第3讲 函数与方程思想在导数部分的应用（解析版）

第3讲函数与方程思想在导数部分的应用函数的思想就是运用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数。运用函数的图像性质去分析问题，转化问题，测试问题，获得解决。函数思想是对函数概念本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识。或函数观点观察分析解决问题。方程思想是高中数学重要的思想方法之一，方程的思想是建立方程（组）、或构造方程来分析数学变量问的等量关系，通过解方程（组），或运用方程的性质去分析、转化问题，使问题得以解决。孰练运用方程思想解决数学问题是高中阶段重要的数学能力之一，也是历年高考的重点。函数与方程思想，简单的说，就是学会用函数和变量来思考，学会转化已知与未知的关系。对函数和方程思想的考察，主要是考察。能不能用函数和方程思想指导解题？一般情况下，凡是涉及到未知数，未知数问题都可以都可能用到函数与方程的思想。函数与方程思想方法的考察一直是高考的重点内容之一。在高考数学上，与函数有关的试题所占的比例实际上在20%左右，且试题中既有灵活多样的客观性试题，又有。一定能力要求的主观性试题。函数与方程思想最重要的一种，是最重要的一种数学思想，高考所占的比重比较大，综合知识多，题型多。应用技巧多。【应用一】函数与方程思想在研究直线的斜率的应用利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点：(1)函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．(2)切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点．(3)曲线y＝f(x)“在”点P(x0，y0)处的切线与“过”点P(x0，y0)的切线的区别：曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指点P为切点，若切线斜率存在，切线斜率为k＝f′(x0)，是唯一的一条切线；曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．【例1.1】（2023·重庆·统考三模）已知直线y＝ax－a与曲线相切，则实数a＝（

）A．0 B． C． D．【答案】C【详解】由且x不为0，得设切点为，则，即，所以，可得.故选：C【思维提升】利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．【变式1.1】【2022年新高考2卷】曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为____________，【答案】

y=1e【解析】【分析】分x>0和x<0两种情况，当x>0时设切点为x0,lnx0【详解】解：因为y=ln当x>0时y=lnx，设切点为x0,lnx0又切线过坐标原点，所以-lnx0=1x0当x<0时y=ln-x，设切点为x1,ln-x又切线过坐标原点，所以-ln-x1=1x故答案为：y=1e【变式1.2】【2020年新课标3卷理科】若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（

