第12讲 正态分布（四大题型）（解析版）

第12讲正态分布【题型归纳目录】【知识点梳理】1、正态曲线正态曲线沿着横轴方向水平移动只能改变对称轴的位置，曲线的形状没有改变，所得的曲线依然是正态曲线显然对于任意，，它的图象在轴的上方．可以证明轴和曲线之间的区域的面积为1．我们称为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．若随机变量的概率密度函数为，则称随机变量服从正态分布，记为，特别地，当，时，称随机变量服从标准正态分布．2、由的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点（1）曲线是单峰的，它关于直线对称；（2）曲线在处达到峰值；（3）当|x|无限增大时，曲线无限接近轴．3、正态分布的期望与方差若，则，．4、正态变量在三个特殊区间内取值的概率（1）；（2）；（3）．在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则．5、当或时，服从标准正态分布，即．【典型例题】题型一：正态曲线的图象的应用【例1】（2024·高二课时练习）函数(其中)的图象可能为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【解析】函数图象的对称轴为直线，因为，所以排除B，D；又正态曲线位于x轴上方，因此排除C，所以A正确.故选：A.【变式1-1】（2024·陕西宝鸡·高二统考期末）已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（

）A．，B．，C．，D．，【答案】B【解析】根据正态分布密度函数中参数的意义，结合图象可知，对称轴位置相同，所以可得；且都在的右侧，即，比较和图像可得，其形状相同，即，又的离散程度比和大，所以可得；故选：B【变式1-2】（2024·湖北武汉·高二武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）设随机变量，则X的密度函数为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，所以，即，所以X的密度函数为A.故选：A【变式1-3】（2024·高二课时练习）设随机变量X服从正态分布，且相应的概率密度函数为，则（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由正态分布密度函数，可得.故选：C.题型二：利用正态分布的对称性求概率【例2】（2024·上海·高二校考期末）若随机变量，，则.【答案】0.77/【解析】由题意知随机变量，，故，所以，故答案为：0.77【变式2-1】（2024·全国·高二随堂练习）已知随机变量，且，则的展开式中常数项为.【答案】60【解析】由题意随机变量服从正态分布，且，所以，解得，所以的展开式中的常数项为.故答案为：60.【变式2-2】（2024·浙江嘉兴·高二校联考期末）设随机变量，且，则实数的值为.【答案】【解析】因为随机变量，且，则，解得.故答案为：.【变式2-3】（2024·江西吉安·高二统考期末）若，且，则.【答案】/【解析】由题意可知，正态密度曲线的对称轴为，由正态分布的对称性可得.故答案为：题型三：正态分布的实际应用【例3】（2024·辽宁·高二盘锦市高级中学校联考期末）某旅游城市推出“一票通”景区旅游年卡，持有旅游年卡一年内可不限次畅游全市所有签约景区.为了解市民每年旅游消费支出情况（单位：百元），相关部门对已游览某签约景区的游客进行随机问卷调查，并把得到的数据列成如表所示的频数分布表：旅游消费支出频数1238845213810(1)根据样本数据，可认为市民的旅游费用支出服从正态分布，若该市总人口为700万人，试估计有多少市民每年旅游费用支出在7000元以上；(2)若年旅游消费支出在40（百元）以上的游客一年内会继续来该签约景区游玩.现从游客中随机抽取3人，一年内继续来该签约景区游玩记2分，不来该景点游玩记1分，将上述调查所得的频率视为概率，且游客之间的选择意愿相互独立，求3人总得分为4分的概率.（参考数据：）【解析】（1），所以旅游费用支出在7000元以上的概率为，，估计有15.925万市民旅游费用支出在7000元以上（2）由表格知一年内游客继续来该景点游玩的概率为，设3人总得分为4分为事件，则即3人总得分为4分的概率.【变式3-1】（2024·江西上饶·高二校考阶段练习）某公司为了解市场对其开发的新产品的需求情况，共调查了250名顾客，采取100分制对产品功能满意程度、产品外观满意程度分别进行评分，其中对产品功能满意程度的评分服从正态分布，对产品外观满意程度评分的频率分布直方图如图所示，规定评分90分以上（不含90分）视为非常满意.(1)本次调查对产品功能非常满意和对产品外观非常满意的各有多少人？（结果四舍五入取整数）(2)若这250人中对两项都非常满意的有2人，现从对产品功能非常满意和对产品外观非常满意的人中随机抽取3人，设3人中两项都非常满意的有X人，求X的分布列和数学期望.（附：若，则，）【解析】（1）因为对产品功能满意程度的评分服从正态分布，其中，设对产品功能满意程度的评分为，所以，所以本次调查对产品功能非常满意的顾客约有（人）.根据频率分布直方图得，对产品外观非常满意的频率为，则本次调查对产品外观非常满意的顾客约有（人）.