新教材高中数学人教A版学案4-5-3函数模型的应用

4.5.3函数模型的应用[目标]会根据所给数据选择合适的函数模型进行拟合．[重点]根据给定的函数模型解决实际问题．[难点]建立数学模型解答实际问题．知识点一应用所给函数模型解决实际问题[填一填]解决应用问题的基本步骤(1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质．(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．(3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题．(4)还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论．[答一答]1．我们已学过的函数有哪些？提示：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数．2．建立函数模型解决问题的基本过程是什么？提示：①收集数据；②根据收集到的数据，在平面直角坐标系内画出散点图；③根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函数模型；④选择其中的几组数据求出函数模型；⑤将已知数据代入所求出的函数模型中进行检验，看其是否符合实际，若不符合实际，则重复步骤③④⑤；若符合实际，则进入下一步；⑥用所得函数模型解释实际问题．知识点二构建函数模型解决实际问题[填一填](1)常见的8种函数模型①一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；②反比例函数模型：f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b为常数，k≠0)；③二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)；④指数函数模型：f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)；⑤对数函数模型：f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，a>0，a≠1，m≠0)；⑥幂函数模型：f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)；⑦“对勾”函数模型：f(x)＝ax＋eq\f(b,x)(a，b为常数，且a>0，b>0)；⑧分段函数模型．(2)几类函数模型的增长差异在区间(0，＋∞)上，函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函数，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn的增长速度，而y＝logax(a>1)的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个x0，当x>x0时，就有logax<xn<ax.[答一答]3．哪些实际问题可以用指数函数模型来表示？提示：人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题．4．哪些实际问题可以用对数函数模型来表示？提示：地震震级的变化规律、溶液pH的变化规律、航天问题等．类型一[解析]观察函数图象可得函数y＝f(t)在[0，a]上是增函数，即说明随着直线l的右移，扫过图形的面积不断增大．再对图象作进一步分析，图象首先是向下凸的，说明此时扫过图形的面积增加得越来越快，然后是向上凸的，说明此时扫过图形的面积增加得越来越慢．根据这一点很容易判定C项不符合．这是因为在C项中直线l扫到矩形部分时，面积会呈直线上升．[答案]C判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．[变式训练1]已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是(D)解析：①当点P在线段BC上运动时，点P到AB的距离为x，则S＝eq\f(1,2)×4×x＝2x(0≤x≤4)，其函数图象为过原点的一线段；②点P在边CD上时，点P到AB的距离不变，为4，则S＝eq\f(1,2)×4×4＝8(4≤x≤8)，其函数图象是平行于x轴的一线段；③点P在边DA上时，点P到AB的距离为(12－x)，则S＝eq\f(1,2)×4×(12－x)＝24－2x(8≤x≤12)，其图象是一线段．纵观各选项，只有D选项图象符合．故选D.类型二应用所给函数模型解决实际问题[例2]某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是某企业几年来利润y(百万元)与年投资成本x(百万元)变化的一组数据：年份2008200920102011…投资成本x35917…年利润y1234…给出以下3个函数模型：①y＝kx＋b(k≠0)；②y＝abx(a≠0，b>0，且b≠1)；③y＝loga(x＋b)(a>0，且a≠1)．(1)选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系；(2)试判断该企业年利润超过6百万元时，该企业是否要考虑转型．[解](1)将(3,1)，(5,2)代入y＝kx＋b(k≠0)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝3k＋b，,2＝5k＋b，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝\f(1,2)，,b＝－\f(1,2)，))∴y＝eq\f(1,2)x－eq\f(1,2).