《5.1.2 弧度制》教学设计、导学案、同步练习

第五章三角函数《5.1.2弧度制》教学设计【教材分析】本节课是普通高中教科书人教A版必修第一册第五章第一节第二课，本节课起着承上启下的作用:在前面学生在初中已经学过角的度量单位“度”，并且上节课学了任意角的概念,将角的概念推广到了任意角;本节课作为三角函数的第二课时,该课的知识还是后继学习任意角的三角函数等知识的理论准备,因此本节课还起着启下的作用。通过本节弧度制的学习,我们知道实数与角之间一一对应的关系，而且在弧度制下的弧长公式与扇形面积公式有了更为简单形式。另外弧度制为今后学习三角函数带很大方便。【教学目标与核心素养】课程目标学科素养A.理解角集与实数集的一一对应，熟练掌握角度制与弧度制间的互相转化；B.能灵活运用弧长公式、扇形面积公式解决问题；C.找出弧度与角度换算的方法，领悟从特殊到一般的思想方法。1.数学抽象：角集与实数集间的一一对应；2.逻辑推理：弧长公式及扇形的面积公式；3.数学运算：求扇形的弧长和面积；4.直观想象：由函数的图象表示函数；5.数学模型：由实际问题构造合理的函数模型。【教学重难点】1.教学重点：角度制与弧度制间的互相转化，弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明；2.教学难点：能灵活运用弧长公式、扇形面积公式解决问题。【教学过程】教学过程教学设计意图一、复习回顾，温故知新1.在平面几何里，度量角的大小用什么单位？【答案】角度制的单位有：度、分、秒。2.1°的角是如何定义的？【答案】规定：圆周1/360的圆心角称作1°角。这种用度做单位来度量角的制度叫做角度制.日常生活中，度量长度可用不同的单位，如：一张课桌长80厘米，也可以说长0.8米，显然两种结果出现了不同的数值。在数学和其他科学研究中还经常用到另一种度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？二、探索新知探究：在圆内，圆心角的大小和半径大小有关系吗？角度为300、600的圆心角，半径r=1,2,3时，（1）分别计算相对应的弧长l（2）分别计算对应弧长与半径之比思考：通过上面的计算，你发现了什么规律？【答案】①.圆心角不变，比值不变；比值的大小与所取的圆的半径大小无关；②圆心角改变，比值改变；比值的大小只与圆心角的大小有关；1.弧度的概念把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角.弧度制：这种以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制，它的单位是弧度，单位符号是rad.约定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为0.思考1:圆的半径为r,弧长分别为2r、-3r,则它们所对圆心角的弧度数是多少?【答案】2rad,-3rad.思考2：如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么，角α的弧度数的绝对值如何计算？【答案】结论：圆心角AOB的弧度数等于它所对的弧的长与半径长的比的绝对值。2.角度与弧度的换算思考3：一个周角以度为单位度量是多少度，以弧度为单位度量是多少弧度？由此可得角度与弧度有怎样的换算关系？【答案】360º，。思考4：根据上述关系，1°等于多少弧度，1rad等于多少度？【答案】把67°30′化成弧度。【解析】因为所以。把下列各角的弧度化为度数。【解析】（1）注：角度制与弧度制互化时要抓住180°=rad这个关键。注:常规写法①用弧度数表示角时，常常把弧度数写成多少的形式，不必写成小数．②用弧度制表示角时,“弧度”二字或“rad”通常略去不写,面只写该角所对应的弧度数.③弧度与角度不能混用．即不能出现这样的形式:。填写下列表中特殊角的弧度数或度数。角度00300600120013502700弧度角的概念推广后，角与实数之间建立了一一对应关系，任意角的集合实数集R例3.利用弧度制证明下列扇形的公式：（1）。（其中R是扇形的半径，是弧长，，S是扇形的面积）。通过复习初中所学角的单位及定义，类比长度的不同度量制，用类比的方法、联系的观点引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。通过探究与思考，寻找弧长、半径与圆心角之间的关系，进而得弧度的定义，提高学生的解决问题、分析问题的能力。通过思考，进一步巩固弧度制的定义，提高学生分析问题、概括能力。通过思考，归纳弧度与角度的互化。提高学生分析问题、概括能力。通过例题学会角度与弧度的转化，提高学生解决问题的能力。通过例题总结弧度制下的扇形的弧长公式、扇形的面积公式，提高学生的观察、概括能力。三、达标检测1．正确表示终边落在第一象限的角的范围的是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)【解析】B中k＝1时为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3,2)π))显然不正确；因为第一象限角不含终边在坐标轴的角故C、D均错，只有A正确．