）A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+【答案】D【解析】【分析】根据导数的几何意义设出直线的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.【详解】设直线在曲线上的切点为，则，函数的导数为，则直线的斜率，设直线的方程为，即，由于直线与圆相切，则，两边平方并整理得，解得，（舍），则直线的方程为，即.故选：D.【变式1.3】【2019年新课标3卷理科】已知曲线在点处的切线方程为，则A． B． C． D．【答案】D【解析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．【详解】详解：，将代入得，故选D．【应用二】函数与方程思想在转化为方程根的关系函数与方程（不等式）思想贯穿于高中数学的各个模块，求值问题涉及到方程，求范围的问题就离不开不等式，在导数部分中涉及到切点坐标，交点坐标等问题往往都是转化为方程的跟的问题。【例2】（2023·江苏泰州·统考一模）若过点可以作曲线的两条切线，切点分别为，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】设切点，根据导数的几何意义求得切线方程，再根据切线过点，结合韦达定理可得的关系，进而可得的关系，再利用导数即可得出答案.【详解】设切点，则切线方程为，又切线过，则，有两个不相等实根，其中或，令或，当时，，当时，，所以函数在上递增，在上递减，，，当时，，当时，，所以，即.故选：D.【思维提升】与切点坐标、交点坐标等问题往往转化为方程根的问题，特别是范围问题要结合韦达定理转化为函数的问题，【变式2.1】【2022年新高考1卷】若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是【答案】(-【解析】【分析】设出切点横坐标x0，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于x0的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得a【详解】∵y=(x+a)ex，∴设切点为(x0,y0),切线方程为：y-x∵切线过原点，∴-x整理得：x0∵切线有两条，∴∆=a2+4a>0,解得a<-4∴a的取值范围是(-∞故答案为：(-【变式2.2】（2022·广东揭阳·高三期末）已知函数，过点可作两条直线与函数相切，则下列结论正确的是（）A． B．C．的最大值为2 D．【答案】B【解析】【分析】根据题意，利用导数的几何意义、韦达定理，结合特殊值法即可求解.【详解】设切点为，又，则切线的斜率又，即有，整理得，由于过点可作两条直线与函数相切所以关于的方程有两个不同的正根，设为，则，得，，故B正确，A错误，对于C，取，则，所以的最大值不可能为2，故C错误，对于D，取，则，故D错误.故选：B.【变式2.3】（2022·湖北省鄂州高中高三期末）若不同两点、均在函数的图象上，且点、关于原点对称，则称是函数的一个“匹配点对”（点对与视为同一个“匹配点对”）.已知恰有两个“匹配点对”，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】函数的图象关于原点对称的图象所对应的函数为，再将问题转化为函数与函数有两个交点，再数形结合可得答案.【详解】函数的图象关于原点对称的图象所对应的函数为，的图象上恰好有两个“匹配点对”等价于函数与函数有两个交点，即方程有两个不等式的正实数根，即有两个不等式的正实数根，即转化为函数图象与函数图象有2个交点.，当时，，单调递增.当时，，单调递减.且时，，时，所以所以图象与函数图象有2个交点.则，解得.故选：B【应用三】函数与方程思想在构造函数比较大小比较大小是高考试题中经常考查的题型，此类题型主要体现的思想方法就是构造函数，转化为函数与方程的思想，研究函数的单调性，通过研究函数的单调性得出它们的大小关系。【例3】（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）已知，，（其中为自然常数），则、、的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】将变形，得，，，构造函数，利用导数得在上为减函数，在上为增函数，根据单调性可得，，再根据可得答案.【详解】，，，设，则，令，得，令，得，所以在上为减函数，在上为增函数，因为，所以，即，因为，所以，所以，所以，所以，即，因为，所以，综上所述：.故选：D.【思维提升】遇到关于指数、对数、幂函数的比较大小最常见的方法就是根据函数的单调性比较大小。但是涉及到综合性的比较大小，往往通过构造函数进行比较大小。如何构造函数就要求我们观察所给试的形式，或者把他们化简具有共同特征的形式，然后根据形式构造函数。最终通过求导研究函数的单调性，比较大小。【变式3.1】（2023·江苏南京·校考一模）已知是自然对数的底数，设，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先设，利用导数判断函数的单调性，比较的大小，设利用导数判断，放缩，再设函数，利用导数判断单调性，得，再比较的大小，即可得到结果.【详解】设，，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，，时，，即，设，，时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，所以当时，函数取得最小值，，即恒成立，即，令，，时，，单调递减，时，，单调递增，时，函数取得最小值，即，得：，那么，即，即，综上可知.故选：A.【变式3.2】（2023·河北唐山·统考三模）已知且，，，是自然对数的底数，则（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】首先证明常用不等式：，设，，则，所以在上单调递减，所以当时，，即；设，，则，所以在上单调递增，所以当时，，即.所以，当时，.故当时，.∵，∴，∴，∴，∵，∴，即，∵，令，∴，单调递增，∴，则，即，综上，.故选：B.