（2）根据题意，这人中对两项都非常满意的有人，则只对产品功能非常满意的有人，只对产品外观非常满意的有人，的可能取值为，，，则的分布列为数学期望.【变式3-2】（2024·全国·高二随堂练习）2023年中秋国庆双节期间，我国继续执行高速公路免费政策.交通部门为掌握双节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费点记录了10月1日上午这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有1000辆车通过该收费点，为方便统计，时间段记作区间，记作，记作，记作，对通过该收费点的车辆数进行初步处理，已知，时间段内的车辆数的频数如下表：时间段频数100300mn(1)现对数据进一步分析，采用分层随机抽样的方法从这1000辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，设抽到的4辆车中在9：00~9：40通过的车辆数为，求的分布列与期望；(2)由大数据分析可知，工作日期间车辆在每天通过该收费点的时刻，其中可用（1）中这1000辆车在之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），已知某天共有800辆车通过该收费点，估计在之间通过的车辆数（结果四舍五入保留到整数）.参考数据：若，则①；②；③.【解析】（1）因为，，所以，.由分层随机抽样可知，抽取的10辆车中，在9：00~9：40通过的车辆数位于时间段，这两个区间内的车辆数为，车辆数的可能取值为0，1，2，3，4，，，，，，所以X的分布列为所以.（2）这1000辆车在时间段内通过该收费点的时刻的平均值，即9：04，，所以.估计在这一时间段内通过的车辆数，也就是通过的车辆数，工作日期间车辆在每天通过该收费点的时刻，，所以估计在这一时间段内通过的车辆数为.题型四：正态分布标准化【例4】（2024·江苏连云港·高二校考阶段练习）2023年3月某学校举办了春季科技体育节，其中安排的女排赛事共有12个班级作为参赛队伍，本次比赛启用了新的排球用球已知这种球的质量指标（单位：g）服从正态分布，其中，.比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛，最后靠积分选出最后冠军，积分规则如下（比赛采取5局3胜制）：比赛中以3：0或3：1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3：2取胜的球队积2分，负队积1分.9轮过后，积分榜上的前2名分别为1班排球队和2班排球队，1班排球队积26分，2班排球队积22分.第10轮1班排球队对抗3班排球队，设每局比赛1班排球队取胜的概率为.(1)令，则，且，求，并证明：；(2)第10轮比赛中，记1班排球队3：1取胜的概率为，求出的最大值点，并以作为的值，解决下列问题.（ⅰ）在第10轮比赛中，1班排球队所得积分为，求的分布列；（ⅱ）已知第10轮2班排球队积3分，判断1班排球队能否提前一轮夺得冠军（第10轮过后，无论最后一轮即第11轮结果如何，1班排球队积分最多）？若能，求出相应的概率；若不能，请说明理由.参考数据：，则，，.【解析】（1），又，所以.因为，根据正态曲线对称性，，又因为，所以.（2），.令，得.当时，，在上为增函数；当时，，在上为减函数.所以的最大值点，从而.（ⅰ）的可能取值为3，2，1，0.，，，，所以的分布列为3210（ⅱ）若，则1班10轮后的总积分为29分，2班即便第10轮和第11轮都积3分，则11轮过后的总积分是28分，，所以，1班如果第10轮积3分，则可提前一轮夺得冠军，其概率为.【变式4-1】（2024·河南开封·河南省兰考县第一高级中学校联考模拟预测）《山东省高考改革试点方案》规定：年高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为、、、、、、、共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为、、、、、、、，选择科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照（、分别为正态分布的均值和标准差）分别转换到、、、、、、、八个分数区间，得到考生的等级成绩．如果山东省年某次学业水平模拟考试物理科目的原始成绩，．(1)若规定等级、、、、、为合格，、为不合格，需要补考，估计这次学业水平模拟考试物理合格线的最低原始分是多少；(2)现随机抽取了该省名参加此次物理学科学业水平测试的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记为被抽到的原始分不低于分的学生人数，求的数学期望和方差．附：当时，，．【解析】（1）由题意可知，学业水平模拟考试物理科目合格的比例为，由且，可得，由，可得，估计这次学业水平模拟考试物理合格线的最低原始分为分.（2）若，则，，由题意可知，，.【变式4-2】（2024·全国·高二课堂例题）某批待出口的水果罐头，每罐净重X（单位：g）服从正态分布，求：（参考数据：，）(1)随机抽取1罐，其净重超过的概率；(2)随机抽取1罐，其净重在与之间的概率.【解析】（1）.故随机抽取1罐，其净重超过的概率是0.4207，（2）.故随机抽取1罐，其净重在与之间的概率为0.9544.【过关测试】一、单选题1．（2024·辽宁·高二盘锦市高级中学校联考期末）己知随机变量，则（

