物理人教版必修2学案第五章曲线运动末整合提升

末整合提升[构建知识网络]eq\a\vs4\al(曲线运动)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(曲线运动\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(曲线运动的速度方向：轨迹的切线方向,曲线运动的条件：合外力方向与初速度方向不在一条直线上)),运动的合成与分解\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(分运动与合运动具有独立性、等时性、等效性,速度、位移、加速度的合成遵循平行四边形定则)),平抛运动\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(水平方向：匀速运动，vx＝v0，x＝v0t，ax＝0,竖直方向：自由落体运动，vy＝gt，y＝\f(1,2)gt2，ay＝g,合运动：v＝\r(v\o\al(2,x)＋v\o\al(2,y))，s＝\r(x2＋y2))),圆周运动\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(描述规律的物理量\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(线速度：v＝\f(s,t)＝\f(2πr,T),角速度：ω＝\f(θ,t)＝\f(2π,T),周期：T＝\f(2πr,v)＝\f(2π,ω),向心加速度：a＝\f(v2,r)＝ω2r＝\f(4π2r,T2),向心力：F＝m\f(v2,r)＝mω2r＝m\f(4π2r,T2))),匀速圆周运动\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(特点：线速度大小不变,条件：合力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心)),非匀速圆周运动：合外力不仅改变速度大小，还改变速度方向)),生活中的圆周运动\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(火车拐弯：设轨道倾角为α，则有mgtanα＝m\f(v2,r),拱形桥：过凸形桥顶部时m\f(v2,r)＝mg－FN，过凹形桥底部有m\f(v2,r)＝FN－mg,航天器中的失重现象,离心运动\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(其实质是物体具有惯性的表现,离心运动的条件：提供的向心力小于需要的向心力))))))[要点专题突破]专题一运动的合成与分解1．合运动与两个分运动的关系(1)利用运动的合成或分解，可以简化复杂运动，是分析曲线运动的方法和手段．合运动是物体的实际运动，与分运动具有等效性和等时性，这是合成和分解运动的基本依据．合运动与分运动满足平行四边形定则．(2)合理地分解运动分解运动时，不仅要遵从分解法则，还要注意各分运动的实际意义及效果，按照效果将运动进行分解．2．船渡河运动的分解v1为水流速度，v2为船相对静水的速度，θ为v2与v1的夹角，d为河宽．(1)沿水流方向：船的运动是速度为v1＋v2cosθ的匀速直线运动．(2)沿垂直河岸方向：船的运动是速度为v2sinθ的匀速直线运动．(3)船垂直河岸渡河时：渡河位移最小，有lmin＝d.在水流方向上有v1＋v2cosθ＝0，即船头指向上游，满足cosθ＝－eq\f(v1,v2).(4)船头垂直河岸渡河时：渡河时间最短，有tmin＝eq\f(d,v2).