陕西省宝鸡市金台区2022-2023学年高二上学期期末考试文科数学含解析

2022-2023学年度高二第一学期期末检测题

文科数学(选修1-1)试卷

注意事项：

1.考试时间120分钟，满分150分.

2.答卷前，考生将答题卡有关项目填写清楚.

3.全部答案在答题卡上作答，答在本试题上无效.

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.命题“3χeO^κ°),InX=XT，，的否定是()

A.Vx∈(0,+∞),InX≠%-1B.Ξx∈(0,+∞),lnx≠x-l

C.VX∈(0,+∞),lnx=x-lD.3x∈(0,+∞),Inx=X-I

【答案】A

【解析】

【分析】利用存在量词命题的否定是全称量词命题，写出结果即可.

【详解】命题”mx∈(0,+∞),InX=X-1”否定是”Vx∈(0,+∞),lnx≠x-1,,.

故选：A.

【点睛】本题考查存在量词命题和全称量词命题的否定关系，属于基础题.

2.设α∈R,则"α>l”是“∕>α，，的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.

【详解】求解二次不等式∕>α可得：。>1或。<0,

据此可知：α>l是Y>α的充分不必要条件.

故选：A.

【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题.

3.下列命题中，错误的命题个数有()

①/(O)=O是/(x)为奇函数的必要非充分条件；

②函数/(χ)=^r(A")(Qe∕?)是偶函数;

4

③函数./'(χ)=χ+—,χw(2,+oo)的最小值是4；

X

④函数/(χ)的定义域为(。))，且对其内任意实数储、巧均有：(玉—々)[/(内)一/(%)]<0,则

/(x)在(a,。)上是减函数.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】根据充分必要性判断出"/(0)=0”与“/(X)为奇函数”的充分必要性关系，可判断出命题①

的正误；根据函数奇偶性的定义判断函数/(X)=型二D(aGR)的奇偶性，可判断出命题②的正误；

利用函数的单调性来判断出命题③的正误；利用单调性的定义判断命题④的正误.

【详解】对于命题①，取/(x)=f,则/(0)=0,但该函数不是奇函数，则“/(0)=0"N"/(X)

为奇函数”，另一方面，若函数y=∕(x)为奇函数，取/(x)=J则/(O)没意义，则“〃力为奇函

数"NV(O)=Ow,所以，/(0)=0是/(χ)为奇函数的既不充分也不必要条件，命题①错误；

对于命题②，函数/(力=色三辿(。€/?)的定义域为卜卜工。｝,不一定关于原点对称，则函数

/(X)=广)(a∈R)不一定是偶函数,命题②错误；

对于命题③，由对勾函数的单调性可知，函数/(*)=》+：在区间(2,+8)上是增函数，当xe(2,+s)

时,/(x)>∕(2)=4,此时,该函数无最小值,命题③错误；

对于命题④，设玉<々，且4、*2e(a,0),则％-工2<0，(5(X2)]<。，

则/(司)一/(%2)>0,即/(XJ>/(々)，所以,函数y=∕(x)在区间(a1)上为减函数,命题④正

确.

因此，错误命题的个数为3.

故选C.

【点睛】本题考查函数的单调性、奇偶性有关命题的判断，同时也考查了必要不充分条件的判断，解题

时要熟悉单调性和奇偶性的定义，考查推理能力，属于中等题.

22

4.Fl,E为椭圆总+卷∙=1的两个焦点，P是椭圆上的点，且IPKI=5,贝UIPgI=()

A.9B.4C.2D.1

【答案】A

【解析】

【分析】由椭圆定义可得归用+归用=2a=14,进而求得结果.

2222

【详解】椭圆式-+乙=1中，a=7,「耳，鸟为椭圆土■+匕=1的两个焦点，

499499

附|+|明=2α=14,又IpEl=5,Q∖PF2∖=9

故选：A

22

5.已知方程』—+上—=1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是

2-k2k—1

【答案】C

【解析】

22

【详解】解：因为方程二=1表示焦点在y轴上的椭圆，因此2k-1>0,2-k>0,同时2k-1>2-k,这样

2-k2k-}

解得为选项C

2222

6.椭圆5+方=1与椭圆_£_+』_=1(,”<3)的()

4-m3-m

A.长轴长相等B.短轴长相等C.离心率相等D.焦距相等

【答案】D

【解析】

【分析】分别求出两个椭圆的长轴长、短轴长、离心率和焦距即可判断.