）A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.7【答案】C【解析】由，，则，故.故选：C.2．（2024·河南·高二校联考期末）某地区有10000名考生参加了高三模拟调研考试.经过数据分析，数学成绩近似服从正态分布，则数学成绩位于的人数约为（

）参考数据：，A．455 B．1359 C．3346 D．1045【答案】B【解析】，则数学成绩位于的人数约为.故选：B.3．（2024·全国·模拟预测）据统计，某快递公司的200名快递员每人每月派送的快递件数X服从正态分布，且，若每月派送的快递件数不低于4000的快递员有60人，则每月派送的快递件数在(2000，3000)的快递员人数为（

）A．40 B．60 C．70 D．80【答案】A【解析】由题意知，每月派送的快递件数不低于4000的快递员所占比例为，故每月派送的快递件数在的快递员所占比例为，故每月派送的快递件数在的快递员人数为人．故选：A.4．（2024·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）某校高三年级有500人，一次数学考试的成绩X服从正态分布．估计该校高三年级本次考试学生数学成绩在120分以上的有（

）参考数据：若，则，．A．75人 B．77人 C．79人 D．81人【答案】C【解析】，，，因为，所以，所以数学成绩在分以上的人数约为人.故选：C．5．（2024·全国·高三专题练习）已知随机变量，则的值约为（

）A．0.0214 B．0.1358 C．0.8185 D．0.9759【答案】A【解析】由题意，知，，所以该正态曲线关于直线对称．所以，，所以，故选：A．6．（2024·吉林白城·高三校考期末）某学校共人参加数学测验，考试成绩近似服从正态分布，若，则估计成绩不及格（在分以下）的学生人数为（

）A．人 B．人 C．人 D．人【答案】C【解析】由已知可得，，所以．又，则，估计成绩不及格（在分以下）的学生人数为（人）．故选：C．7．（2024·贵州贵阳·高三校联考阶段练习）某市高三联考后，统一调查研究本次考试的数学成绩，得出全体考生的数学成绩（单位：分）近似服从正态分布，则下列说法错误的是（

）A．本次联考的数学平均分近似为90分B．本次联考数学成绩的方差近似为50C．随机抽取一名学生的成绩，D．随机抽取一名学生的成绩，【答案】D【解析】对于AB，因为全体考生的数学成绩（单位：分）近似服从正态分布，所以，所以AB正确；对于C，因为，所以，故C正确，对于D，因为，所以，所以D错，故选：D.8．（2024·全国·模拟预测）在日常生活中，许多现象都服从正态分布.若，记，，，经统计，某零件的尺寸大小（单位：dm）从正态分布，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意知，，则，，，.结合正态曲线的对称性可得.故选：C.二、多选题9．（2024·海南海口·统考模拟预测）下列说法正确的是（