当x＝9时，y＝4，不符合题意；将(3,1)，(5,2)代入y＝abx(a≠0，b>0，且b≠1)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝ab3，,2＝ab5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(\r(2),4)，,b＝\r(2)，))∴y＝eq\f(\r(2),4)·(eq\r(2))x＝2eq\s\up15(eq\f(x－3,2)).当x＝9时，y＝eq\f(\r(2),4)·(eq\r(2))eq\s\up15(eq\f(9－3,2))＝1，不符合题意；将(3,1)，(5,2)代入y＝loga(x＋b)(a>0，且a≠1)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝loga3＋b，,2＝loga5＋b，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－1，))∴y＝log2(x－1)．当x＝9时，y＝log28＝3；当x＝17时，y＝log216＝4.故可用③来描述x，y之间的关系．(2)令log2(x－1)≥6，则x≥65.∵年利润eq\f(6,65)<10%，∴该企业要考虑转型．求解已给函数模型，解决实际问题的关注点(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．(3)利用该模型求解实际问题．提醒：解决实际问题时要注意自变量的取值范围．[变式训练2]据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2018年北冰洋冬季冰雪覆盖面积为m，则从2018年起，x年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是(A)A．y＝0.95eq\s\up15(eq\f(x,50))·m B．y＝(1－0.05eq\s\up15(eq\f(x,50)))·mC．y＝0.9550－x·m D．y＝(1－0.0550－x)·m解析：设北冰洋每年冬季冰雪覆盖面积为上一年的q%.由题意可知(q%)50＝0.95，所以q%＝0.9eq\s\up15(eq\f(1,50))，所以从2018年起，x年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式为y＝0.95eq\s\up15(eq\f(x,50))·m.类型三构建指数、对数函数模型解决实际问题[例3]某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)()A．2018年 B．2019年C．2020年 D．2021年[分析]写出第n(n∈N*)年该公司全年投入的研发资金与n的关系式，解不等式即可．[解析]设2015年后的第n年该公司投入的研发资金开始超过200万元．由130(1＋12%)n>200，得1.12n>eq\f(20,13)，两边取常用对数，得n>eq\f(lg2－lg1.3,lg1.12)≈eq\f(0.30—0.11,0.05)＝eq\f(19,5)，∴n≥4，∴从2019年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元，故选B.[答案]B(1)求解与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题时，要学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般需要先通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．[变式训练3](1)世界人口在过去40年内翻了一番，则每年人口平均增长率是(参考数据lg2≈0.3010,100.0075≈1.017)(C)A．1.5% B．1.6%C．1.7% D．1.8%(2)某工厂产生的废气经过过滤后排放，在过滤过程中，污染物的数量p(单位：毫克/升)不断减少，已知p与时间t(单位：小时)满足p(t)＝p02eq\s\up15(－eq\f(t,30))，其中p0为t＝0时的污染物数量．又测得当t＝30时，污染物数量的平均变化率是－10ln2，则p(60)＝(C)A．150毫克/升 B．300毫克/升C．150ln2毫克/升 D．300ln2毫克/升解析：(1)设每年世界人口平均增长率为x，则(1＋x)40＝2，两边取以10为底的对数，则40lg(1＋x)＝lg2，所以lg(1＋x)＝eq\f(lg2,40)≈0.0075，所以100.0075＝1＋x，得1＋x＝1.017，所以x＝1.7%.故选C.(2)因为当t＝30时，污染物数量的平均变化率是－10ln2，所以－10ln2＝eq\f(\f(1,2)p0－p0,30－0)，所以p0＝600ln2.因为p(t)＝p02eq\s\up15(－eq\f(t,30))，所以p(60)＝600ln2×2－2＝150ln2(毫克/升)．故选C.类型四构建分段函数模型解决实际问题[例4]今年春节期间某自驾游车队，组织车友前往某地游玩．该车队是由31辆车身长都约为5m(以5m计算)的同一车型组成的，行程中经过一个长为2725m的隧道(通过该隧道的车速不能超过25m/s)．匀速通过该隧道时，设车队的速度为xm/s.根据安全和车流的需要，当0<x≤12时，相邻两车之间保持20m的距离；当12<x≤25时，相邻两车之间保持eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)x2＋\f(1,3)x))m的距离．自第1辆车车头进入隧道至第31辆车车尾离开隧道所用的时间为y(s)．(1)将y表示为x的函数；(2)求该车队通过隧道时间y的最小值及此时车队的速度．