[例1]如图所示，有一只小船正在过河，河宽d＝300m，小船在静水中的速度v2＝3m/s，水的流速v1＝1m/s.小船以下列条件过河时，求过河的时间．(1)以最短的时间过河；(2)以最短的位移过河．[解析](1)当小船的船头方向垂直于河岸时，即船在静水中的速度v2的方向垂直于河岸时，过河时间最短，则最短时间tmin＝eq\f(d,v2)＝eq\f(300,3)s＝100s.(2)因为v2＝3m/s>v1＝1m/s，所以当小船的合速度方向垂直于河岸时，过河位移最短．此时合速度方向如图所示，则过河时间t＝eq\f(d,v)＝eq\f(d,\r(v\o\al(2,2)－v\o\al(2,1)))≈106.1s.[答案](1)100s(2)106.1s[例2]在光滑水平面上，一个质量为2kg的物体从静止开始运动，在前5s内受到一个沿正东方向、大小为4N的水平恒力作用；从第5s末到第15s末改受正北方向、大小为2N的水平恒力作用．求物体在15s内的位移和15s末的速度．[解析]如图所示，物体在前5s内由坐标原点开始沿正东方向做初速度为0的匀加速直线运动，其加速度a1＝eq\f(F1,m)＝eq\f(4,2)m/s2＝2m/s2.5s内物体沿正东方向的位移x1＝eq\f(1,2)a1teq\o\al(2,1)＝eq\f(1,2)×2×52m＝25m.5s末物体的速度v1＝a1t1＝2×5m/s＝10m/s，方向向正东．5s末物体改受正北方向的外力F2，则物体同时参与了两个方向的运动，合运动为曲线运动．物体在正东方向做匀速直线运动，5s末到15s末沿正东方向的位移x1′＝v1t2＝10×10m＝100m.5s后物体沿正北方向分运动的加速度a2＝eq\f(F2,m)＝eq\f(2,2)m/s2＝1m/s2，5s末到15s末物体沿正北方向的位移y＝eq\f(1,2)a2teq\o\al(2,2)＝50m.15s末物体沿正北方向的分速度v2＝a2t2＝10m/s.根据平行四边形定则可知，物体在15s内的位移l＝eq\r(x1＋x1′2＋y2)≈135m，方向为东偏北θ角，tanθ＝eq\f(y,x1＋x′1)＝eq\f(2,5).物体在15s末的速度v＝eq\r(v\o\al(2,1)＋v\o\al(2,2))＝10eq\r(2)m/s，方向为东偏北α角，由tanα＝eq\f(v2,v1)＝1，得α＝45°.[答案]物体15s内的位移为135m，方向为东偏北θ角，且tanθ＝eq\f(2,5)15s末的速度为10eq\r(2)m/s，方向为东偏北45°角总结提能本题中物体的运动分为两个阶段，前5s内沿正东方向做初速度为0的匀加速直线运动，后10s内物体同时参与了两个方向(正东和正北)的运动．根据运动的合成与分解的方法，分别求出两个方向上的分位移和分速度，然后利用矢量运算法则求解即可．专题二平抛运动的解题方法平抛运动是典型的匀变速曲线运动，它的动力学特征是：水平方向有初速度而不受外力，竖直方向只受重力而无初速度．因此抓住了平抛运动的这个初始条件，也就抓住了它的解题关键．现将常见的几种解题方法介绍如下：(1)利用平抛运动的时间特点解题平抛运动可分解成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，只要抛出的时间相同，下落的高度和竖直分速度就相同．(2)利用平抛运动的轨迹解题平抛运动的轨迹是一条抛物线，已知抛物线上的任意一段，就可求出初速度和抛出点，其他物理量也就迎刃而解了．设如图为某小球做平抛运动的一段轨迹，在轨迹上任取两点A和B，分别过A点作竖直线，过B点作水平线，两直线相交于C点，然后过BC的中点D作垂线交轨迹于E点，过E点再作水平线交AC于F点，则小球经过AE和EB的时间相等，设为单位时间T.