《5.3诱导公式》教案与导学案

《第五章三角函数》《5.3诱导公式》教案【教材分析】本节主要内容是三角函数的诱导公式中的公式二至公式六，其推导过程中涉及到对称变换，充分体现对称变换思想在数学中的应用，在练习中加以应用，让学生进一步体会的任意性；综合六组诱导公式总结出记忆诱导公式的口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，了解从特殊到一般的数学思想的探究过程，培养学生用联系、变化的辩证唯物主义观点去分析问题的能力。诱导公式在三角函数化简、求值中具有非常重要的工具作用，要求学生能熟练的掌握和应用。【教学目标与核心素养】课程目标1.借助单位圆，推导出正弦、余弦第二、三、四、五、六组的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题2.通过公式的应用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力。数学学科素养1.数学抽象：理解六组诱导公式；2.逻辑推理：“借助单位圆中三角函数的定义推导出六组诱导公式；3.数学运算：利用六组诱导公式进行化简、求值与恒等式证明.【教学重难点】重点：借助单位圆，推导出正弦、余弦第二、三、四、五、六组的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数；难点：解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题．【教学方法】：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。【教学过程】一、情景导入利用诱导公式（一），将任意范围内的角的三角函数值转化到角后，又如何将角间的角转化到角呢？除此之外还有一些角，它们的终边具有某种特殊关系，如关于坐标轴对称、关于原点对称等。那么它们的三角函数值有何关系呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本188-192页，思考并完成以下问题1.π±α，－α的终边与α的终边有怎样的对称关系？2．诱导公式二、三、四的内容是什么？3.±α的终边与α的终边有怎样的对称关系？4.诱导公式五、六的内容是什么？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1.公式一：:终边相同的角2.公式二：终边关于X轴对称的角3.公式三：终边关于Y轴对称的角，，，4.公式四：任意与的终边都是关于原点中心对称的终边关于原点对称的角sin1800cos1800,5.公式五:终边关于直线y＝x对称的角的诱导公式(公式五)：sin90ccos906、公式六:eq\f(π,2)＋α型诱导公式(公式六)：sin90ccos90【说明】：①公式中的α指任意角；②在角度制和弧度制下，公式都成立；③记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；【方法小结】：用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般方向是：①化负角的三角函数为正角的三角函数；②化为[0,2π]内的三角函数；③化为锐角的三角函数。可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”（有时也直接化到锐角求值）。四、典例分析、举一反三题型一给角求值例1求下列各三角函数式的值：(1)sin(－660°)；(2)coseq\f(27π,4)；(3)2cos660°＋sin630°；(4)taneq\f(37π,6)·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－5π,3))).【答案】(1)eq\f(\r(3),2)；(2)－eq\f(\r(2),2)；(3)0；(4)eq\f(1,2).【解析】(1)因为－660°＝－2×360°＋60°，所以sin(－660°)＝sin60°＝eq\f(\r(3),2).(2)因为eq\f(27π,4)＝6π＋eq\f(3π,4)，所以coseq\f(27π,4)＝coseq\f(3π,4)＝－eq\f(\r(2),2).(3)原式＝2cos(720°－60°)＋sin(720°－90°)＝2cos60°－sin90°＝2×eq\f(1,2)－1＝0.(4)taneq\f(37π,6)·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,3)))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6π＋\f(π,6)))·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2π＋\f(π,3)))＝taneq\f(π,6)·sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(1,2).解题技巧：（利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤）利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤：跟踪训练一1．求下列各三角函数式的值：(1)sin1320°；(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,6)))；(3)tan(－945°)．【答案】(1)－eq\f(\r(3),2)；(2)－eq\f(\r(3),2)；(3)-1．【解析】(1)sin1320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)＝－sin(180°－60°)＝－sin60°＝－eq\f(\r(3),2).(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,6)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－6π＋\f(5π,6)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,6)))＝－coseq\f(π,6)＝－eq\f(\r(3),2).(3)tan(－945°)＝－tan945°＝－tan(225°＋2×360°)＝－tan225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan45°＝－1.题型二化简、求值例2化简sin2【答案】见解析.【解析】原式=-解题技巧：(化简求值的方法)用诱导公式化简求值的方法：1.对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少.2.对于kπ±α和EQ\f(π,2)±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而后一套公式必须变名.即“奇变偶不变，符号看象限”.跟踪训练二1.化简:cosα-π2sin5π22．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝eq\f(1,3)，求eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)),cosπ＋α)＋的值．【答案】1.见解析；2.eq\f(2,3).【解析】1.原式=cosπ2-αsinπ2+α·sinα·cosα=2.原式＝eq\f(cosαsinα,－cosα)＋eq\f(sinαsinα,－sinα)＝－sinα－sinα＝－2sinα.又coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝eq\f(1,3)，所以－sinα＝eq\f(1,3).所以原式＝－2sinα＝eq\f(2,3).