【详解】解：椭圆三+E=I的长轴长为4,短轴长为26，离心率为丑三3=L焦距为

4322

2√4^3=2;

椭圆」一+—匚=l（m<3）的长轴长为2"盛，短轴长为2斥百，离心率为

4一加3-m

逅-1焦距为2j（4—_）_（3—.）=2；

√4-w<4-m

故两个椭圆的焦距相等.

故选：D.

2

7.已知双曲线方程为：χ2-ɪ=l,则下列叙述正确的是（）

2

A.焦点F（±1,O）B.渐近线方程：y=±√2xC.离心率为正D.

实轴长为2夜

【答案】B

【解析】

【分析】

由双曲线的定义与性质逐项判断即可得解.

2_________

【详解】因为双曲线方程为：x2-^-=l,所以α=l1=0,c=J?仔'=6，

所以该双曲线的焦点尸（±JIθ）,故A错误；

渐进线方程为y=+y[2x,故B正确；

离心率e=£=6,故C错误；

a

实轴长勿=2,故D错误.

故选：B.

8.设《，工是双曲线C：/一$=i的两个焦点，。为坐标原点，点P在C上且IOPI=2,则

3

的面积为（）

75

A.-B.3C.-D.2

22

【答案】B

【解析】

【分析】由6KP是以P为直角直角三角形得至IJlPEF+1PKi2=16,再利用双曲线的定义得到

∣∣PF,∖-∖PF21∣=2,联立即可得到IP用IPEI,代入S=glP不IPKI中计算即可.

【详解】由已知，不妨设耳(一2,0),鸟(2,0),

则α=l,c=2,因为IOpl=2=g比用，

所以点P在以耳鸟为直径的圆上，

即./KP是以P为直角顶点的直角三角形，

故IP£『+|P5『引耳入「，

2

即I尸片|2+1PgI=16,又IlPEl-IP玛∣∣=2α=2,

2

所以4=||「/"一|"『=1PKl?+1尸鸟I-2∖PFi∖∖PF2∖=iβ-2∖PF,∖∖PF2∖,

解得IPGllP巴I=6,所以S寸叩=；IPEJlPF21=3

故选：B

【点晴】本题考查双曲线中焦点三角形面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能

力，是一道中档题.

9.顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(-4,-2)的抛物线的标准方程是

A.y2=-X

B.X2=-8γ

C.y2=-8x或f=_y

D.y2=-X或f=-8γ

【答案】D

【解析】

【详解】试题分析：设抛物线为丁=如，代入点P(-4,-2),解得加=-1,则抛物线方程为产=一无；设

抛物线为/=〃y,代入点P(-4,-2),解得“=—8,则抛物线方程为f=一8y；故D为正确答案.

考点：1、抛物线方程的求法；2、分类讨论的思想.

10.设抛物线C:/=4y的焦点为尸，准线/与丁轴的交点为M,尸是C上一点，若IP目=5,则

∖PM∖=()

A.√21B.5C.2√7D.√41

【答案】D

【解析】

【分析】求出抛物线的准线方程，可得出点用的坐标，利用抛物线的定义可求得点P的坐标，再利用两

点间的距离公式可求得结果.

【详解】易知抛物线的焦点为∕7(O,1),准线方程为y=τ,可得准线与y轴的交点M(0,τ),

设点。(佻〃)，由抛物线的性质，∣pp∣=〃+1=5,可得〃=4,

所以，加2=4"=16,解得/%=±4,即点尸(±4,4),所以IPM=J4?+(4+1/=J

故选：D.

11.已知函数y=f(χ),其导函数y=f(χ)的图象如图所示，贝IJy=/(χ)()

y↑

A.在(一8,0)上为减函数B.在X=O处取极小值

C.在(1,2)上为减函数D.在χ=2处取极大值

【答案】C

【解析】

【分析】

由导函数图象与原函数图象关系可解.

【详解】由导函数图象知，y=∕(x)在(一8,0)和(2,4)上单增，在(0,2),(4,+8)上单减，在在X=O处

取极大值，在x=2处取极小值.

故选：C.

