《5.2.1 三角函数的概念》课件与导学案

第5章

三角函数5.2.1三角函数的概念教材引入&任意角的三角函数定义

【定义】根据研究函数的经验，我们选择在坐标系上研究这个

问题.如图，以单位圆的圆心为原点，以射线OA为

轴的非负半轴，建立直角坐标系.则A(1，0)，P

射线OA从轴非负半轴开始，绕点O按逆时针方向

旋转角α，终止位置为OP.

【探究】当时，点P的坐标是什么？当或时，点P的坐标又是什么？给

定一个角α，它的终边OP与单位圆的交点P的坐标是唯一确定的吗？

教材引入&任意角的三角函数定义【分析】利用勾股定理可以发现，当时，点P的坐标是；当或

时，点P的坐标分别是和，它们都是唯一确定的(如图).

【结论】一般地，任意给定一个角α∈R，它的终边OP与单位圆的交点P的坐标，无

论是横坐标还是纵坐标，都是唯一确定的.所以，点P的横坐标和

纵坐标都是角α的函数.

教材引入&任意角的三角函数定义【定义】设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P

（1）把点P的纵坐标叫做α的正弦函数，记作sinα，即=sinα（2）把点P的横坐标叫做α的余弦函数，记作cosα，即=cosα（3）把点P的纵坐标和横坐标的比值叫做α的正切，记作tanα，即

=tanα().

可以看出，当时，α的终边始终在y轴上，这时，即此时tanα无意义.除此之外，正切tanα与实数α是一一对应的，所以它们之间也是函数关系，我们称为正切函数.

=tanα()我们把正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数.教材引入&任意角的三角函数定义【总结】三角函数可以看成是以实数α(α为弧度)为自变量，以

单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数.（1）正弦函数：（2）余弦函数：（3）正切函数：

角实数(角的弧度)三角函数值【注意】（1）在任意角的三角函数定义中，α是一个使函数有意义的实数（2）是自变量，离开自变量的sin,con,tan是没有意义的（3）三角函数是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P在终边上的

位置无关，终边确定了，三角函数就确定了.

【1】求的正弦、余弦和正切值.【解】在坐标系中作出∠AOB=，易知∠AOB的

终边与单位圆的交点坐标为，所以

常见角的三角函数值

无

牢记常见的三角函数值，做题事半功倍！三角函数的定义域和函数值的符号

【1】求证：角θ为第三象限角的充要条件为【证明】首先证明充分性，即如果①②都成立，那么θ为第三象限角.

因为sinθ＜0成立，所以θ角的终边位于第三或者第四象限，也可能和Y轴的负半轴重合；又因为cosθ＞0成立，所以θ角的终边位于第一或者第三象限，综合可知Θ为第三象限角.再证明必要性，因为θ是第三象限角，根据定义有sinθ＜0，cosθ＞0，所以必要性成立，即充要性成立.诱导公式一由三角函数的定义，我们知道：终边相同的角的对应三角函数相同.

公式一：其中k∈Z【问题】公式一说明了角和三角函数值的什么关系？给我们什么启发？【答】公式一说明了角和三角函数值的对应关系是多角对一值的关系：

即给定一个角，它的三角函数值只要存在，就是唯一的；

反过来，给定一个三角函数值，却有无数个角与之对因.【启发】做题时，把角同化为(0~2π)即(0°~360°)终边相同的角，简化计算.【1】已知角α、β的顶点在原点，始边在轴的正半轴上，终边关于

轴对称，

若角α的终边上有一点的坐标为，则tanβ的值是多少？【解】易知sinα=，cosα=.

因为角α和角β的终边关于y轴对称，则它们的正弦值相等，即sinα=sinβ同时角α和角β的余弦值相反，即cosβ=-cosα

βα

所以sinβ=，cosβ=，所以tanβ=

【2】填表.

【3】选择适当的条件填空①sinθ＞0②sinθ＜0③cosθ＞0④cosθ＜0⑤tanθ＞0⑥tanθ＜0(1)角θ为第一象限角的充要条件是_________________________________(2)角θ为第一象限角的充要条件是_________________________________(3)角θ为第一象限角的充要条件是_________________________________(4)角θ为第一象限角的充要条件是_________________________________①③或①⑤或③⑤或①③⑤①④或①⑥或④⑥或①④⑥②④或②⑤或④⑤或②④⑤②③或②⑥或③⑥或②③⑥5.2三角函数的概念第五