由竖直方向上的匀加速直线运动得eq\x\to(FC)－eq\x\to(AF)＝gT2，所以T＝eq\r(\f(\a\vs4\al(\x\to(FC)－\x\to(AF)),g))，由水平方向上的匀速直线运动得v0＝eq\f(\x\to(EF),T)＝eq\x\to(EF)eq\r(\f(g,\a\vs4\al(\x\to(FC)－\x\to(AF))))，由于小球从抛出点开始在竖直方向上做自由落体运动，在连续相等的时间内满足h1h2h3…＝135…因此，只要求出eq\f(\a\vs4\al(\x\to(AF)),\a\vs4\al(\x\to(FC)))的值，就可以知道AE和EB是在哪个单位时间段内．[例3]在离地某一高度的同一位置处，有A、B两个小球，A球以vA＝3m/s的速度水平向左抛出，同时B球以vB＝4m/s的速度水平向右抛出，那么当两个小球的速度方向垂直时，它们之间的距离为多大？[解析]如图所示，由于两个小球是在同一高度同一时刻抛出，它们始终在同一水平位置上，且有vAy＝vBy＝gt，设vA′、vB′的方向和竖直方向的夹角分别为α和β，则vAy＝vAcotα，vBy＝vBcotβ，且α＋β＝90°.则vAyvBy＝veq\o\al(2,Ay)＝vAvBcotαcotβ＝vAvB.得vAy＝eq\r(vAvB)，则时间t＝eq\f(vAy,g)＝eq\f(\r(vAvB),g)，故距离s＝(vA＋vB)t＝eq\f(vA＋vB\r(vAvB),g)≈2.47m.[答案]2.47m[例4]下图是某同学根据实验画出的平抛小球的运动轨迹，O为平抛的起点，在轨迹上任取三点A、B、C，测得A、B两点竖直坐标y1为5.0cm、y2为45.0cm，A、B两点水平间距Δx为40.0cm.则平抛小球的初速度v0为________m/s，若C点的竖直坐标y3为60.0cm，则小球在C点的速度vC＝________m/s(结果保留两位有效数字，g取10m/s2)．[解析]由y＝eq\f(1,2)gt2得，t1＝eq\r(\f(2y1,g))＝0.10s，t2＝eq\r(\f(2y2,g))＝0.30s，因此小球平抛运动的初速度为v0＝eq\f(Δx,t2－t1)＝eq\f(0.40,0.20)m/s＝2.0m/s.小球在C点时竖直方向的分速度vy3＝eq\r(2gy3)＝eq\r(2×10×0.60)m/s＝2eq\r(3)m/s，因此C点速度vC＝eq\r(v\o\al(2,y3)＋v\o\al(2,0))＝4.0m/s.[答案]2.04.0总结提能平抛运动在水平方向上是匀速直线运动，在竖直方向上是自由落体运动．由轨迹分析问题时要注意坐标原点是否为抛出点，即在应用竖直方向的规律时要注意使用条件．专题三圆周运动问题1．圆周运动的运动学分析(1)正确理解描述圆周运动快慢的物理量及其相互关系线速度、角速度、周期和转速都是描述圆周运动快慢的物理量，但意义不同．线速度描述物体沿圆周运动的快慢．角速度、周期和转速描述做圆周运动的物体绕圆心转动的快慢．由ω＝eq\f(2π,T)＝2πn，知ω越大，T越小，n越大，则物体转动得越快，反之则越慢．三个物理量知道其中一个，另外两个也就成为已知量．(2)对公式v＝ωr及an＝eq\f(v2,r)＝ω2r的理解①由v＝ωr，知r一定时，v与ω成正比；ω一定时，v与r成正比；v一定时，ω与r成反比．②由an＝eq\f(v2,r)＝ω2r，知v一定时，an与r成反比；ω一定时，an与r成正比．2．圆周运动的动力学分析匀速圆周运动是一种变加速曲线运动，处理匀速圆周运动应抓住合力充当向心力这一特点，由牛顿第二定律来分析解决，此时公式F＝man中的F是指向心力，an是指向心加速度，即ω2r或eq\f(v2,r)或其他的用转速、周期、频率表示的形式．