【答案】A2．与30°角终边相同的角的集合是()A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α＝k·360°＋\f(π,6)))，k∈Z))B．{α|α＝2kπ＋30°，k∈Z}C．{α|α＝2k·360°＋30°，k∈Z}D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α＝2kπ＋\f(π,6)，))k∈Z))【解析】∵30°＝30×eq\f(π,180)rad＝eq\f(π,6)rad，∴与30°终边相同的所有角可表示为α＝2kπ＋eq\f(π,6)，k∈Z，故选D．【答案】D3．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为()A．eq\f(40,3)πB．eq\f(20,3)πC．eq\f(200,3)πD．eq\f(400,3)π【解析】240°＝240×eq\f(π,180)rad＝eq\f(4,3)πrad，∴弧长l＝|α|·r＝eq\f(4,3)π×10＝eq\f(40,3)π，选A．【答案】A4．将－1485°化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式为_______．【解析】由－1485°＝－5×360°＋315°，所以－1485°可以表示为－10π＋eq\f(7,4)π.【答案】－10π＋eq\f(7,4)π5．一个扇形的面积为1，周长为4，求该扇形圆心角的弧度数．【解析】设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为α，则2R＋l＝4.①由扇形的面积公式S＝eq\f(1,2)lR，得eq\f(1,2)lR＝1.②由①②得R＝1，l＝2，∴α＝eq\f(l,R)＝2rad.∴扇形的圆心角为2rad.通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。四、小结1.1弧度角的定义；2.角度制与弧度制的联系与区别；3.弧长公式与扇形的面积公式;五、作业习题5.15.（2）、（4）,6.（1）,9题通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。【教学反思】由于弧度制是一个新的角单位制的概念,主要是让学生理解弧度制的意义,重点是让学生能正确进行弧度制与角度制的换算,并理解任意角的集合与实数集之间建立一一对应的关系,关键是让学生学会类比思想,并让学生学会在弧度制下的弧长公式,及扇形的面积公式。学生在学习弧度制的时候主要是对弧度制理解的不够透彻,可能是因为新的概念,所以有大部分学生还不够熟悉,在讲解习题的时候我就逐层深入的讲解,所以学生反映还是不错。只是学生的作业还是做得不太好。所以在讲解作业的时候要继续加强弧度制的定义的理解。《5.1.2弧度制》导学案【学习目标】1.理解角的集合与实数集间的一一对应；2.熟练掌握角度制与弧度制间的互相转化；3、能灵活运用弧长公式、扇形的面积公式。【重点难点】1.教学重点：角度与弧度的互相转化，弧长公式及扇形的面积公式的推导与运用；2.教学难点：用扇形的弧长公式、扇形的面积公式解决问题。【知识梳理】1.规定：叫做1弧度的角。2.一般地，正角的弧度数是一个，负角的弧度数是一个，零角的弧度数是。3.弧度与角度的转化：1°=rad;1rad=。4.扇形的弧长公式：，扇形的面积公式：。【学习过程】一、探索新知探究：在圆内，圆心角的大小和半径大小有关系吗？角度为300、600的圆心角，半径r=1,2,3时，（1）分别计算相对应的弧长l。（2）分别计算对应弧长与半径之比。思考：通过上面的计算，你发现了什么规律？1.弧度的概念把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角.弧度制：这种以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制，它的单位是弧度，单位符号是rad.约定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为0.思考1:圆的半径为r,弧长分别为2r、-3r,则它们所对圆心角的弧度数是多少?思考2：如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么，角α的弧度数的绝对值如何计算？结论：圆心角AOB的弧度数等于它所对的弧的长与半径长的比的绝对值。2.角度与弧度的换算思考3：一个周角以度为单位度量是多少度，以弧度为单位度量是多少弧度？由此可得角度与弧度有怎样的换算关系？思考4：根据上述关系，1°等于多少弧度，1rad等于多少度？把67°30′化成弧度。把下列各角的弧度化为度数。注：角度制与弧度制互化时要抓住180°=rad这个关键。注:常规写法①用弧度数表示角时，常常把弧度数写成多少的形式，不必写成小数．②用弧度制表示角时,“弧度”二字或“rad”通常略去不写,面只写该角所对应的弧度数.③弧度与角度不能混用．