2023版高考数学一轮复习讲义：第三章导数及其应用3-2 导数在研究函数中的应用

第二节导数在研究函数中的应用

,最新考纲,

1.了解函数的单调性和导数的关系.

2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不会超过

三次).

3.了解函数在某点取得的极值的必要条件和充分条件.

4.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次).

5.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).

・考向预测•

考情分析：本节一直是高考的重点和难点，一般以基本函数为载体，利用导数研究函数

的单调性、极值及最值，求解中多利用分类讨论思想，题型主要以解答题为主，属中高档题.

学科素养：通过利用导数研究函数的性质考查数学抽象、数学运算的核心素养.

积累必备知识——基础落实赢得良好开端

一、必记3个知识点

1.函数的导数与单调性的关系

函数y=/&)在某个区间内可导：

(1)若/(x)>0,则xx)在这个区间内.

(2)若/(x)<0,则在这个区间内.

(3)若/(x)=0,则火x)在这个区间内.

［提醒］注意两种表述“函数火X)在3,份上为减函数”与“函数兀V)的减区间为(4,3”

的区别.若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“U”及“或”连接,

只能用“，”或“和”字隔开.

2.函数的极值与导数

(1)函数的极小值与极小值点

若函数火x)在点x=a处的函数值_/(")比它在点x=”附近其他点的函数值,而

且在x=α附近的左侧,右侧,则α点叫做函数的极小值点，人。)叫做函数

的极小值.

(2)函数的极大值与极大值点

若函数负x)在点X=b处的函数值Hb)比它在点X=b附近其他点的函数值,

左侧;右侧,则〃点叫做函数的极大值点，负加叫做函数的极大值.

［提醒］(1)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能称为极值点.

(2)在函数的整个定义域内，极值不一定是唯一的，有可能有多个极大值或极小值.

3.函数的最值与导数

(1)函数在他，句上有最值的条件

如果在区间［“，句上函数y=∕(x)的图象是一条的曲线，那么

它必有最大值和最小值.

(2)求y=∕(x)在［α,加上的最大(小)值的步骤

①求函数y=∕(x)在3,份内的.

②将函数y=∕(x)的各极值与端点处的函数值负。),人份比较，其中最大的一个是最大值，

最小的一个是最小值∙

［提醒］极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点处取得，有极值的未

必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值.

二、必明4个常用结论

I./(χ)>o是函数为增函数的充分不必要条件.

2./(x)W0是函数火X)为减函数的必要不充分条件.

3.若函数在开区间(”,份内的极值点只有一个，则相应极值点为函数最值点.

4.若函数在闭区间［α,句的最值点不是端点，则最值点亦为极值点.

三、必练4类基础题

(一)判断正误

I.判断下列说法是否正确(请在括号中打“"”或"X").

(1)若函数T(X)在3,6)内单调递增，那么一定有了(χ)>0.()

(2)如果函数4X)在某个区间内恒有/(x)=0,则4X)在此区间内没有单调性.()

(3)函数的极大值不一定比极小值大.()

(4)对可导函数/(x),/(xo)=O是Xo点为极值点的充要条件.()

(5)函数的极大值一定是函数的最大值.()

(6)开区间上的单调连续函数无最值.()

(二)教材改编

2.［选修2-2∙P26练习T2改编］函数於)的导函数/(x)有下列信息时，

②尸(x)<0时，x<-l或x>2；③­(X)=O时，X=-I或x=2.则函数.穴x)的大致图象是()

3.［选修2-2∙P30例5改编］已知函数段)=Λ3-6χ2+9x,则於)在闭区间［-1,5］上的

最小值为,最大值为.

(三)易错易混

4.(极值点存在的条件不清致误)已知函数y=Λx)的导函数y=∕(x)的图象如图所示，则

函数y=∕(χ)在区间3,力内的极小值点的个数为()

«VTObX

A.lB.2C.3D.4

5.(极值点存在的条件不清致误)设α∈R,若函数y=e，+必有大于零的极值点，则实

数α的取值范围是.

(四)走进高考

6.［全国卷I］已知函数y(x)=2sinx+sin2x,则火x)的最小值是.

第二节导数在研究函数中的应用

积累必备知识

1.(1)单调递增(2)单调递减

(3)不具备单调性

2.(1)都小/(X)VO/(x)>0

(2)都大/(x)>0/(x)<0

3.(1)连续不断(2)极值

-ΞZ2.、

1.答案：(I)X(2)√(3)√(4)×(5)×(6)√

2.解析：根据信息知，函数兀0在(-1,2)上是增函数，在(一8,-1),(2,+∞)±

是减函数.

答案：C

3.解析：f(x)=3x2—12r+9,

令F(X)=0,即x~—4x+3=0,解得X=I或X=3,

当一IVKl或3<x<5时，/(Λ)>0,

所以式x)在(一1,1),(3,5)上为增函数，

当l<v<3时，f(x)<O,所以於)在(1,3)上为减函数，Λ-l)=-16,/3)=0,/1)=4,

15)=20,故7U)在闭区间［―1,5］上的最小值为一16,最大值为20.

答案：一1620

4.解析：如图,在区间3,6)内,/(c)=0,

且在X=C附近的左侧/(x)<0,右侧/(x)>0,所以在区间(4,份内只有1个极小值点.

答案：A

5.解析：∙.∙y=e'+αv,.'.y'=ex+a.

:函数y=e*+ox有大于零的极值点，且函数y=e*+α在R上单调递增.

二只需方程e*+α=O有大于零的解.

：当Qo时，-e*<-l.

Λa=-ev<-l.

答案：(一8,—1)

6.解析：,.*y(x)=2sinx÷sinIx,

Vcos%÷120,

...当cosXq时，/(x)<0,危)单调递减,

当CoSXW时，/(x)>0,7W单调递