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文档简介
第二节导数在研究函数中的应用
,最新考纲,
1.了解函数的单调性和导数的关系.
2.能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不会超过
三次).
3.了解函数在某点取得的极值的必要条件和充分条件.
4.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次).
5.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).
・考向预测•
考情分析:本节一直是高考的重点和难点,一般以基本函数为载体,利用导数研究函数
的单调性、极值及最值,求解中多利用分类讨论思想,题型主要以解答题为主,属中高档题.
学科素养:通过利用导数研究函数的性质考查数学抽象、数学运算的核心素养.
积累必备知识——基础落实赢得良好开端
一、必记3个知识点
1.函数的导数与单调性的关系
函数y=/&)在某个区间内可导:
(1)若/(x)>0,则xx)在这个区间内.
(2)若/(x)<0,则在这个区间内.
(3)若/(x)=0,则火x)在这个区间内.
[提醒]注意两种表述“函数火X)在3,份上为减函数”与“函数兀V)的减区间为(4,3”
的区别.若所求函数的单调区间不止一个,这些区间之间不能用并集“U”及“或”连接,
只能用“,”或“和”字隔开.
2.函数的极值与导数
(1)函数的极小值与极小值点
若函数火x)在点x=a处的函数值_/(")比它在点x=”附近其他点的函数值,而
且在x=α附近的左侧,右侧,则α点叫做函数的极小值点,人。)叫做函数
的极小值.
(2)函数的极大值与极大值点
若函数负x)在点X=b处的函数值Hb)比它在点X=b附近其他点的函数值,
左侧;右侧,则〃点叫做函数的极大值点,负加叫做函数的极大值.
[提醒](1)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能称为极值点.
(2)在函数的整个定义域内,极值不一定是唯一的,有可能有多个极大值或极小值.
3.函数的最值与导数
(1)函数在他,句上有最值的条件
如果在区间[“,句上函数y=∕(x)的图象是一条的曲线,那么
它必有最大值和最小值.
(2)求y=∕(x)在[α,加上的最大(小)值的步骤
①求函数y=∕(x)在3,份内的.
②将函数y=∕(x)的各极值与端点处的函数值负。),人份比较,其中最大的一个是最大值,
最小的一个是最小值∙
[提醒]极值只能在定义域内部取得,而最值却可以在区间的端点处取得,有极值的未
必有最值,有最值的未必有极值;极值有可能成为最值,最值只要不在端点处必定是极值.
二、必明4个常用结论
I./(χ)>o是函数为增函数的充分不必要条件.
2./(x)W0是函数火X)为减函数的必要不充分条件.
3.若函数在开区间(”,份内的极值点只有一个,则相应极值点为函数最值点.
4.若函数在闭区间[α,句的最值点不是端点,则最值点亦为极值点.
三、必练4类基础题
(一)判断正误
I.判断下列说法是否正确(请在括号中打“"”或"X").
(1)若函数T(X)在3,6)内单调递增,那么一定有了(χ)>0.()
(2)如果函数4X)在某个区间内恒有/(x)=0,则4X)在此区间内没有单调性.()
(3)函数的极大值不一定比极小值大.()
(4)对可导函数/(x),/(xo)=O是Xo点为极值点的充要条件.()
(5)函数的极大值一定是函数的最大值.()
(6)开区间上的单调连续函数无最值.()
(二)教材改编
2.[选修2-2∙P26练习T2改编]函数於)的导函数/(x)有下列信息时,
②尸(x)<0时,x<-l或x>2;③(X)=O时,X=-I或x=2.则函数.穴x)的大致图象是()
3.[选修2-2∙P30例5改编]已知函数段)=Λ3-6χ2+9x,则於)在闭区间[-1,5]上的
最小值为,最大值为.
(三)易错易混
4.(极值点存在的条件不清致误)已知函数y=Λx)的导函数y=∕(x)的图象如图所示,则
函数y=∕(χ)在区间3,力内的极小值点的个数为()
«VTObX
A.lB.2C.3D.4
5.(极值点存在的条件不清致误)设α∈R,若函数y=e,+必有大于零的极值点,则实
数α的取值范围是.
(四)走进高考
6.[全国卷I]已知函数y(x)=2sinx+sin2x,则火x)的最小值是.
第二节导数在研究函数中的应用
积累必备知识
1.(1)单调递增(2)单调递减
(3)不具备单调性
2.(1)都小/(X)VO/(x)>0
(2)都大/(x)>0/(x)<0
3.(1)连续不断(2)极值
-ΞZ2.、
1.答案:(I)X(2)√(3)√(4)×(5)×(6)√
2.解析:根据信息知,函数兀0在(-1,2)上是增函数,在(一8,-1),(2,+∞)±
是减函数.
答案:C
3.解析:f(x)=3x2—12r+9,
令F(X)=0,即x~—4x+3=0,解得X=I或X=3,
当一IVKl或3<x<5时,/(Λ)>0,
所以式x)在(一1,1),(3,5)上为增函数,
当l<v<3时,f(x)<O,所以於)在(1,3)上为减函数,Λ-l)=-16,/3)=0,/1)=4,
15)=20,故7U)在闭区间[―1,5]上的最小值为一16,最大值为20.
答案:一1620
4.解析:如图,在区间3,6)内,/(c)=0,
且在X=C附近的左侧/(x)<0,右侧/(x)>0,所以在区间(4,份内只有1个极小值点.
答案:A
5.解析:∙.∙y=e'+αv,.'.y'=ex+a.
:函数y=e*+ox有大于零的极值点,且函数y=e*+α在R上单调递增.
二只需方程e*+α=O有大于零的解.
:当Qo时,-e*<-l.
Λa=-ev<-l.
答案:(一8,—1)
6.解析:,.*y(x)=2sinx÷sinIx,
Vcos%÷120,
...当cosXq时,/(x)<0,危)单调递减,
当CoSXW时,/(x)>0,7W单调递
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