【点睛】本题考查利用导函数图象研究原函数的单调及极值

导数法研究函数/(χ)在(。，切内单调性的步骤：

⑴求f(x);(2)确定/'(无)在(a,b)内的符号；(3)作出结论：/(x)>()时为增函数；/(无)<0时为减

函数.研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.

12.若函数/(x)=/—/+"在U上的最小值是］,则实数。的值是()

.31

A.1B.3C.—D.—1

27

【答案】B

【解析】

【分析】/'(x)=3χ2-2x=x(3x-2)=0,先求得极值，再求得端点值比较求解.

【详解】解：令/'(x)=3χ2-2x=x(3无—2)=0,

解得X=O或X=2,

3

22

当XW(O,—)时，Γ(x)<0,xe(—,l)u(-l,0)时，∕,(x)>O,

33

24

又/(§)=〃—力，/(T)=a—2,

4

显然α-2<α-----,

27

所以α-2=l,

所以。=3,

故选：B

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若'勺x∈R,有人W—x?+l成立”是真命题，则实数左的取值范围是

【答案】k≤l

【解析】

【分析】转化条件为女≤(-∕+l)皿，结合二次函数的性质即可得解.

【详解】由题意可得人≤(-∕+l)皿，

函数y=-%2+1的最大值为1,

.∙.Z≤l.

故答案为：k≤l.

,3

14.已知SQ)=厂+—G是时间，s是位移)，则物体在f=2时的瞬时速度为.

t

【答案】√13

4

【解析】

【分析】根据位移的导数是速度，求出S的导函数即速度与时间的函数，将2代入求出物体在时刻/=2

时的速度.

【详解】物体的运动速度为9)=$'=2/-5

313

所以物体在时刻f=2时的速度为：v(2)=2×2——=—

44

13

故答案为：——・

4

【点睛】本题考查导数在物理上的应用，物体位移求导得到物体的瞬时速度.

15.动点P与点耳(0,5)与点玛(0,—5)满足∣P"Hp用=6，则点P的轨迹方程为

2^>

【答案】ɪ--=ι(j≤-3)

【解析】

【分析】结合双曲线的定义求解即可.

【详解】解:由IP耳ITP闾=6<|耳任I=K)知,

点P的轨迹是以耳、工为焦点的双曲线下支，

得C=5,24=6,

.∙.a=3,h1=c2-a2=16，

22

故动点尸的轨迹方程是乙-二=l(y≤-3)∙

916I,

故答案为：———=l(ʃ≤—3).

91617

16.已知抛物线C：y2=6x焦点、为F，点P在。上，若点A(2,3),则IpH+∣PF∣的最小值为.

7

【答案】一##3.5

2

【解析】

【分析】由抛物线的定义结合三点共线取得最小值.

3

【详解】记抛物线C的准线为/,则/：X=——，

2

记点P到/的距离为d,点A(2,3)到/的距离为d',

37

则∣Λ4∣+∣P尸I=IPAI+d≥∕=2+,=;.

7

故答案为：—.

2

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.注

意：每题有1分书写分，要求卷面整洁，书写规范，步骤条理清晰.

17.写出适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：

(1)两个焦点在坐标轴上，且经过A(6,-2)和3(-2百,1)两点椭圆方程；

(2)抛物线的焦点是双曲线16/一9：/=144的左顶点，求抛物线方程.

(3)与椭圆L+上∙=1共焦点，且过点(4,5)的双曲线.

1625

22

【答案】(1)—+ɪ-=1.

155

(2)y2=-↑2x

22

(3)匕-J.

54

【解析】

【分析】(1)设出椭圆的方程并将两点代入即可求解；

(2)由双曲线的方程可知抛物线的焦点坐标，即可求出抛物线的标准方程：

(3)由椭圆的标准方程即可求出双曲线的焦点坐标，依据焦点坐标设出双曲线的方程，最后将点带入方程

即可求解.

【小问1详解】

设所求椭圆方程为mx1+ny2=l(m>O,∕?>0,m≠/?),

由A(6,-2)和3(-2√I1)两点在椭圆上可得

m∙(ʌ/ɜ)2+n-(―2)2=1f3m+4π=1

«r-,即〈，

m∙(-2√3)2+n∙l2=1∖∖2m+n=∖

1

m--

解得.ɪɪ5,

〃二­

5

22

故所求椭圆的标准方程为土+工=1.