[解]由于不同路段，保持的距离不同，因此可用分段函数表示，分段函数的有关最值问题要分段求解．(1)当0<x≤12时，y＝eq\f(2725＋5×31＋20×31－1,x)＝eq\f(3480,x)；当12<x≤25时，y＝eq\f(2725＋5×31＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)x2＋\f(1,3)x))×31－1,x)＝eq\f(5x2＋10x＋2880,x)＝5x＋eq\f(2880,x)＋10.所以y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3480,x)0<x≤12，,5x＋\f(2880,x)＋1012<x≤25.))(2)当0<x≤12时，在x＝12(m/s)时，ymin＝eq\f(3480,12)＝290(s)；当12<x≤25时，y＝5x＋eq\f(2880,x)＋10≥2eq\r(5x·\f(2880,x))＋10＝250(s)，当且仅当5x＝eq\f(2880,x)，即x＝24(m/s)时取等号．因为x＝24∈(12,25]，所以当x＝24(m/s)时，ymin＝250(s)．因为290>250，所以当x＝24(m/s)时，ymin＝250(s)．即该车队通过隧道时间y的最小值为250s及此时该车队的速度为24m/s.分段函数模型问题的解答方法：实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解.构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏.[变式训练4]首届中国国际进口博览会于2018年11月5日至10日在国家会展中心(上海)举办．一个更加开放和自信的中国，正用实际行动为世界构筑共同发展平台，展现推动全球贸易与合作的中国方案．某跨国公司带来了高端智能家居产品参展，供购商洽谈采购，并决定大量投放中国市场．已知该产品年固定研发成本30万美元，每生产一台需另投入90美元．设该公司一年内生产该产品x万台且全部售完，每万台的销售收入为G(x)万美元，G(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(240－3x，0<x≤20，,80＋\f(3000,x＋1)－\f(6000,xx＋1)，x>20.))(1)写出年利润S(万美元)关于年产量x(万台)的函数解析式；(利润＝销售收入－成本)(2)当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求出最大利润．解：(1)当0<x≤20时，S＝xG(x)－(90x＋30)＝－3x2＋150x－30；当x>20时，S＝xG(x)－(90x＋30)＝－10x＋eq\f(3000x－2,x＋1)－30.则S＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3x2＋150x－30，0<x≤20，,－10x＋\f(3000x－2,x＋1)－30，x>20.))(2)由(1)知，当0<x≤20时，S＝－3x2＋150x－30＝－3(x－25)2＋1845.因为S＝－3(x－25)2＋1845在(0,20]上单调递增，所以当x＝20时，Smax＝S(20)＝1770.当x>20时，S＝－10x＋eq\f(3000x－2,x＋1)－30＝－10x－eq\f(9000,x＋1)＋2970＝－10(x＋1)－eq\f(9000,x＋1)＋2980≤－2eq\r(\f(9000,x＋1)·10x＋1)＋2980＝2380，当且仅当eq\f(9000,x＋1)＝10(x＋1)，即x＝29时等号成立．因为2380>1770，所以x＝29时，S取得最大值，最大值为2380万美元．故当年产量为29万台时，该公司在该产品中获得的利润最大，最大利润为2380万美元．1．“红豆生南国，春来发几枝？”如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好(C)A．y＝t3 B．y＝log2tC．y＝2t D．y＝2t2解析：符合指数函数模型．2．某食品的保鲜时长y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0℃的保鲜时长是192小时，在22℃的保鲜时长是48小时，则该食品在A．16小时B．20小时C．24小时D．28小时解析：由已知条件得，192＝eb，所以b＝ln192.又因为48＝e22k＋b＝e22k＋ln192＝192e22k＝192(e11k)2，所以e11k＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(48,192)))eq\s\up15(eq\f(1,2))＝eq\f(1,2).设该食品在33℃的保鲜时长是t小时，则t＝e33k＋ln192＝192e33k＝192(e11k)3＝192×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＝24.故选C.3．将进货单价为8元的商品按10元/个销售时，每天可卖出100个，若此商品的销售单价涨1元，日销售量就减少10个，为了获取最大利润，此商品的销售单价应定为14元．解析：设销售单价应涨x元，则实际销售单价为(10＋x)元，此时日销售量为(100－10x)个，每个商品的利润为(10＋x)－8＝2＋x(元)，∴总利润y＝(2＋x)(100－10x)＝－10x2＋80x＋200＝－10(x－4)2＋360(0<x<10，且x∈N*)．∴当x＝4时y有最大值，此时单价为14元．4．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v米/秒和燃料的质量M千克、火箭(除燃料外)的质量m千克的函数关系式是v＝2000·ln(1＋eq\f(M