋4＝11，∴S矩形KLMJ＝KL·ML＝10×11＝110.核心素养专题：四边形中的探究与创新1．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝8，F是AB的中点．过点F作FE⊥AD，垂足为E.将△AEF沿点A到点B的方向平移，得到△A′E′F′.设P、P′分别是EF、E′F′的中点，当点A′与点B重合时，四边形PP′CD的面积为()A．28eq\r(,3)B．24eq\r(,3)C．32eq\r(,3)D．32eq\r(,3)－8第1题图第2题图2．数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等(如图所示)”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．(以上材料来源于《古证复原的原理》《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》)请根据上图完成这个推论的证明过程．证明：S矩形NFGD＝S△ADC－(S△ANF＋S△FGC)，S矩形EBMF＝S△ABC－(______________＋______________)．易知S△ADC＝S△ABC，______________＝______________，______________＝______________．可得S矩形NFGD＝S矩形EBMF.3．如图①，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F.(1)求证：△BDF是等腰三角形；(2)如图②，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O.①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；②若AB＝6，AD＝8，求FG的长．4．邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，称为第二次操作……依此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形．如图①，▱ABCD中，若AB＝1，BC＝2，则▱ABCD为1阶准菱形．(1)猜想与计算：邻边长分别为3和5的平行四边形是________阶准菱形；已知▱ABCD的邻边长分别为a，b(a＞b)，满足a＝8b＋r，b＝5r，请写出▱ABCD是________阶准菱形；(2)操作与推理：小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图②，把▱ABCD沿BE折叠(点E在AD上)，使点A落在BC边上的点F处，得到四边形ABFE.求证：四边形ABFE是菱形．参考答案与解析1．A解析：如图，连接BD，DF，DF交PP′于H.由题意得PP′＝AA′＝AB＝CD，PP′∥AA′∥CD，∴四边形PP′CD是平行四边形．∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形．∵AF＝FB，∴DF⊥AB，DF⊥PP′.∵AF＝eq\f(1,2)AB＝4，AD＝8，∴DF＝4eq\r(,3).在Rt△AEF中，∵∠AEF＝90°，∠A＝60°，AF＝4，则∠AFE＝30°，∴AE＝2，EF＝2eq\r(3)，∴PE＝PF＝eq\r(3).在Rt△PHF中，∵∠FPH＝30°，PF＝eq\r(3)，∴HF＝eq\f(1,2)PF＝eq\f(\r(3),2)，∴DH＝DF－HF＝4eq\r(3)－eq\f(\r(3),2)＝eq\f(7\r(3),2)，∴S▱PP′CD＝eq\f(7\r(3),2)×8＝28eq\r(3).故选A.2．S△AEFS△CFMS△ANFS△AEFS△FGCS△CFM3．(1)证明：根据折叠得∠DBC＝∠DBE，又∵AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADB，∴∠DBE＝∠ADB，∴DF＝BF，∴△BDF是等腰三角形．(2)解：①四边形BFDG是菱形．理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴FD∥BG.又∵FD＝BF＝BG，∴四边形BFDG是平行四边形．∵DF＝BF，∴四边形BFDG是菱形．②∵AB＝6，AD＝8，∴BD＝10.∴OB＝eq\f(1,2)BD＝5.设DF＝BF＝x，∴AF＝AD－DF＝8－x.在Rt△ABF中，由勾股定理得AB2＋AF2＝BF2，即62＋(8－x)2＝x2，解得x＝eq\f(25,4)，即BF＝eq\f(25,4)，∴FO＝eq\r(,BF2－OB2)＝eq\r(,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25,4)))\s\up12(2)－52)＝eq\f(15,4)，∴FG＝2FO＝eq\f(15,2).4．(1)解：312解析：如图①，利用邻边长分别为3和5的平行四边形进行3次操作，所剩四边形是边长为1的菱形，故邻边长分别为3和5的平行四边形是3阶准菱形．如图②，∵b＝5r，∴a＝8b＋r＝40r＋r＝8×5r＋r，利用邻边长分别为41r和5r的平行四边形进行8＋4＝12(次)操作，所剩四边形是边长为1的菱形，故邻边长分别为41r和5r的平行四边形是12阶准菱形．(2)证明：由折叠知∠ABE＝∠FBE，AB＝BF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥BF，∴∠AEB＝∠FBE，∴∠AEB＝∠ABE，∴AE＝AB，∴AE＝BF，∴四边形ABFE是平行四边形．又∵AB＝AE，∴四边形ABFE是菱形．类比归纳专题：有关中点的证明与计算——遇中点，定思路，一击即中eq\a\vs4\al(◆)类型一直角三角形中，已知斜边中点构造斜边上的中线1．如图，一根木棍斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离()A．变小B．不变C．变大D．无法判断2．如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，M，N分别是BC，DE的中点．求证：MN⊥DE(提示：连接ME，MD)．eq\a\vs4\al(◆)类型二结合或构造三角形的中位线解题如图，在△ABC中，AB＝6，点D是AB的中点，过点D作DE∥BC，交AC于点，点M在DE上，且ME＝eq\f(1,3)DM.当AM⊥BM时，则BC的长为________．4．如图，在四边形ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，若AB＝10，CD＝8，求MN的取值范围．5．如图，AD，BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE于点G，AD＝BE＝6，求AC的长．eq\a\vs4\al(◆)类型三中点与特殊四边形6．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O，点M，N分别为线段BO和CO的中点．求证：四边形EDNM是矩形．参考答案与解析1．B2．证明：连接ME，MD.∵CE⊥AB，∴△BCE为直角三角形．∵M为BC的中点，∴ME＝eq\f(1,2)BC.同理可证MD＝eq\f(1,2)BC，∴ME＝MD.∵N为DE的中点，∴MN⊥DE.3．84．解：取BD的中点P，