题型三给值求值例3已知si【答案】-2【解析】因为-2700<又因为sin530所以cos易知53所以sin解题技巧：（给值求值解题技巧）1．给值求值型问题，若已知条件或待求式较复杂，有必要根据诱导公式化到最简，再确定相关的值．2．巧用相关角的关系会简化解题过程．观察所求角与已知角是否具有互余、互补等特殊关系.在转化过程中可以由已知到未知,也可以由未知索已知.常见的互余关系有eq\f(π,3)－α，eq\f(π,6)＋α；eq\f(π,3)＋α，eq\f(π,6)－α；eq\f(π,4)＋α，eq\f(π,4)－α等．常见的互补关系有eq\f(π,3)＋θ，eq\f(2π,3)－θ；eq\f(π,4)＋θ，eq\f(3π,4)－θ等．跟踪训练三1.已知cos2π3-x=33,求cos【答案】cosπ3+x=-33;【解析】cosπ3+x=-cos2π3-sinx-π6=cos2πcos4π3+=cos2π五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计5.5.3诱导公式公式一例1例2例3公式二公式三公式四公式五公式六总结（奇变偶不变吧，符号看象限）七、作业课本194页习题5.3.【教学反思】诱导公式沟通了任意角三角函数值与锐角三角函数值以及终边有特殊位置关系的角的三角函数值之间的联系．在求任意角的三角函数值，解决有关的三角变换等方面有重要的作用，特别是诱导公式中的角可以是任意角，即，它在终边具有某种对称性的角的三角函数变换中，应用广泛，如后续课中，画余弦曲线就是利用诱导公式把正弦曲线向左平移π2个长度单位而得到的．《5.3诱导公式》导学案【学习目标】知识目标1.借助单位圆，推导出正弦、余弦第二、三、四、五、六组的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题2.通过公式的应用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力。核心素养1.数学抽象：理解六组诱导公式；2.逻辑推理：“借助单位圆中三角函数的定义推导出六组诱导公式；3.数学运算：利用六组诱导公式进行化简、求值与恒等式证明.【重点与难点】重点：借助单位圆，推导出正弦、余弦第二、三、四、五、六组的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数；难点：解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题．【学习过程】一、预习导入阅读课本188-192页，填写。1.公式一：:终边相同的角2.公式二：终边关于X轴对称的角3.公式三：终边关于Y轴对称的角，，，4.公式四：任意与的终边都是关于原点中心对称的终边关于原点对称的角sin1800cos1800,5.公式五:终边关于直线y＝x对称的角的诱导公式(公式五)：sin90ccos906、公式六:eq\f(π,2)＋α型诱导公式(公式六)：sin90ccos90【说明】：①公式中的α指任意角；②在角度制和弧度制下，公式都成立；③记忆方法：“______________________________”；【方法小结】：用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般方向是：①化负角的三角函数为正角的三角函数；②化为[0,2π]内的三角函数；③化为锐角的三角函数。可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”（有时也直接化到锐角求值）。【小试牛刀】1．(1)sineq\f(25π,6)＝________；(2)taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7π,4)))＝________.2．(1)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝________；(2)cos330°＝________；3．(1)sineq\f(5π,6)＝________；(2)tan1560°＝________.4．(1)sin225°＝________；(2)coseq\f(7π,6)＝________.5．(1)若sinα＝eq\f(1,3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝________；(2)若cosα＝eq\f(4,5)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝________.【自主探究】题型一给角求值例1求下列各三角函数式的值：(1)sin(－660°)；(2)coseq\f(27π,4)；(3)2cos660°＋sin630°；(4)taneq\f(37π,6)·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－5π,3))).跟踪训练一1．求下列各三角函数式的值：(1)sin1320°；(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,6)))；(3)tan(－945°)．题型二化简、求值例2化简sin2跟踪训练二1.化简:cosα2．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝eq\f(1,3)，求eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)),cosπ＋α)＋eq\f(sinπ－αcos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α)),sinπ＋α)的值．题型三给值求值例3已知si跟踪训练三1.已知cos2π3-x=33,求cos【课堂检测】1．已知，则值为（）A.B.—C.D.—2．cos(+α)=—，<α<,sin(-α)值为（）A.B.C.D.—3．化简：得（）A.B.C.D.±4．已知，，那么的值是5．求值：2sin(－1110º)－sin960º+＝．6．已知方程sin(3)=2cos(4)，求的值。答案小试牛刀1．(1)eq\f(1,2)(2)1.2．(1)－eq\f(\r(3),2)(2)eq\f(\r(3),2).3．(1)eq\f(1,2)(2)－eq\r(3).4.(1)－eq\f(\r(2),2)(2)－eq\f(\r(3),2).5.(1)eq\f(1,3)(2)eq\f(4,5).自主探究例1【答案】(1)eq\f(\r(3),2)；(2)－eq\f(\r(2),2)；(3)0；(4)eq\f(1,2).【解析】(1)因为－660°＝－2×360°＋60°，所以sin(－660°)＝sin60°＝eq\f(\r(3),2).(2)因为eq\f(27π,4)＝6π＋eq\f(3π,4)，所以coseq\f(27π,4)＝coseq\f(3π,4)＝－eq\f(\r(2),2).(3)原式＝2cos(720°－60°)＋sin(720°－90°)＝2cos60°－sin90°＝2×eq\f(1,2)－1＝0.(4)taneq\f(37π,6)·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,3)))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6π＋\f(π,6)))·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2π＋\f(π,3)))＝taneq\f(π,6)·sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(1,2).跟踪训练一1．【答案】(1)－eq\f(\r(3),2)；(2)－eq\f(\r(3),2)；(3)-1．【解析】(1)sin1320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)＝－sin(180°－60°)＝－sin60°＝－eq\f(\r(3),2).(2)cos