（江苏专用）高考数学大一轮复习 阶段训练四 文-人教版高三数学试题

阶段训练四一、填空题1．已知双曲线-=1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y=-x，则它的离心率为．2．“m=-1”是“直线mx+(2m-1)y+2=0与直线3x+my+3=0垂直”的条件．3．根据如图所示的伪代码，输出的S的值为.4．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：cm)数据绘制成如图所示的频率分布直方图.若要从身高在[120，130)，[130，140)，[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为．(第4题)5．记一个两位数的个位数字与十位数字的和为A.若A是不超过5的奇数，则从这些两位数中任取一个，其个位数为1的概率为．6．若圆C：x2+y2=4，过点A(2，3)作C的切线，切点分别为P，Q，则直线PQ的方程为．7．如图是一个算法流程图，如果输入x的值是，则输出S的值是．(第7题)8．若直线l1：x+2y+1=0，l2：Ax+By+2=0(A，B∈{1，2，3，4})，则直线l1与l2不平行的概率为．9．如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为．(第9题)10．过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A，B两点，则=．11．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91分.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示，则7个剩余分数的方差为．12．若从1，2，3，6这四个数中一次随机地取出两个数，则所取这两个数的乘积为6的概率是．13．在一次演讲比赛中，6位评委对一名选手打分的茎叶图如图(1)所示，若去掉一个最高分和一个最低分，得到一组数据xi(1≤i≤4)，在如图(2)所示的流程图中，是这4个数据的平均数，则输出的v的值为．图(1)图(2)(第13题)14．已知椭圆+=1(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且α∈，则该椭圆离心率的取值范围为．二、解答题15．某校高三年级有男学生105人，女学生126人，教师42人，用分层抽样的方法从中抽取13人进行问卷调查，设其中某项问题的选择分别为“同意”、“不同意”两种，且每人都做了一种选择，下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息.同意不同意合计教师1女学生4男学生2(1)完成此统计表；(2)估计高三年级学生“同意”的人数；(3)从被调查的女学生中选取2人进行访谈，求选到两名学生中恰有一人“同意”，一人“不同意”的概率.16．已知圆M：(x-2)2+y2=16，椭圆C：+=1(a>b>0)的右焦点是圆M的圆心，其离心率为．(1)求椭圆C的方程；(2)若斜率为k的直线l过椭圆C的左顶点，且直线l与圆M相交，求斜率k的取值范围.17．某单位N名员工参加“社区低碳你我他”活动.他们的年龄在25岁至50岁之间.按年龄分组：第1组[25，30)，第2组[30，35)，第3组[35，40)，第4组[40，45)，第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如图所示.下表是年龄的频率分布表.区间[25，30)[30，35)[35，40)[40，45)[45，50]人数25ab(1)求正整数a，b，N的值；(2)现要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1，2，3组的人数分别是多少?(3)在(2)的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率.(第17题)18．已知袋子中放有除标号外完全相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个.若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是.(1)求n的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.①记“a+b=2”为事件A，求事件A发生的概率；②在区间[0，2]内任取2个实数x，y，求事件“x2+y2>(a-b)2恒成立”的概率.19．如图，某市有一条东西走向的公路l，现欲经过公路l上的O处铺设一条南北走向的公路m.在施工过程中发现在O处的正北1百米的A处有一汉代古迹.为了保护古迹，该市决定以A为圆心、1百米为半径设立一个圆形保护区.为了连通公路l，m，欲再新建一条公路PQ，点P，Q分别在公路l，m上(点P，Q分别在点O的正东、正北方向)，且要求PQ与圆A相切.(1)当点P距点O处2百米时，求OQ的长；(2)当公路PQ长最短时，求OQ的长.(第19题)20．已知椭圆C：+=1(a>b>0)过点A，离心率为，点F1，F2分别为其左、右焦点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若y2=4x上存在两个点M，N，椭圆上有两个点P，Q满足M，N，F2三点共线，P，Q，F2三点共线，且PQ⊥MN，求四边形PMQN面积的最小值.【阶段训练答案】阶段训练四1.【解析】由已知得a2+a2=c2e=.2.充分不必要【解析】若m=-1，则两直线的斜率的乘积-×3=-1，所以两直线垂直，则充分性满足；若两直线垂直，则有3m+m(2m-1)=0，解得m=0或m=-1，所以不一定得m=-1，则必要性不满足.3.15【解析】本算法的功能是求和，S=1+2+3+4+5=15.4.3【解析】依题意可得10×(0.005+0.010+0.020+a+0.035)=1，解得a=0.030，所以身高在[120，130)，[130，140)，[140，150]三组内的学生比例为3∶2∶1，所以从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为3.5.