）A．数据的第45百分位数是4B．若数据的标准差为，则数据的标准差为C．随机变量服从正态分布，若，则D．随机变量服从二项分布，若方差，则【答案】BCD【解析】对于A中，数据从小到大排列为，共有8个数据，因为，所以数据的第45分位数为第4个数据，即为2，所以A不正确；对于B中，数据的标准差为，由数据方差的性质，可得数据的标准差为，所以B正确；对于C中，随机变量服从正态分布，且，根据正态分布曲线的对称性，可得，所以C正确；对于D中，随机变量服从二项分布，且，可得，解得或，当时，可得；当时，可得，综上可得，，所以D正确.故选：BCD.10．（2024·全国·高三专题练习）某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，，其正态曲线如图所示，则下列结论中正确的是（

）

A．甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性【答案】AC【解析】X，Y均服从正态分布，，结合正态密度函数的图象可知，可得，，故甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值，故A正确，B错误；甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性，故C正确，D错误．故选：AC11．（2024·云南昭通·高三校考阶段练习）下列命题中，是真命题的是（

）A．一组数据：2，1，4，3，5，3的平均数、众数、中位数相同B．有A，B，C三种个体按的比例做分层抽样调查，如果抽取的A个体数为9，则样本容量为30C．若随机变量，则其数学期望D．若随机变量，，则【答案】ACD【解析】A选项：平均数为：，3出现了两次，出现次数最多，众数为3，将数据从小到大排列为：1，2，3，3，4，5.所以中位数为，故A正确；B选项：样本的容量为，故B错误；C选项：由，故C正确；D选项：，故D正确.故选：ACD.12．（2024·福建厦门·高三厦门一中校考期末）已知，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】因为，则，，，，ACD对，B错.故选：ACD.三、填空题13．（2024·湖南常德·高三常德市一中校考阶段练习）某中学开展学生数学素养测评活动，高一年级测评分值近似服从正态分布.为了调查参加测评的学生数学学习的方法与习惯差异，该中学决定在分数段内抽取学生，且.在某班用简单随机抽样的方法得到20名学生的分值如下：56，62，63，65，66，68，70，71，72，73，75，76，76，78，80，81，83，86，88，93.则该班抽取学生分数在分数段内的人数为人（附：，，）【答案】11【解析】因为，，，，即，由已知，该班在内抽取了11人，他们的分数为68，70，71，72，73，75，76，76，78，80，81.故答案为：11.14．（2024·黑龙江·高二校联考期末）已知某批产品的质量指标服从正态分布，其中的产品为“可用产品”，则在这批产品中任取1件，抽到“可用产品”的概率约为.参考数据：若，则.【答案】0.84/【解析】由题意知，该产品服从，则，所以，即抽到“可用产品”的概率为0.84，故答案为：0.8415．（2024·全国·模拟预测）已知随机变量服从正态分布，且，若，则．【答案】1【解析】由随机变量服从正态分布，且，所以，又由，所以．故答案为：.16．（2024·广西玉林·校联考模拟预测）某工厂生产一批零件（单位：），其尺寸服从正态分布，且，，则．【答案】【解析】因为服从正态分布，且，，则，所以，.故答案为：.四、解答题17．（2024·江西上饶·高二江西省广丰中学校考阶段练习）零件的精度几乎决定了产品的质量，越精密的零件其精度要求也会越高.某企业为了提高零件产品质量，质检部门随机抽查了100个零件的直径进行了统计整理，得到数据如下表：零件直径（单位：厘米）零件个数1025302510已知零件的直径可视为服从正态分布，，分别为这100个零件的直径的平均数及方差（同一组区间的直径尺寸用该组区间的中点值代表）.参考数据：；若随机变量，则，，.(1)分别求，的值；(2)试估计这批零件直径在的概率；(3)随机抽查2000个零件，估计在这2000个零件中，零件的直径在的个数.【解析】（1）由平均数与方差的计算公式分别得：故，.（2）设表示零件直径，则，即.，由对称性得，，即.同理，，，即..故这批零件直径在的概率为0.8186.（3）由（2）知，，所以在这2000个零件中，零件的直径在的有个.18．（2024·全国·模拟预测）大气污染是指大气中污染物质的浓度达到有害程度，以至破坏生态系统和人类正常生存和发展的条件，对人和物造成危害的现象．某环境保护社团组织“大气污染的危害以及防治措施”讲座，并在讲座后对参会人员就讲座内容进行知识测试，从中随机抽取了100份试卷，将这100份试卷的成绩（单位：分，满分100分）整理得如下频率分布直方图（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）．