圆周运动中应用牛顿第二定律的解题步骤：(1)确定研究对象，确定圆周运动的平面和圆心位置，从而确定向心力的方向．(2)选定向心力的方向为正方向．(3)受力分析(不要把向心力作为一种按性质命名的力进行分析)，利用直接合成法或正交分解法确定向心力的大小．(4)选择恰当的向心力公式，由牛顿第二定律列方程．(5)求解未知量并说明结果的物理意义．3．利用正交分解法处理圆周运动问题由于做圆周运动的物体，其受力并不一定在它的运动平面上，所以在对物体进行受力分析时往往要进行正交分解．对圆周运动进行分析时，建立的坐标系不是恒定不变的，而是在每一个瞬间建立坐标系．(1)匀速圆周运动：采用正交分解法，其坐标原点是做圆周运动的物体(视为质点)，相互垂直的两个坐标轴中，一定有一个坐标轴的正方向沿着半径指向圆心．(2)变速圆周运动：采用正交分解法，有一个坐标轴的正方向沿着半径指向圆心．加速度沿半径方向的分量an(指向圆心)即为向心加速度，其大小为an＝eq\f(v2,r)＝rω2；加速度沿轨迹切线方向的分量aτ即为切向加速度．合力沿半径方向的分量Fn(或所有外力沿半径方向分力的矢量和)提供向心力，其作用是改变速度的方向；其大小为Fn＝meq\f(v2,r)＝mω2r.合力沿切线方向的分力Fτ(或所有外力沿切线方向的分力的矢量和)使物体产生切向加速度，其作用是改变速度的大小，其大小为Fτ＝maτ.[例5]如下图所示，质量分别为M和m的两个小球A、B套在光滑水平直杆P上．整个直杆被固定于竖直转轴上，并保持水平．两球间用劲度系数为k、原长为L的轻质弹簧连接在一起．左边小球被轻质细绳拴在竖直转轴上，细绳长度也为L.现使横杆P随竖直转轴一起在水平面内匀速转动，转动角速度为ω，则当弹簧长度稳定后，细绳的拉力和弹簧的总长度各为多少？[解析]设直杆匀速转动时，弹簧伸长量为x，A、B两球水平方向受力如图所示，其中FT为细绳的拉力，F为弹簧的弹力．[答案]Mω2L＋eq\f(2mω2kL,k－mω2)eq\f(k＋mω2,k－mω2)L总结提能处理物体系统的匀速圆周运动问题要充分挖掘隐含条件．首先明确各物体做圆周运动的v、ω及r是多少，向心力是由什么力提供的，然后分析各物体做圆周运动的物理量之间有什么联系，从而建立方程求解相关问题．[例6]如图所示，有一质量为m的小球在光滑的半球形碗内做匀速圆周运动，轨道平面在水平面内．已知小球与半球形碗的球心O的连线跟竖直方向的夹角为θ，半球形碗的半径为R，求小球做圆周运动的速度大小及碗壁对小球的弹力大小．[解析]对小球进行受力分析如图所示，合力沿水平方向，则弹力FN＝eq\f(mg,cosθ).速度大小的计算过程如下：[答案]eq\r(gRsinθtanθ)eq\f(mg,cosθ)总结提能解决匀速圆周运动问题依据的规律是牛顿第二定律和匀速圆周运动的运动学公式．专题四水平面内圆周运动的临界问题关于水平面内匀速圆周运动的临界问题，无非是临界速度与临界力的问题，具体来说，主要是与绳的拉力、弹簧的拉力、接触面的弹力和摩擦力等相关．在这类问题中，要特别注意分析物体做圆周运动的向心力来源，考虑达到临界条件时物体所处的状态，即临界速度、临界角速度，然后分析该状态下物体的受力特点，结合圆周运动知识，列方程求解．常见情况有以下几种：(1)与绳的弹力有关的圆周运动临界问题．(2)因静摩擦力存在最大值而产生的圆周运动临界问题．(3)受弹簧等约束的匀速圆周运动临界问题．(4)与斜面有关的圆周运动临界问题．[例7]如图(1)所示，小球质量m＝0.8kg，用两根长均为L＝0.5m的细绳拴住并系在竖直杆上的A、B两点．