即不能出现这样的形式:。练习：填写下列表中特殊角的弧度数或度数。角度00300600120013502700弧度角的概念推广后，角与实数之间建立了一一对应关系，任意角的集合实数集R例3.利用弧度制证明下列扇形的公式：（1）。（其中R是扇形的半径，是弧长，，S是扇形的面积）。【达标检测】1．正确表示终边落在第一象限的角的范围的是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)2．与30°角终边相同的角的集合是()A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α＝k·360°＋\f(π,6)))，k∈Z))B．{α|α＝2kπ＋30°，k∈Z}C．{α|α＝2k·360°＋30°，k∈Z}D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α＝2kπ＋\f(π,6)，))k∈Z))3．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为()A．eq\f(40,3)π B．eq\f(20,3)πC．eq\f(200,3)π D．eq\f(400,3)π4．将－1485°化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式为_______．5．一个扇形的面积为1，周长为4，求该扇形圆心角的弧度数．参考答案：探究：规律：①.圆心角不变，比值不变；比值的大小与所取的圆的半径大小无关；②圆心角改变，比值改变；比值的大小只与圆心角的大小有关；思考1.2rad,-3rad.思考2.思考3.360º，。思考4例1.因为所以。例2.（1）练习：角度00300450600900120013501500180027003600弧度0例3.解析见教材达标检测1.【解析】B中k＝1时为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3,2)π))显然不正确；因为第一象限角不含终边在坐标轴的角故C、D均错，只有A正确．【答案】A【解析】∵30°＝30×eq\f(π,180)rad＝eq\f(π,6)rad，2.∴与30°终边相同的所有角可表示为α＝2kπ＋eq\f(π,6)，k∈Z，故选D．【答案】D3.【解析】240°＝240×eq\f(π,180)rad＝eq\f(4,3)πrad，∴弧长l＝|α|·r＝eq\f(4,3)π×10＝eq\f(40,3)π，选A．【答案】A4.【解析】由－1485°＝－5×360°＋315°，所以－1485°可以表示为－10π＋eq\f(7,4)π.【答案】－10π＋eq\f(7,4)π5.【解析】设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为α，则2R＋l＝4.①由扇形的面积公式S＝eq\f(1,2)lR，得eq\f(1,2)lR＝1.②由①②得R＝1，l＝2，∴α＝eq\f(l,R)＝2rad.∴扇形的圆心角为2rad.《5.1.2弧度制》同步练习一基础巩固1．已知扇形的圆心角为，弧长为，则扇形的半径为（）A．7 B．6 C．5 D．42．若是三角形的最小内角，则的取值范围是（）A. B.C. D.3．下列各角中，终边相同的角是()A.和 B.和 C.和 D.和4．已知，则角的终边在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．下列转化结果错误的是（）A.化成弧度是 B.化成角度是C.化成弧度是 D.化成角度是6．将化为形式为_____.7．若，且与的终边互相垂直，则________.8．一个扇形OAB的面积是1cm2，它的周长是4cm，求圆心角的弧度数和弦长AB.能力提升9．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为()A. B. C. D.10．若角的终边落在如图所示的阴影部分内，则角的取值范围是（）A． B．C． D．11．走时精确的钟表，中午时，分针与时针重合于表面上的位置，则当下一次分针与时针重合时，时针转过的弧度数的绝对值等于_______.12．已知．（1）写出所有与终边相同的角；（2）写出在内与终边相同的角；（3）若角与终边相同，则是第几象限的角？素养达成13．扇形AOB的周长为8cm．（1）若这个扇形的面积为3cm2（2）求该扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB．5.1.2弧度制答案解析基础巩固1．已知扇形的圆心角为，弧长为，则扇形的半径为（）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】B【解析】依题意为，所以．故选B.2．若是三角形的最小内角，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】设是三角形的最小内角，则即，解得.故选：D.3．下列各角中，终边相同的角是()A.和 B.和 C.和 D.