(1)根据频率分布直方图确定的值，再求出这100份样本试卷成绩的众数和75%分位数（精确到0.1）；(2)根据频率分布直方图可认为此次测试的成绩近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，约为6.75．用样本估计总体，假设有84.14%的参会人员的测试成绩不低于测试前预估的平均成绩，求测试前预估的平均成绩大约为多少分（精确到0.1）?参考数据：若，则，，．【解析】（1）根据频率分布直方图，可得：，解得，这组数据的众数为，由，则这100份样本试卷成绩的75%分位数是.（2）由，所以，因为，所以，所以测试前预估的平均成绩大约为分．19．（2024·云南大理·统考模拟预测）目前,教师职业越来越受青睐,考取教师资格证成为不少人的就业规划之一.当前,中小学教师资格考试分笔试和面试两部分,笔试通过后才能进入面试环节.已知某市年共有名考生参加了中小学教师资格考试的笔试,笔试成绩,只有笔试成绩高于分的学生才能进入面试环节.(1)从报考中小学教师资格考试的考生中随机抽取人,求这人中至少有一人进入面试的概率;(2)现有甲、乙、丙名学生进入了面试,且他们通过面试的概率分别为,设这名学生中通过面试的人数为,求随机变量的分布列和数学期望.参考数据:若,则,,,,.【解析】（1）记“至少有一人进入面试”为事件,由已知得:,所以,则,即这人中至少有一人进入面试的概率为.（2）的可能取值为,,,,,则随机变量的分布列为：,.20．（2024·全国·高二课堂例题）已知，利用下述表格求以下概率值：01234567890.0.5000.5040.5080.5120.5160.5199.5239.5279.5319.53590.1.5398.5438.5478.5517.5557.5596.5636.5675.5714.57530.2.5793.5832.5871.5910.5948.5987.6026.6064.6103.61410.3.6179.6217.6255.6293.6331.6368.6406.6443.6480.65170.4.6554.6591.6628.6664.6700.6736.6772.6808.6844.68790.5.6915.6950.6985.7019.7054.7088.7123.7157.7190.7224(1)；(2)；(3).【解析】（1）（2）因为，又因为，所以，且由上表可知，所以（3）由概率的加法公式以及上表可知.21．（2024·海南省直辖县级单位·高三校考阶段练习）红松树分布在我国东北的小兴安岭到长白山一带，耐荫性强.在一森林公园内种有一大批红松树，为了研究生长了4年的红松树的生长状况，从中随机选取了12棵生长了4年的红松树，并测量了它们的树干直径（单位：厘米），如下表：12345678910111228.727.231.535.824.333.536.326.728.927.425.234.5计算得：.(1)求这12棵红松树的树干直径的样本均值与样本方差.(2)假设生长了4年的红松树的树干直径近似服从正态分布.记事件：在森林公园内再从中随机选取12棵生长了4年的红松树，其树干直径都位于区间.①用（1）中所求的样本均值与样本方差分别作为正态分布的均值与方差，求；②护林员在做数据统计时，得出了如下结论：生长了4年的红松树的树干直径近似服从正态分布.在这个条件下，求，并判断护林员的结论是否正确，说明理由.参考公式：若，则.参考数据：.【解析】（1）样