已知AB＝0.8m，当竖直杆转动带动小球在水平面内绕杆以ω＝40rad/s的角速度匀速转动时，取g＝10m/s2，求上、下两根绳上的张力．[解析]设BC绳刚好伸直无拉力时，小球做圆周运动的角速度为ω0，绳AC与杆夹角为θ，且cosθ＝eq\f(\f(0.8,2),0.5)＝0.8，则θ＝37°，如图(2)甲所示，有mgtanθ＝mωeq\o\al(2,0)r，得ω0＝eq\r(\f(gtanθ,r))＝eq\r(\f(gtanθ,Lsinθ))＝eq\r(\f(g,Lcosθ))＝5rad/s，由ω＝40rad/s>5rad/s＝ω0，知BC绳已被拉直并有拉力，对小球受力分析建立如图乙所示的坐标系，将F1、F2正交分解，则沿y轴方向有F1cosθ－mg－F2cosθ＝0，沿x轴方向有F1sinθ＋F2sinθ＝mω2r，代入有关数据，得F1＝325N，F2＝315N.[答案]325N315N总结提能本题中的ω0为角速度的临界值，当ω<ω0时，小球受两个力，θ<37°；当ω＝ω0时，小球仍受两个力，但θ＝37°，且F1＝eq\f(mg,cosθ)；当ω>ω0时，小球受三个力，θ＝37°.对这类有临界状态的问题必须先找出临界状态再作出判断．[例8]有一水平放置的圆盘，上面放有一劲度系数为k的轻质弹簧，如图所示，弹簧的一端固定于轴O上，另一端挂一质量为m的物体A，物体与圆盘面间的动摩擦因数为μ，开始时弹簧未发生形变，长度为R.(1)圆盘的转速n0多大时，物体A开始滑动？(2)分析转速达到2n0时，弹簧的伸长量Δx是多少？[解析]若圆盘转速较小，则静摩擦力提供向心力，当圆盘转速较大时，弹力与摩擦力的合力提供向心力．(1)A刚开始滑动时，A所受最大静摩擦力提供向心力，则有μmg＝mωeq\o\al(2,0)R①又因为ω0＝2πn0②由①②得n0＝eq\f(1,2π)eq\r(\f(μg,R))，即当n0＝eq\f(1,2π)eq\r(\f(μg,R))时，物体A开始滑动．(2)转速增加到2n0时，有μmg＋kΔx＝mωeq\o\al(2,1)r，ω1＝2π·2n0，r＝R＋Δx，整理得Δx＝eq\f(3μmgR,kR－4μmg).[答案](1)eq\f(1,2π)eq\r(\f(μg,R))(2)eq\f(3μmgR,kR－4μmg)总结提能求解有弹簧连接的物体做圆周运动的问题时，要明确各力的方向，半径的变化，并注意弹簧与绳的区别以及静摩擦力是可以变化的．专题五竖直平面内圆周运动的临界问题1．没有物体支撑的小球(轻绳或单侧轨道类)小球在最高点的临界速度(最小速度)是v0＝eq\r(gr).小球恰能通过圆周最高点时，绳对小球的拉力为0，环对小球的弹力为0(临界条件：FT＝0或FN＝0)，此时重力提供向心力．所以v≥eq\r(gr)时，能通过最高点；v<eq\r(gr)时，不能达到最高点．2．有物体支撑的小球(轻杆或双侧轨道类)因轻杆和管壁能对小球产生支撑作用，所以小球达到最高点的速度可以为0，即临界速度v0＝0，此时支持力FN＝mg.[例9](多选)用细绳拴着质量为m的小球，在竖直平面内做半径为R的圆周运动，如图所示．则下列说法正确的是()A．小球通过最高点时，绳子张力可以为0B．小球通过最高点时的最小速度是0C．小球刚好通过最高点时的速度是eq\r(gR)D．小球通过最高点时，绳子对小球的作用力可以与球所受重力方向相反[解析]设小球通过最高点时的速度为v.由合力提供向心力及牛顿第二定律得mg＋FT＝meq\f(v2,R).当FT＝0时，v＝eq\r(gR)，故A正确；当v<eq\r(gR)时，FT<0，而绳子只能产生拉力，不能产生与重力方向相反的支持力，故B、D错误；当v>eq\r(gR)时，FT>0，小球能沿圆弧