155

【小问2详解】

V-22

双曲线的标准方程为：二-匕v=1,其左顶点为(-3,0),

916

所以抛物线的焦点坐标为(—3,0),则〃=6,

所以抛物线的方程为ʃ2=-12x.

【小问3详解】

2222

椭圆二+±=1的焦点为(0,±3),设所求双曲线方程为2———=1(0<根<9),

1625m9-777

将点(4,5)代入双曲线方程，可得”一一—≈1,

m9-m

解得m=5或机=45(不合题意，舍去)，

22

则双曲线的标准方程为2—-1.

54

r2v2?

18.已知椭圆。：号+方=13>6>0)的焦距为4,离心率为§.

(1)求椭圆。的方程；

(2)若过点P(Ll)的直线交椭圆C于A,8两点，且P为线段AB的中点，求直线AB的方程.

22

【答案】(1)三+匕=1

95

(2)5x+9y-14=0

【解析】

2c2

【分析】(1)根据椭圆的焦距为4,离心率为：，由e=—=—,2c=4求解；

3a3

2222

(2)设A(X,χ),B(W,%)，则考∙+1~=l,+利用点差法求解.

【小问1详解】

C2

解：e=—=—,2c=4,

a3

所以c=2,a=3,

又/=〃+/,

所以。=ʌ/ʒ>

r2v2

二椭圆。标准方程为二+二=1.

95

【小问2详解】

设A(Xl,χ),B(x2,y2),

22

则出+互=1,⅛A=I,

9595+

两式相减可得5(x∣+x2)(x∣-x,)+9(γl+%)(X-%)=°，

P(Ll)为线段AB的中点，

则X∣+%2=2,X+%=2,

.∙.5(Λ1-Λ2)+9(yl-γ2)=0,

x2-X19

直线AB的方程为y—1=—|(x—1),

整理得：5x+9y-14=0.

19.已知抛物线丁=2px(p>0)上一点M(1,〃。到其焦点厂的距离为2.

(1)求抛物线方程；

(2)直线2x-3y+4=0与抛物线相交于AB两点，求IAM的长.

【答案】(1)y2=4x

(2)√B

【解析】

【分析】(1)根据抛物线焦半径公式即可得解；

(2)联立方程组求出交点坐标，即可得到弦长.

【小问1详解】

由题：抛物线V=2px(p>0)上一点/(l,m)到其焦点F的距离为2,

即5+1=2,p=2,

所以抛物线方程：y2=4x

【小问2详解】

联立直线2x—3y+4=0和y2=4x得y2_6y+8=0,解得χ=2,必=4,

A(l,2),6(4,4),

∣Aβ∣=√9+4=√B

20.已知双曲线C:二-2f=l(α>0力〉0)的渐近线方程为y=±√ir,且双曲线C过点(一2,3).

azD

(1)求双曲线C的方程；

(2)若直线/：y="+3与双曲线C只有一个公共点，求实数Z的值.

2

【答案】(1)丁_工_=1

3

（2）k-+2yf3^k=+ʌ/ɜ

【解析】

b-也a

【分析】(1)由题意得149_>解方程组求出/,从，从而可求得双曲线C的方程，

示一U

(2)将直线方程代入双曲线方程中化简，然后二次项系数为零和二次项系数不为零，两种情况求解即可

【小问1详解】

b=ʌ/ɜɑ

a^=1

由题意得,49解得I2

b2=3

所以双曲线方程为d-2L=ι.

3

【小问2详解】

y=AX+3

由(2/,得(3-％2口2一6丘—12=。，

X-----=1

3

3-⅛2≠0

由题意得〈.“，2,c/c,2\八，解得攵=±2Λ∕L

Δ=36⅛2+48(3-⅛2)=0

当3—炉=0,即女=±&时，直线/与双曲线C渐近线y=±√ir平行，直线/与双曲线C只有一个

公共点，

所以Z=+2∖∣3或Z=+ʌ/ɜ∙

21.已知函数/(x)=gj?-Ze?+3x—2.

(1)求函数y=/(χ)的极值点：

(2)求函数y=∕(x)在x∈[-2,2]最大值和最小值.

【答案】(1)极大值点是x=l,极小值点是x=3;(2)最大值-金，最小值—些.

33

【解析】

【分析】(1)由题意得r(X)=X2-4x+3,令/'(x)=∕-4尤+3=0,得Xl=1，%2=3,列表可得函数