【变式3.3】（2023·安徽黄山·统考三模）已知定义域为的函数，其导函数为，且满足，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】，则，因为在上恒成立，所以在上恒成立，故在上单调递减，所以，，故A不正确；所以，即，即，故B不正确；，即，即，故C正确；，即，即，故D不正确；故选：C.【应用四】函数与方程思想在导数中研究零点与极值点的问题1、函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．2、利用导数研究函数零点个数(或方程根的个数)问题的一般思路：(1)可转化为用导数研究其函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上的交点问题；(2)涉及两函数的交点：利用数形结合思想方法，通过图象可清楚地数出交点的个数(即零点，根的个数)或者确定参数的取值范围．【例4】（2022·山东省淄博实验中学高三期末）已知函数有三个不同的零点，且，则的值为（）A．3 B．4 C．9 D．16【答案】C【解析】【分析】利用换元法转换，结合导数以及一元二次方程根与系数的关系来求得正确答案.【详解】，，有三个不同的零点.令，在递增，在上递减，.时，.令，必有两个根，，且，有一解，有两解，且，故.故选：C【思维提升】已知函数有零点求参数的取值范围常用的方法：(1)分离参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数的取值范围．通用解法为从f(x)中分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，最后根据题设条件构建关于参数的不等式，确定参数的取值范围；(2)分类讨论法：一般命题情境为没有固定区间，求满足函数零点个数的参数的取值范围．通用解法为结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数的取值范围．【变式4.1】（2022·江苏海门·高三期末）已知函数有三个零点，则实数的取值范围是（）A．(0，) B．[0，) C．[0，] D．(0，)【答案】A【解析】【分析】对分离参数，构造函数，利用导数研究其单调性和最值，即可求得参数的取值范围.【详解】有三个零点，即方程有三个根，不妨令,则，故在单调递减，在单调递增，在单调递减，，且当时，恒成立.当趋近于负无穷时，趋近于正无穷；趋近于正无穷时，趋近于，故当时，满足题意.故选：A【变式4.2】（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）若函数只有一个极值点，则的取值范围是___________.【答案】或【分析】对求导，利用导数与函数极值的关系，分类讨论3是否为极值点，结合的图像性质即可求得的取值范围.【详解】因为，所以，因为只有一个极值点，所以若3是极值点，因为，所以当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增，故，则，所以；当趋向于0时，趋向于1，趋向于0，则趋向于正无穷，当趋向正无穷时，趋向正无穷的速率远远大于趋向正无穷的速率，则趋向于正无穷，若3不是极值点，则3是即的一个根，且存在另一个根，此时；当时，，令，解得；令，解得；所以在单调递减，在单调递增，满足题意，综上：或【变式4.3】（2022年河北承德市高三月考模拟试卷）函数在上有且仅有一个极值点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】因为，所以，函数在上有且仅有一个极值点，在上只有一个变号零点.令，得.设在单调递减，在上单调递增，，又，得当，在上只有一个变号零点.经检验，不合题意，故选：B.1、（2022年江苏苏州八校联盟高三月考模拟试卷）设，（e是自然对数的底数），则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【详解】记，则，所以在上单调递减，所以，所以在上，所以.又单调递增，所以所以，即.而由二项式定理得：.对于a、c，由，.记，则，所以在上单调递增，所以.所以，所以.综上所述：.故选：C2、（2022年江苏泰州市高三月考模拟试卷）已知函数，其中实数，则下列结论错误的是（）A.必有两个极值点B.有且仅有3个零点时，的范围是C.当时，点是曲线的对称中心D.当时，过点可以作曲线的3条切线【答案】B【解析】【详解】对于A，，令，解得：或，因为，所以令，得或，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，在处取得极小值,所以A正确；对于B，要使有且仅有3个零点，只需即，所以，所以的范围是，故B不正确；对于C，当时，，，，所以点是曲线的对称中心，所以C正确；对于D，，设切点为，所以在点处的切线方程为：，又因为切线过点，所以，解得：，令，所以过点可以作曲线的切线条数转化为与图象的交点个数.,令，解得：或，因为，所以令，得或，令，得，则在上单调递增，在上单调递减，，如下图所示，当时，与图象有3个交点，即过点可以作曲线的3条切线，故正确，故选：B3、（2022年广东华美实验高三月考模拟试卷）（多选题）若直线与曲线相切，则（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【详解】由得，设直线与曲线相切于点，则且，消去得，所以A正确，B错误；取等号，C错误；，设，由得，所以函数在上递增，在上递减，所以，即，D正确，故选：AD.4、（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）（多选题）已知,，下列说法正确的是（

）A．存在使得是奇函数B．任意､的图象是中心对称图形C．若为的两个极值点，则D．若在上单调，则【答案】ABD【分析】对于A，当时,为奇函数，从而即可判断；对于B，设函数的对称中心为,根据，求出对称中心即可判断；对于C，求导，由题意和韦达定理可得，，再由重要不等式得，即可判断；对于D，由题意可得恒成立，由，求解即可.【详解】解：对于A，当时,为奇函数，故正确；对于B，设函数的对称中心为,则有，又因为，，所以，解得，所以的对称中心为，故正确；对于C，因为，又因为为