和【答案】C【解析】对于A选项，，，不合乎要求；对于B选项，，，不合乎要求；对于C选项，，合乎要求；对于D选项，，，不合乎要求。故选：C。4．已知，则角的终边在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】∵，∴，故角的终边在第三象限．选C．5．下列转化结果错误的是（）A.化成弧度是 B.化成角度是C.化成弧度是 D.化成角度是【答案】C【解析】对于A,,正确;对于B,,正确;对于C,,错误;对于D,,正确.故选C6．将化为形式为_____.【答案】【解析】,.7．若，且与的终边互相垂直，则________.【答案】【解析】因为与的终边互相垂直，所以或.因为，所以令，可得或或或.故填：8．一个扇形OAB的面积是1cm2，它的周长是4cm，求圆心角的弧度数和弦长AB.【答案】22sin1【解析】设圆的半径为rcm，弧长为lcm，则，解得∴圆心角α＝＝2.如图，过O作OH⊥AB于H.则∠AOH＝1弧度．∴AH＝1·sin1＝sin1(cm)，∴AB＝2sin1(cm)．能力提升9．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为()A. B. C. D.【答案】A【解析】与所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，设与所在扇形圆心角分别为，则，又，解得10．若角的终边落在如图所示的阴影部分内，则角的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】阴影部分的两条边界分别是角的终边，所以的取值范围是.故选：D.11．走时精确的钟表，中午时，分针与时针重合于表面上的位置，则当下一次分针与时针重合时，时针转过的弧度数的绝对值等于_______.【答案】.【解析】设时针转过的角的弧度数的绝对值为，由分针的角速度是时针角速度的倍，知分针转过的角的弧度数的绝对值为，由题意可知，，解得，因此，时针转过的弧度数的绝对值等于，故答案为：.12．已知．（1）写出所有与终边相同的角；（2）写出在内与终边相同的角；（3）若角与终边相同，则是第几象限的角？【答案】略【解析】(1)所有与α终边相同的角可表示为(2)由(1)令-4π＜2kπ+＜2π(k∈Z)，则有-2-＜k＜1-．又∵k∈Z，∴取k=-2，-1，0．故在(-4π，2π)内与α终边相同的角是(3)由(1)有β=2kπ+(k∈Z)，则，当k为偶数时，在第一象限，当k为奇数时，在第三象限．∴是第一、三象限的角．素养达成13．扇形AOB的周长为8cm．（1）若这个扇形的面积为3cm2（2）求该扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB．【答案】（1）23或6；（2）【解析】设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α，（1）由题意知2r+l=812lr=3，解得：或，∴α＝＝或6；（2）∵2r+l＝8，∴S=1当且仅当2r＝l，即α＝＝2时，面积取得最大值4，∴r＝2，∴弦长AB＝2sin1×2＝4sin1．《5.1.2弧度制》同步练习二一、选择题1．将分针拨慢分钟，则分钟转过的弧度数是（）A．B．C．D．2．一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为A． B． C． D．3．若扇形的面积为、半径为1，则扇形的圆心角为（）A． B． C． D．4．把化成的形式是（）A．B．C．D．5．下列说法正确的是（）A．弧度的圆心角所对的弧长等于半径B．大圆中弧度的圆心角比小圆中弧度的圆心角大C．所有圆心角为弧度的角所对的弧长都相等D．用弧度表示的角都是正角6．已知一扇形的周长为40，当扇形的面积最大时,扇形的圆心角等于（）A．2B．3C．1D．4二、填空题7．的终边位于第______象限.8．4弧度角的终边在第______象限.9．设集合M＝，N＝{α|－π＜α＜π}，则M∩N＝_____．10．圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的_____倍.三、解答题11．把下列各角用另一种度量制表示出来：；；；.12．已知在半径为的圆中，弦的长为.（1）求弦所对的圆心角的大小；（2）求圆心角所在的扇形弧长及弧所在的弓形的面积.5.1.2弧度制答案解析一、选择题1．将分针拨慢分钟，则分钟转过的弧度数是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】分针拨慢分钟，转过的角度为周角的，角为正角，因此弧度数为.2．一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为A． B． C． D．【答案】C【解析】设圆的半径为，利用余弦定理可以求得圆内接三角形的边长圆弧长度等于内接正三角形边长，则圆心角度数故选。3．若扇形的面积为、半径为1，则扇形的圆心角为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】设扇