【解析】根据题意，个位数字与十位数字之和为奇数且不超过5的两位数有：10，12，14，21，23，30，32，41，50，共9个，其中个位数字是1的有21，41，共2个，因此所求概率为.6.2x+3y-4=0【解析】以坐标原点O(0，0)，A(2，3)为直径端点的圆的方程为x(x-2)+y(y-3)=0，即x2+y2-2x-3y=0，与圆C：x2+y2=4相减，得2x+3y-4=0，所以直线PQ的方程为2x+3y-4=0.7.-2【解析】当x=时，S=log2=-2.8.【解析】由A，B∈{1，2，3，4}，则有序数对(A，B)共有16种等可能基本事件，而(A，B)取值为(1，2)时，l1∥l2，故l1与l2不平行的概率为1-=.9.【解析】从茎叶图可知甲的平均成绩为=90，记被污损的数字为x，则乙的平均成绩为=，要使甲的平均成绩超过乙的平均成绩，则x=0，1，…，7，故所求概率为=.10.3【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知直线AB的方程为y=x-，与抛物线y2=2px联立，消去y，得3x2-5px+=0，则x1+x2=，x1x2=，所以x1=，x2=，则==3.11.【解析】由题图可知去掉的两个数是87，99，所以87+90×2+91×2+94+90+x=91×7，解得x=4，所以s2=×[(87-91)2+(90-91)2×2+(91-91)2×2+(94-91)2×2]=.12.【解析】随机选取的两个数的所有可能情况有(1，2)，(1，3)，(1，6)，(2，3)，(2，6)，(3，6)，共6种情况，其中满足乘积为6的有(1，6)，(2，3)，共2种情况，故所求概率为.13.5【解析】根据题意得到的四个数据为78，80，82，84，则=81.该流程图的功能是求以上数据的方差，故输出的v的值为[(78-81)2+(80-81)2+(82-81)2+(84-81)2]=5.14.【解析】由题知AF⊥BF，根据椭圆的对称性，知AF'⊥BF'(其中F'是椭圆的左焦点)，因此四边形AFBF'是矩形，于是AB=FF'=2c，AF=2csinα，AF'=2ccosα，根据椭圆的定义，AF+AF'=2a，所以2csinα+2ccosα=2a，所以e===，又α∈，所以α+，所以sin，故e∈.15.(1)同意不同意合计教师112女学生246男学生325(2)×126+×105=105(人).(3)设“同意”的两名学生的编号为1，2，“不同意”的四名学生的编号为3，4，5，6.选出两人共有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，共15种结果，其中满足题意的有(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，共8种结果，每个结果出现的可能性相等，所以恰好有1人“同意”，一人“不同意”的概率为.16.(1)由题意知圆心M(2，0)，r=4，所以c=2，又=，所以a=3，由b2=a2-c2，得b2=5，所以椭圆方程为+=1.(2)因为直线l过椭圆左顶点A(-3，0)，所以设直线l的方程为y=k(x+3)，即kx-y+3k=0.因为直线l与圆M相交，所以圆心M到直线l的距离d<r，即<4，所以(5k)2<16(k2+1)，解得k2<，即-<k<，所以斜率k的取值范围是.17.(1)由频率分布直方图可知[25，30)与[30，35)两组的人数相同，所以a=25，且b=25×=100，总人数N==250.(2)因为第1，2，3组共有25+25+100=150(人)，利用分层抽样在150名员工中抽取6人，每组抽取的人数分别为：第1组的人数为6×=1，第2组的人数为6×=1，第3组的人数为6×=4，所以第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人.(3)由(2)可设第1组的1人为A，第2组的1人为B，第3组的4人分别为C1，C2，C3，C4，则从6人中抽取2人的所有可能结果为：(A，B)，(A，C1)，(A，C2)，(A，C3)，(A，C4)，(B，C1)，(B，C2)，(B，C3)，(B，C4)，(C1，C2)，(C1，C3)，(C1，C4)，(C2，C3)，(C2，C4)，(C3，C4)，共有15种.其中恰有1人年龄在第3组的所有结果为：(A，C1)，(A，C2)，(A，C3)，(A，C4)，(B，C1)，(B，C2)，(B，C3)，(B，C4)，共有8种.所以恰有1人年龄在第3组的概率为.18.(1)依题意得=，所以n=2.(2)①记标号为0的小球为s，标号为1的小球为t，标号为2的小球为k，h，则取出2个小球的可能情况有：(s，t)，(s，k)，(s，h)，(t，s)，(t，k)，(t，h)，(k，s)，(k，t)，(k，h)，(h，s)，(h，t)，(h，k)，共12种，其中满足“a+b=2”的有(s，k)，(s，h)，(k，s)，(h，s)，共4种.所以所求概率P(A)==.②记“x2+y2>(a-b)2恒成立”为事件B，则事件B等价于“x2+y2>4恒成立”，(x，y)可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为Ω={(x，y)|0≤x≤2，0≤y≤2，x，y∈R}，而事件B构成的区域为B={(x，y)|x2+y2>4，(x，y)∈Ω}，所以所求概率P(B)=1-.19.如图，以O为坐标原点，直线l，m分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系.(第19题)设PQ与圆A相切于点B，连接AB，以1百米为单位长度，则圆A的方程为x2+(y-1)2=1.(1)由题意可设直线PQ的方程为+=1，即qx+2y-2q=0(q>2).因为PQ与圆A相切，所以=1，解得q=，故当点P距点O处2百米时，OQ的长为百米.(2)设直线PQ的方程为+=1，即qx+py-pq=0(p>1，q>2).因为PQ与圆A相切，所以=1，化简得p2=，则PQ2=p2+q2=+q2.令f(q)=+q2(q>2)，求导得f'(q)=2q-=(q>2)，当2<q<时，f'(q)<0，即f(q)在上单调递减；当q>时，f'(q)>0，即f(q)在上单调递增.所以f(q)在q=时取得最小值，故当公路PQ最短时，OQ的长为百米.答：(1)当点P距点O处2百米时，OQ的长为百米；(2)当公路PQ最短时，OQ的长为百米.20.(1)由离心率e==，a2-b2=c2，得b=c.因为椭圆C：+=1(a>b>0)过点A，所以+=1(a>b>0)，得c=1，所以a2=2，b2=1，所以椭圆C的标准方程为+y2=1.(2)当直线MN的斜率不存在时，直线PQ的斜率为0，易得MN=4，PQ=2，