辽宁省五校联考2023-2024学年数学高一上期末考试试题含解析

辽宁省五校联考2023-2024学年数学高一上期末考试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题（本大题共12小题，共60分）1．已知集合，，，则A. B.C. D.2．已知函数满足，则（）A. B.C. D.3．已知的部分图象如图所示，则的表达式为A.B.C.D.4．零点所在的区间是（）A. B.C. D.5．设、、依次表示函数，，的零点，则、、的大小关系为（）A. B.C. D.6．已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.7．某公司位员工的月工资（单位：元）为，，…，，其均值和方差分别为和，若从下月起每位员工的月工资增加元，则这位员工下月工资的均值和方差分别为A.， B.，C， D.，8．下列函数中是增函数的为（）A. B.C. D.9．已知函数则等于（）A.－2 B.0C.1 D.210．若函数的图象与轴有交点，且值域，则的取值范围是（）A. B.C. D.11．下列命题中是真命题的个数为（）①函数的对称轴方程是；②函数的一个对称轴方程是；③函数的图象关于点对称；④函数的值域为A1 B.2C.3 D.412．下列说法中正确的是（）A.如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行B.平面内的三个顶点到平面的距离相等，则与平行C.，，则D.，，，则二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．天津之眼，全称天津永乐桥摩天轮，是世界上唯一一个桥上瞰景的摩天轮．如图，已知天津之眼的半径是55m，最高点距离地面的高度为120m，开启后按逆时针方向匀速转动，每30转动一圈．喜欢拍照的南鸢同学想坐在天津之眼上拍海河的景色，她在距离地面最近的舱位进舱．已知在距离地面超过92.5m的高度可以拍到最美的景色，则在天津之眼转动一圈的过程中，南鸢同学可以拍到最美景色的时间是_________分钟14．计算___________.15．已知圆心角为的扇形的面积为，则该扇形的半径为____.16．已知函数且关于的方程有四个不等实根，写出一个满足条件的值________三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．设全集，，.求，，，18．已知定义在上的函数是奇函数（1）求实数，的值；（2）判断函数的单调性；（3）若对任意的，不等式有解，求实数的取值范围19．如图，直四棱柱中，上下底面为等腰梯形，．，，为线段的中点（1）证明：平面平面；20．已知定义域为的函数是奇函数.（1）求的值；（2）判断并证明函数的单调性；（3）若对任意的不等式恒成立，求实数的取值范围.21．已知函数是R上的奇函数.（1）求a的值，并判断的单调性；（2）若存在，使不等式成立，求实数b的取值范围.22．阅读材料：我们研究了函数的单调性、奇偶性和周期性，但是这些还不能够准确地描述出函数的图象，例如函数和，虽然它们都是增函数，图象在上都是上升的，但是却有着显著的不同.如图1所示，函数的图象是向下凸的，在上任意取两个点，函数的图象总是在线段的下方，此时函数称为下凸函数；函数的图象是向上凸的，在上任意取两个点，函数的图象总是在线段的上方，则函数称为上凸函数.具有这样特征的函数通常称做凸函数.定义1：设函数是定义在区间I上的连续函数，若，都有，则称为区间I上的下凸函数.如图2.下凸函数的形状特征：曲线上任意两点之间的部分位于线段的下方.定义2：设函数是定义在区间I上的连续函数，若，都有，则称为区间I上的上凸函数.如图3.上凸函数的形状特征：曲线上任意两点之间的部分位于线段的上方.上凸（下凸）函数与函数的定义域密切相关的.例如，函数在为上凸函数，在上为下凸函数.函数的奇偶性和周期性分别反映的是函数图象的对称性和循环往复，属于整体性质；而函数的单调性和凸性分别刻画的是函数图象的升降和弯曲方向，属于局部性质.关于函数性质的探索，对我们的启示是：在认识事物和研究问题时，只有从多角度、全方位加以考查，才能使认识和研究更加准确.结合阅读材料回答下面的问题：（1）请尝试列举一个下凸函数：___________；（2）求证：二次函数是上凸函数；（3）已知函数，若对任意，恒有，尝试数形结合探究实数a的取值范围.

参考答案一、选择题（本大题共12小题，共60分）1、D【解析】本题选择D选项.2、D【解析】由已知可得出，利用弦化切可得出关于的方程，结合可求得的值.【详解】因为，且，则，，可得，解得.故选：D3、B【解析】由图可知，，所以，所以，又当，即，所以，即，当时，，故选.考点：三角函数的图象与性质.4、C【解析】利用零点存在定理依次判断各个选项即可.【详解】由题意知：在上连续且单调递增；对于A，，，内不存在零点，A错误；对于B，，，内不存在零点，B错误；对于C，，，则，内存在零点，C正确；对于D，，，内不存在零点，D错误.故选：C.5、D【解析】根据题意可知，的图象与的图象的交点的横坐标依次为，作图可求解.【详解】依题意可得，的图象与的图象交点的横坐标为，作出图象如图：由图象可知，，故选：D【点睛】本题主要考查了幂函数、指数函数、对数函数的图象，函数零点，数形结合的思想，属于中档题.6、C【解析】利用分段函数的单调性列出不等式组，可得实数的取值范围【详解】在上单调递增，则解得故选：C【点睛】本题考查函数单调性的应用，考查分段函数，端点值的取舍是本题的易错7、D【解析】均值为;方差为,故选D.考点：数据样本的均值与方差.8、D【解析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.【详解】对于A，为上的减函数，不合题意，舍.对于B，为上的减函数，不合题意，舍.对于C，在为减函数，不合题意，舍.对于D，为上的增函数，符合题意，故选：D.9、A【解析】根据分段函数，根据分段函数将最终转化为求【详解】根据分段函数可知：故选：A10、D【解析】由函数有零点，可求得，由函数的值域可求得，综合二者即可得到的取值范围.【详解】定义在上的函数，则，由函数有零点，所以，解得；由函数的值域，所以，解得；综上，的取值范围是故选：D11、B【解析】根据二次函数的性质、三角函数的性质以及图象，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对①：函数的对称轴方程是，故①是假命题；对②：函数的对称轴方程是：，当时，其一条对称轴是，故②正确；对函数，其函数图象如下所示：对③：数形结合可知，该函数的图象不关于对称，故③是假命题；对④：数形结合可知，该函数值域为，故④为真命题.综上所述，是真命题的有2个.故选：.12、D【解析】根据线面关系，逐一判断每个选项即可.【详解】解：对于A选项，如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内无数条直线平行，而不是任意的直线平行，故错误；对于B选项，如图，，，，分别为正方体中所在棱的中点，平面设为平面，易知正方体的三个顶点，，到平面的距离相等，但所在平面与相交，故错误；对于选项C，可能在平面内，故错误；对于选项D，正确.故选：D.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13、10【解析】借助三角函数模型，设，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴，建立直角坐标系，由题意求出解析式，再令，解三角不等式即可得答案.【详解】解：如图，设座舱距离地面最近的位置为点，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴，建立直角坐标系.设时，南鸢同学位于点，以为终边的角为，根据摩天轮转一周大约需要，可知座舱转动的角速度约为，由题意，可得，，令，，可得，所以南鸢同学可以拍到最美景色的时间是分钟，故答案为：10.14、2【解析】利用指数、对数运算法则即可计算作答.【详解】.故答案：215、4【解析】由扇形的面积公式列方程即可求解.【详解】扇形的面积，即，解得：.故答案为：.16、（在之间都可以）.【解析】画出函数的图象，结合图象可得答案.【详解】如图，当时，，当且仅当时等号成立，当时，，要使方程有四个不等实根，只需使即可，故答案为：（在之间都可以）.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17、或，，，或【解析】依据补集定义求得，再依据交集定义求得；依据交集定义求得，再依据补集定义求得.【详解】，，，则或，则，则或18、（1），（2）在上为减函数（3）【解析】（1）由，求得，再由，求得，结合函数的奇偶性的定义，即可求解；（2）化简，根据函数的单调性的定义及判定方法，即可求解；（3）根据题意化简不等式为在有解，结合正弦函数和二次函数的性质，即可求解.【小问1详解】解：由题意，定义在上的函数是奇函数，可得，解得，即，又由，可得，解得，所以，又由，所以，.【小问2详解】解：由，设，则，因为函数在上增函数且，所以，即，所以在上为减函数.【小问3详解】解：由函数在上为减函数，且函数为奇函数，因为，即，可得，又由对任意的，不等式有解，即在有解，因为，则，所以，所以，即实数的取值范围是.19、（1）证明见解析；（2）点为中点.【解析】(1)根据给定条件可得，利用勾股定理证明即可证得平面平面.(2)取的中点，证明和，利用面面平行的判定定理即可推理作答.【小问1详解】因为为直四棱柱，则平面，而平面，于是得，在中，，，由余弦定理得，，因此，，即，又，平面，则平面，又平面，所以平面平面.【小问2详解】当点为中点时，平面平面，连接，如图，在等腰梯形中，，即，而，则四边形为平行四边形，即有，因平面，平面，则有平面，因为，，则四边形为平行四边形，有，而平面，平面，因此，平面，又，所以平面平面.20、（1），；（2）为定义在上的减函数，证明见解析；（3）.【解析】（1）由可求得；根据奇函数定义知，由此构造方程求得；（2）将函数整理为，设，可证得，由此可得结论；（3）根据单调性和奇偶性可将不等式化为，结合的范围可求得，由此可得结果.【小问1详解】是定义在上的奇函数，且，，解得：，，，解得：；当，时，，，满足为奇函数；综上所述：，；【小问2详解】由（1）得：；设，则，，，，，是定义在上的减函数；【小问3详解】由得：，又为上的奇函数，，，由（2）知：是定义在上的减函数，，即，当时，，，即实数的取值范围为.21、（1），为上的增函数；（2）.【解析】（1）由奇函数的定义即可求解的值，因为，所以由复合函数单调性的判断法则即可判断的单调性；（2）由题意，原问题等价于，令，则，利用二次函数的性质可求得的最小值，从而即可得答案.【小问1详解】解：∵函数是R上的奇函数，∴，即对任意恒成立，∴，∵，又在上单调递增且，且在单调递增，所以为上的增函数；【小问2详解】解：由已知在内有解，即在有解，令，则，因为在上单调递减，所以，所以，所以实数b的取值范围为.22、（